邵曉明

在數(shù)學(xué)上，依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做分類的思想。“物以類聚，人以群分”。所謂分類討論，就是將事物進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解；或當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答。實(shí)質(zhì)上，分類討論就是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的策略。

分類的思想是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究中經(jīng)常用到的，又叫邏輯劃分。不論從宏觀上還是從微觀上對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，都是深化研究對(duì)象、發(fā)展科學(xué)必不可少的思想，因此分類討論既是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想。

分類原則是分類的對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級(jí)討論。分類方法是明確討論對(duì)象，確定對(duì)象的全體，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，始終按照一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行正確分類；分層次進(jìn)行分類，逐類進(jìn)行討論，獲取階段性成果；歸納小結(jié)，綜合出結(jié)論。

物理學(xué)是研究物質(zhì)世界最普遍運(yùn)動(dòng)形式及其相互轉(zhuǎn)換規(guī)律的基礎(chǔ)學(xué)科。它與人類社會(huì)的發(fā)展，現(xiàn)代物質(zhì)文明的建立有著極其密切的關(guān)系。通常根據(jù)所研究的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)和具體對(duì)象的不同，物理學(xué)分為力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)、原子物理等，這其實(shí)就是一種分類討論的思想，所以說分類討論思想滲透在物理學(xué)中的每一個(gè)地方。

在物理教學(xué)中，針對(duì)一些重點(diǎn)和難點(diǎn)問題，適當(dāng)增加一些分類討論題，讓學(xué)生利用分類討論思想解題，是很有必要的。利用分類的思想，通過正確的分類，可以使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答，這樣既有利于學(xué)生深入了解物理現(xiàn)象，理解物理概念和規(guī)律，掌握物理公式的使用條件，同時(shí)還可以通過分類討論，使學(xué)生消除頭腦中的片面的錯(cuò)誤的觀念，以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新能力。

如果所遇到的物理問題由于研究對(duì)象或已知條件不夠明確，或已知條件存在著缺陷時(shí)，通常需要采用分類討論的思想，對(duì)研究對(duì)象或已知條件進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)物理原理和規(guī)律，對(duì)問題進(jìn)行求解。在解決具體的物理問題時(shí)，首先要進(jìn)行審題，如果需要分類討論，則一般可從研究對(duì)象、已知條件、物理過程、物理狀態(tài)和所得結(jié)果五個(gè)方面進(jìn)行分析。

1 對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類討論

在高中物理中，有很多問題會(huì)涉及到多個(gè)研究對(duì)象，正由于存在有兩個(gè)以上的多個(gè)研究對(duì)象，在分析時(shí)容易使研究者較難把握研究對(duì)象，以至于無(wú)從下手。所以，在解決這類物理問題時(shí)，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類和討論，將有助于研究對(duì)象的確定，有利于問題的求解。

例1 有一等臂天平，右邊托盤上放砝碼，左邊托盤上放一容器，容器內(nèi)裝有水，水中有一小木球（木球密度小于水密度）通過細(xì)繩與容器底部相連，如圖所示，天平平衡?，F(xiàn)因某種原因細(xì)繩突然斷裂，則天平（ ）

A.仍處于平衡。B.順時(shí)針轉(zhuǎn)。

C.逆時(shí)針轉(zhuǎn)。 D.無(wú)法判斷。

分析 此題的關(guān)鍵是判斷出細(xì)繩斷裂前后容器對(duì)托盤壓力大小變化。由于木球的密度小于水的密度，故細(xì)繩斷后小球所受的浮力大于重力而勻加速上升。又由于小木球勻加速上升而使小木球原來(lái)所占的空間不斷被水填補(bǔ)，水也發(fā)生了運(yùn)動(dòng)。本題所涉及的研究對(duì)象很多，既有靜止的（容器、天平、砝碼），又有運(yùn)動(dòng)的（小球、容器中的水），顯得很復(fù)雜。我們不妨運(yùn)用分類討論的思想，把研究對(duì)象進(jìn)行分類。

首先把容器中的水看成二部分，一部分是不斷填補(bǔ)小木球（設(shè)質(zhì)量為m1）原來(lái)所占空間的與小木球等體積的小水球（設(shè)質(zhì)量為m2），另一部分是除小水球外的其它水。由于容器及容器中除運(yùn)動(dòng)的小水球外的其它水都是靜止的，可以看成一個(gè)研究整體，設(shè)總質(zhì)量為M。

由于細(xì)繩斷裂之前一切靜止，故可把容器、容器中的水及小木球當(dāng)成一個(gè)整體，可得整體對(duì)托盤的壓力大小為（M+ m1+ m2）g。

而細(xì)繩斷裂之前后整體內(nèi)的物體有靜有動(dòng)，取豎直向上為正方向。設(shè)小木球勻加速上升的加速度為a，那么與小木球等體積的小水球向下運(yùn)動(dòng)的加速度為-a。

對(duì)小木球分析，設(shè)水對(duì)小木球的浮力為F1，可得F1-m1g=m1a，即F1=m1a+m1g。

對(duì)小水球分析，設(shè)靜止的水對(duì)小水球向上的作用力為F2，可得m2g-F2=m2a。

即F2=m2g-m2a。

而容器及容器中除運(yùn)動(dòng)的小水球外的其它水都是靜止的，可以看成一個(gè)研究整體，此整體受重力Mg、小木球向下的作用力F1、小水球向下的作用力F2、托盤向上的彈力F四個(gè)力的作用，則有F=Mg+F1+F2，

即F=（M+m1+m2）g-（m2-m1）a。

因m1

可知細(xì)繩斷后對(duì)托盤的壓力比斷前減小了，天平平衡被破壞，右邊下沉，答案為B。

2 對(duì)物理狀態(tài)進(jìn)行分類討論

一般情況下，由于所研究的問題中運(yùn)動(dòng)物體所處的狀態(tài)未知或已知不夠明確，或物體在運(yùn)動(dòng)的過程中某一時(shí)刻所處的狀態(tài)是未知的，使得問題在求解的過程中顯得繁雜。在這種情況下，需要仔細(xì)分析所研究的問題，盡可能對(duì)物體所可能處的狀態(tài)進(jìn)行充分的考慮，然后進(jìn)行分類討論。

例2 如圖所示，水平放置的兩平行光滑導(dǎo)軌左側(cè)連接電阻，其他電阻不計(jì)，導(dǎo)體桿MN放在導(dǎo)軌上，并在水平恒力F的作用下，沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動(dòng)，并將穿過方向豎直向下的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界PQ與MN平行，從MN進(jìn)入磁場(chǎng)開始計(jì)時(shí)，通過的感應(yīng)電流i隨著時(shí)間t的變化可能是圖中的（）

分析 導(dǎo)體桿在水平恒力F的作用下，在磁場(chǎng)外做勻加速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)后導(dǎo)體桿切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流，導(dǎo)體桿又要受到安培力的作用，這就要對(duì)導(dǎo)體桿剛進(jìn)磁場(chǎng)的瞬時(shí)所處的狀態(tài)進(jìn)行分類討論。

如果導(dǎo)體桿剛進(jìn)行磁場(chǎng)的瞬時(shí)是處于平衡狀態(tài)的，導(dǎo)體桿所受安培力剛好等于水平恒力F時(shí)，即BIL=F，可得I=FBL ，又I=BLvR ，可知速度v=FRB2L2 ，即導(dǎo)體桿將以這個(gè)速度在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)，感應(yīng)電流也為定值（如A圖）。

如果導(dǎo)體桿剛進(jìn)行入磁場(chǎng)的瞬時(shí)是處于減速狀態(tài)的，即導(dǎo)體桿在磁場(chǎng)外加速獲得的末速度大于FRB2L2時(shí)，導(dǎo)體桿進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所受的安培力大于水平恒力F，導(dǎo)體桿將逐漸減速，由I=BLvR得感應(yīng)電流I也將逐漸減小，而隨著I的減小，安培力在減小，合外力在減小，加速度在減小，速度減小得越來(lái)越慢，最后當(dāng)安掊力等于水平恒力F時(shí)，作勻速運(yùn)動(dòng)（如C圖）。

如果導(dǎo)體桿剛進(jìn)行入磁場(chǎng)的瞬時(shí)是處于加速狀態(tài)的，即導(dǎo)體桿進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度較小，安培力將小于水平恒力F，導(dǎo)體桿繼續(xù)加速，I=BLvR越來(lái)越大，安培力越來(lái)越大，加速度越來(lái)越小，最后加速度為零，速度達(dá)最大值，電流I=FBL保持不變（如D圖）。

3 對(duì)物理過程進(jìn)行分類討論

通常情況下，所研究的問題涉及到物體的運(yùn)動(dòng)，而又對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)過程沒有具體已知或已知不夠明確，在這種情況下，需要分析物體運(yùn)動(dòng)的過程，考慮物體運(yùn)動(dòng)盡可能出現(xiàn)的種類，然后對(duì)物理過程進(jìn)行分類。

例3 （2004年理科綜合能力測(cè)試第25題）一小圓盤靜止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一邊與桌的AB邊重合，如圖。已知盤與桌布間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1，盤與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2?，F(xiàn)突然以恒定加速度a將桌布抽離桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB邊。若圓盤最后未從桌面掉下，則加速度a滿足的條件是什么？（以g表示重力加速度）

分析 在將桌布以恒定加速度a抽離桌面的過程中，圓盤先是在桌布上運(yùn)動(dòng)，后是在桌子上運(yùn)動(dòng)，由此可知，需對(duì)圓盤的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分類討論。

由于桌布以恒定加速度a做加速運(yùn)動(dòng)，圓盤在桌布的帶動(dòng)下（桌布對(duì)圓盤有滑動(dòng)摩擦力的作用）也做加速運(yùn)動(dòng)，要使兩者之間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，必然有a>μ1g（圓盤的加速度）；當(dāng)盤離開桌布后，在桌面上做勻減速運(yùn)動(dòng)，直至停止在桌面。據(jù)題意，圓盤未從桌面掉下，其臨界狀態(tài)是盤子最后停在桌邊，恰好不掉離桌面。即圓盤先在桌布上做初速為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，桌布對(duì)圓盤的摩擦力μ1mg為動(dòng)力，爾后在桌面上做勻減速運(yùn)動(dòng)直至停止，桌面對(duì)圓盤的摩擦力μ2mg為阻力。

設(shè)圓盤的質(zhì)量為m，桌長(zhǎng)為l，圓盤在桌布上做加速運(yùn)動(dòng)的加速度為a1 ，有

Fゝ1＝μ1mg＝m a1。

桌布抽出后，圓盤在桌面上做勻減速運(yùn)動(dòng)，以a2 表示加速度的大小，有

Fゝ2＝μ2mg＝m a2。

設(shè)桌布從盤下抽出所經(jīng)歷的時(shí)間為t1 ，在這段時(shí)間內(nèi)桌布移動(dòng)的位移為x，圓盤移動(dòng)的位移為s1 ，有x＝12at21 ， s1=12a1t21。

由題意分析可知，當(dāng)桌布比圓盤多運(yùn)動(dòng)了l2的位移時(shí)，盤布分離，即x－s1＝l2 。

以上式子聯(lián)立可得出t1＝l/(a-μ1g) 。

設(shè)圓盤剛離開桌布時(shí)的速度為v，離開桌布后在桌面上再運(yùn)動(dòng)距離s2便停下，有

v2=2a1s1，v2=2a2s2。

盤沒有從桌面上掉下的條件是：

s2≤l2－s1。

由以上各式解得a紐1+2μ2μ2μ1g ，即圓盤最后未從桌面掉下，則加速度a滿足的條件是

a紐1+2μ2μ2μ1g。

4 對(duì)已知條件進(jìn)行分類討論

有的物理問題，由于已知條件不夠明確，如有時(shí)僅已知某一矢量的大小，有時(shí)僅已知某一矢量的方向，也有時(shí)在題目中已知的某一物理量通常用字母表示，沒有給出具體的大小或方向。在解決這種問題時(shí)，通常需要采用分類討論的思想，對(duì)已知條件中的這一物理量的大小或方向進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)物理原理和規(guī)律，對(duì)問題進(jìn)行求解。

例4 如圖（甲）所示，在傾角為α的斜面上，質(zhì)量為m的物體在水平力F作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，試分析該物體的受力情況。

分析 首先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，如圖（乙）所示，物體除受到豎直向下的重力mg、垂直于斜面的支持力FN、水平力F作用外，是否還受靜摩擦力作用呢？這就要對(duì)物體存在的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)進(jìn)行分類討論。

物體在重力mg、支持力FN、水平力F作用下，若恰好沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，即沒有受到靜摩擦力作用，此時(shí)mg、FN、F三力平衡，在沿斜面方向有Fcosα=mgsinα。在這種情況下，即使斜面粗糙，物體也不受摩擦力作用。

物體在重力mg、支持力FN、水平力F作用下，假如有沿斜面向上相對(duì)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，則物體受到沿斜面向下的靜摩擦力作用，此時(shí)在沿斜面方向上滿足Fcosα=mgsinα+Ff，即靜摩擦力大小為Ff=Fcosα-mgsinα。

物體在重力mg、支持力FN、水平力F作用下，假如有沿斜面向下相對(duì)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，則物體受到沿斜面向上的靜摩擦力作用，此時(shí)在沿斜面向上滿足Fcosα+Ff=mgsinα，即靜摩擦力大小為Ff=mgsinα-Fcosα。

假如水平力F是從零開始逐漸增大的，那么物體所受的靜摩擦力方向先是沿斜面向上后是沿斜面向下；靜摩擦力大小變化為先逐漸減小至零，后又逐漸增大。

5 對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行分類討論

有的物理問題，由于設(shè)計(jì)者非常重視考查學(xué)生的分析能力，通過精心的設(shè)計(jì)，巧妙的設(shè)問，使得學(xué)生根據(jù)物理概念和規(guī)律解出的結(jié)論中，出現(xiàn)這樣幾種情況，一是結(jié)論不唯一，如解得的物理量有兩個(gè)或多個(gè)答案，需要學(xué)生根據(jù)物理原理或?qū)嶋H情況進(jìn)行討論和檢驗(yàn)；二是由于所研究的問題中已知的物理量通常用字母表示，而且某幾個(gè)物理量之間的大小關(guān)系不確定，這時(shí)也需要學(xué)生解出結(jié)論后，對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行分類討論，以使結(jié)果更趨合理。

例5 帶有光滑的半徑為R的1/4圓弧軌道的小車總質(zhì)量為m1，靜止在光滑水平地面上。在與軌道下端的切線水平方向，今有一質(zhì)量為m2的小球，從與軌道下端的切線等高的平臺(tái)上以水平的初速v0滾上小車，如圖所示。求：若小球上升過程中不離開小車，則當(dāng)小球返回離開小車時(shí)，小球和小車的速度各是怎樣？并討論結(jié)果。

分析 小球滾上小車后，小球和小車相互作用，因小球和小車所組成的系統(tǒng)水平方向不受外力的作用，水平方向的動(dòng)量守恒，設(shè)小球返回離開小車時(shí)，小車和小球的速度各為v1、v2，則有m2v0= m1v1 +m2v2。

又由于水平地面光滑，小車的1/4圓弧軌道光滑，故小球和小車所組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即12 m2v20=12 m1v21+12 m2v22。

由上述兩式可得v1=2m2m1+m2v0 ，

v2=m2-m1m1+m2v0。

當(dāng)小球返回離開小車時(shí)，小車和小球的速度大小是知道了，但速度是矢量，是有方向的，那么此時(shí)小車和小球的運(yùn)動(dòng)方向如何？就要對(duì)所求解出的結(jié)論進(jìn)行分類討論。

當(dāng)m1=m2時(shí)v1=v0、v2=0即速度交換。

當(dāng)m1>m2時(shí)，v1>0、v2<0，即小球返回離開小車時(shí)，小車向左運(yùn)動(dòng)，小球向右運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)m10、v2>0，即小球返回離開小車時(shí)，小車和小球都向右運(yùn)動(dòng)。

綜上所述，分類討論思想在物理學(xué)中，特別是解決具體的物理問題中，應(yīng)用非常廣泛。中學(xué)生在學(xué)習(xí)物理的過程中，在應(yīng)用物理概念、原理和規(guī)律解決實(shí)際問題時(shí)，對(duì)這些用字母來(lái)表達(dá)已知量、或僅已知某一矢量的大小、或僅已知某一矢量的方向的問題，由于研究對(duì)象、已知條件、運(yùn)動(dòng)過程、所得結(jié)果等不夠明確時(shí)，會(huì)感到很不順手，也就特別害怕了。所以在高中物理的教學(xué)中，在解決這些問題時(shí)，滲透分類討論思想，不但能提高學(xué)生學(xué)習(xí)物理的積極性，更能提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力。

(欄目編輯趙保鋼)

<注>：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文