吳全德

北京大學葉朗教授的《胸中之竹》中有一篇“柳宗元的三個美學命題”，其中有“美不自美，因人而彰”，前半句與莊子的“天地有大美而不言”相類似；后半句對審美活動甚為重要。它出自柳宗元《邕州柳中丞作馬退出山茅亭記》一文，原文為：

夫美不自美，因人而彰。蘭亭也，不遭右軍，則清湍修竹，蕪沒于空山矣。

美學家的任務是彰美，而科學家的任務是探索自然現(xiàn)象和規(guī)律。要真正理解美，需要美學家和科學家聯(lián)合探索。

科學與藝術都崇尚簡潔，認為簡潔是美的。但“美”又與不簡潔的三個無理數（小數的位數無限多而且不循環(huán)）永遠結成良緣。

這三個無理數與人類文明和精神生活有密切關系，而且都是比值。第一個是圓周率，它是圓周長度與直徑的比值。古希臘畢達哥拉斯學派認為：一切立體圖形最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓。它們共有的圓周率π，其值為3.14159…。中國人劉徽和祖沖之對此值作出過貢獻。第二個無理數是黃金分割值，在美術領域有一個神圣的黃金分割律，其值為(-1)/2=0.6180339…≈0.618。第三個無理數是在音樂領域的十二等比分割值，其值為 =1.05946…。此值是中國明朝朱載首先發(fā)現(xiàn)的。這些無理數并不無理，它們?yōu)閯?chuàng)造優(yōu)美造型和美術、音樂作品奠定基礎，它們是自然界美的本質的體現(xiàn)。

圓周率

圓周率π是三個無理數中最馳名的一個。人類對π的認識過程反映了數學和計算技術的進展情況；為求得它的精確近似值，人類走過漫長而曲折的道路。古希臘阿基米德寫過一篇論文《圓的測定》，天文學家托勒密得出π=3.1416。中國的《周髀算經》中記載有“周三徑一”的結論。公元263年前后，劉徽提出著名的割圓術，得出π＝3.14，通常稱為“徽率”。割圓術僅用內接正多邊形就確定出圓周率上、下界，比阿基米德用內接同時又用外切正多邊形簡捷得多。有人利用劉徽的割圓術求得π=3927/1250=3.1416?！端鍟ぢ蓺v志》有如下記載：“宋末，南徐州從事祖沖之更開密法。”這一記錄指出，祖沖之對圓周率有兩大貢獻。一是求得圓周率3.1415926＜π＜3.1415927 。其二是，得到π的兩個近似分數即：約率為22/7；密率為355/113。他算出的π的8位可靠數字，不但在當時是最精密的圓周率，而且保持世界記錄九百多年。祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽：巴黎“發(fā)現(xiàn)宮”科學博物館的墻壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率，莫斯科大學禮堂的走廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像，月球上有以祖沖之命名的環(huán)形山。

1973年，有人利用電子計算機就把圓周率算到了小數點后100萬位，并將結果印成一本二百頁厚的書，可謂世界上最枯燥無味的書了。此后，不斷有學者將π的小數位數不斷更新。

有關圓周率的完美應用要算中國的天壇。中國從石器時代開始就有崇尚祭祀習俗，有設壇祭祀的傳統(tǒng)。農業(yè)社會靠天吃飯，對天祭祀，祈求國泰民安，成為頭等大事。中國素有“天圓地方”之說，圓成為天壇的主導設計思想。

黃金分割值

比例是重要的美學要素。黃金分割是公元前六世紀古希臘數學家畢達哥拉斯所發(fā)現(xiàn),后來古希臘美學家柏拉圖將此稱為黃金分割。古希臘人曾提出這樣一個問題：“一根棍從哪里分割最為美妙？”答案是：“前半段與后半段之比應等于后半段與全長之比”。

偏有一些古希臘人想用形象方法解決黃金分割問題，并獲得漂亮的結果。歐幾里德（約公元前330～前257）總結了前人的經驗和研究成果，編著了《幾何原理》十三卷。這是世界上最早用公理方法敘述的數學著作。其中所載的黃金分割幾何問題已引起廣泛的興趣，在科學、藝術、建筑、技術各領域有著廣泛的應用，哲學家和美學家也曾反復討論，不斷有文章發(fā)表。黃金分割律被稱為美的比例，黃金比與我們的生活息息相關。萬物凡是符合黃金分割律的,總是最美的形體,凡能符合黃金分割律的環(huán)境,也就是人的肌體最舒適的環(huán)境。

2005年8月5日出版的《科學》雜志發(fā)表了中國科學院物理所李超榮、張曉娜和曹則賢研究員發(fā)現(xiàn)在高溫條件下形成銀為內核、外層為氧化硅的10微米大小的“液滴”，由于冷卻而形成斐波納契花樣。這是人類第一次用無機材料生長成的斐氏花樣。它們的生成是由于冷卻時，在內外兩種物質（銀和氧化硅）中由于應力不均勻分布而形成花樣。在掃描電鏡下，在近似球面的大“液滴”上，這些納米小顆粒以五邊形和六邊形規(guī)則地排列。真正吸引《科學》雜志關注的是接下來的工作。在略顯扁平的盤狀“液滴”結構上，他們發(fā)現(xiàn)那些納米小顆粒形成了斐波納契數花樣。用順時針和逆時針螺旋數來標記，他們觀察到了（5，8），（8，13）和（13，21）三組不同的斐波納契數花樣。曹則賢研究員說：“它恰恰驗證了湯姆普森的設想——這只是一個物理的問題和數學的問題?！眮碜圆煌I域的科學家們更多地是把目光盯在斐波契螺旋上。兩位《科學》雜志的審稿人都驚嘆于實驗結果中“驚人的美”。其中一人說：“在我35年研究細小顆粒及材料科學，包括高溫過程及熱力學的生涯中，從未看到過如此迷人的結構?！?/p>

十二等比分割律

在音樂領域，也有神圣的比例，稱為“十二等比分割律”，它是中國明朝王子朱載發(fā)現(xiàn)的。他提出半音階的后項與前項的比值為2開12次方的值。它比西方的“十二平均律”約早五十至一百年。

古希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯曾說過：“音樂是數字，而宇宙是音樂?！?經過2500多年，他的前半句話被證明是事實。

中國古代樂律為十二律，通常與十二月歷放在一起，稱為“歷律”，表示兩者都以十二為進位，循環(huán)前進，以至無窮。二十四史《晉書·列傳》 中說：“十二律，黃帝所作也?！芍荚?，以竹為管，取其自然圓虛也?！?/p>

古代最早樂律計算法是三分損益法，《管子》的作者相傳是管仲（約公元前730～前645）和他的追隨者，成書時間約在公元前645～前400年之間。可見該書記載的“三分損益法”比古希臘畢達哥拉斯（前582～前493）提出的五度律至少要早一百多年。

上述古十二律算法有兩個缺點：一是在計算到最后一律時卻不能循環(huán)復生(因各律之間含有大、小半音的差別)，造成十二律不能完美旋宮；二是在管樂器上音律不準。晉人荀勖（？～289年）進行研究，根據損益弦法，結合直笛吹口與各音孔間距離制作實踐，發(fā)明了管口校正法，基本上解決了管樂器的音準問題。“三分損益法”的十二律不能完美地旋宮轉調，千百年來困擾著律學家，直到明朝朱載發(fā)現(xiàn)第三個無理數 ，才得以徹底解決。

朱載（1536～1611）出生在懷慶府鄭恭王府，是鄭恭王朱厚烷的嫡子、明太祖朱元璋的九代孫。朱載14歲時，因其父上書當朝皇帝，受誣陷而入獄。朱載憤然離開王宮，在附近筑了一間簡陋土屋，在那里獨居數十年，從事研究。直到換了皇帝，他父親冤情昭雪，復爵還邸，他才肯回到王府。其父去世后，他不愿襲爵，自稱道人，繼續(xù)研究，終其一生。死后葬于沁陽郊區(qū)九峰山。

朱載的研究成果很多，其中1584年完成的《律學新說》影響最大。他提出的樂律應該稱為“十二等比分割律”。要了解此樂律，先得從“2開十二次方”的值說起。他把多部珠算算盤連接起來，成為橫跨81檔的特大算盤，并在其上進行2的開平方，再開平方，再開立方的計算（即2開十二次方），得出此值是1.05946。這是他發(fā)現(xiàn)的對音樂至關重要的第三個無理數。他認為任何一個倍頻程均可分割成“十二個‘半音階”，任何一個半音階與前一個半音階頻率的比值都是這個數；徹底解決了“三分損益法”的旋宮轉調難題。這是科學史上最重要的發(fā)現(xiàn)之一。

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