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        極限法在物理解題中的應(yīng)用例析

        2006-12-31 02:57:08季龍祥張維昌
        物理教學(xué)探討 2006年23期
        關(guān)鍵詞:電場力斜面單調(diào)

        季龍祥 張維昌

        極限思維法是一種科學(xué)的思維方法。假若某物理量在某一區(qū)間內(nèi)是單調(diào)連續(xù)變化的,我們可以將該物理量或它的變化過程和現(xiàn)象外推到該區(qū)域內(nèi)的極限情況(或極端值),使物理問題的本質(zhì)迅速暴露出來,再根據(jù)己知的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)很快得出規(guī)律性的認(rèn)識(shí)或正確的判斷。這種思維方法稱為極限思維法。

        極限法在物理學(xué)研究中有廣泛的應(yīng)用。開爾文把查理定律外推到零壓強(qiáng)這一極限情況,而引入了熱力學(xué)溫標(biāo),使氣體實(shí)驗(yàn)定律的表述大大簡化。伽利略在研究自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí),先證明從斜面上滾下的小球做勻變速運(yùn)動(dòng),后又把結(jié)論外推到斜面傾角增大到90°的極限情況——小球自由下落,從而用極限思維法間接證明了自己對自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的論斷是正確的。

        極限法(又稱極端法)在物理解題中有比較廣泛的應(yīng)用。若將貌似復(fù)雜的問題推到極端狀態(tài)或極限值條件下進(jìn)行分析,問題往往變得十分簡單。利用極限法可以將傾角變化的斜面轉(zhuǎn)化成平面或豎直面??蓪?fù)雜電路變成簡單電路,可將運(yùn)動(dòng)物體視為靜止物體,可將變量轉(zhuǎn)化成特殊的恒定值,可將非理想物理模型轉(zhuǎn)化成理想物理模型,從而避免了不必要的詳盡的物理過程分析和繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)運(yùn)算,使問題的隱含條件暴露,陌生結(jié)果變得熟悉,難以判斷的結(jié)論變得一目了然。

        極限法常見的方法有三種:極限假設(shè)法、特殊值分析法和臨界狀態(tài)分析法。下面舉例說明。

        例1 物體A可在傾角為θ的斜面上運(yùn)動(dòng),如圖1所示,若A的初速度為v0,它與斜面間的

        動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。在相同情況下,A上滑與下滑的加速度大小之比為

        A.sinθ-μcosθμcosθ-sinθ。

        B.sinθ+μcosθsinθ-μcosθ。

        C.μ+tanθ。

        D.μcosθsinθ-μcos。

        析與解 本題的常規(guī)解法,是先對A進(jìn)行受力分析,再應(yīng)用牛頓第二定律,分別求A上滑和下滑時(shí)的加速度表達(dá)式,最后求二者之比。這樣做,費(fèi)時(shí)費(fèi)力,容易出錯(cuò)。今用極限假設(shè)法求解;則能迅速、準(zhǔn)確得出正確結(jié)論。

        假設(shè)斜面傾角為90°,即斜面變成豎直面,A物體的上滑和下滑,就等同于豎直上拋和自由落體。上滑、下滑加速度都是g,比值為1。對照四個(gè)供選答案,將θ=90°代入檢查,只有B答案能符合假設(shè)的要求。應(yīng)選B。

        點(diǎn)評 將斜面改成豎直面(即θ=90°)并未改變上滑減速、下滑加速這一運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。這樣的極端假設(shè)是合理的。若將斜面改成水平面(即θ=0°),無論上滑還是下滑都變成減速運(yùn)動(dòng),就改變了題目中約定的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。這種假設(shè)就是不合理的,當(dāng)然也得不出正確結(jié)果。

        對本題我們還可以做這樣的極端假設(shè):

        認(rèn)為斜面是光滑的(即μ=0),同樣可得到正確結(jié)果B。

        例2 如圖2所示,兩點(diǎn)電荷所帶電量均為+Q,A處有一電子沿兩點(diǎn)電荷連線的中垂線運(yùn)動(dòng),方向指向O點(diǎn)。設(shè)電子原來靜止,A點(diǎn)離O點(diǎn)足夠遠(yuǎn),電子只受電場力作用。那么在從A到O過程中電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是下面所述的哪一個(gè)

        A.先勻加速,后勻減速。

        B.加速度越來越小,速度越來越大。

        C.加速度越來越大,速度越來越小。

        D.加速度先變大后變小,最后變?yōu)榱恪?/p>

        析與解 采用特殊值分析法,先考察兩個(gè)特殊位置:A點(diǎn)離O點(diǎn)無限遠(yuǎn),則電子在A點(diǎn)所受電場力便為零;而O點(diǎn)的場強(qiáng)為零,電子在O點(diǎn)的電場力也為零,所以電子在A點(diǎn)、O點(diǎn)的加速度均為零。再在AO之間任選一點(diǎn),該點(diǎn)的場強(qiáng)不為零,電場力不為零,加速度也不為零。電子從A到O,其加速度是從零變大后又變?yōu)榱悖_答案應(yīng)為D。

        點(diǎn)評 用極限法考慮問題時(shí),在選定的區(qū)域內(nèi)所研究的物理量必須是連續(xù)單調(diào)變化的。在本題中,A到O變化區(qū)域內(nèi),加速度a并不是單調(diào)變化的,為什么也可以應(yīng)用極限法呢?實(shí)際上我們選用了兩個(gè)特殊點(diǎn)A和O點(diǎn),只研究了這兩個(gè)點(diǎn)附近區(qū)域a的變化。在A點(diǎn)和O點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)a仍是單調(diào)變化的。在A和O之間還存一個(gè)a為極大值的位置B。從A到B,a是單調(diào)增大的,從B到O,a是單調(diào)減小的。將A到O分成兩個(gè)單調(diào)區(qū)域,極限法可以使用了。

        例3 如圖3所示,A物體和B物體由輕質(zhì)細(xì)線連接跨過定滑輪,A置于斜面上。A、B均靜止。且mA∶mB=3∶2,斜面傾角θ=30°。若將一小物體C輕放在A上,A仍保持靜止,則這時(shí)A受到斜面給它的摩擦力可能是

        A.變大,方向沿斜面向下。

        B.變小,方向沿斜面向下。

        C.變?yōu)榱恪?/p>

        D.變小,方向沿斜面向上。

        析與解 若摩擦力恰好為零,A能靜止在斜面上,有mAgsin30°=T=mBg。

        即mAmB=21。

        今mAmB=32,說明A有沿斜面向上滑動(dòng)的趨勢,A受到的靜摩擦力fs,方向沿斜面向下,若在A上放一小物體C,A仍保持靜止。則有三種可能:

        ①mA+mCmB=2,fs=0。

        ②mA+mCmB仍小于2,fs變小,仍沿斜面向下。

        ③mA+mCmB已大于2,fs變?yōu)檠匦泵嫦蛏?,有可能比原fs大,也有可能比原fs小。因此選B、C、D。

        點(diǎn)評 當(dāng)A受到靜摩擦力fs=0就是一種臨界狀態(tài)。將fs推至臨界狀態(tài)進(jìn)行分析,就能很快得出正確結(jié)論。

        (欄目編輯陳 潔)

        <注>:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文

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