馬　復　章　飛　朱　誠

2004年6月，15個國家新課程實驗區(qū)舉行了初中生數(shù)學學業(yè)考試，一共產(chǎn)生了12份試卷（有4個實驗區(qū)共用一份試卷）。這是全國首次基于《全日制義務教育數(shù)學課程標準》（以下簡稱《標準》）而進行的數(shù)學學業(yè)考試，其中出現(xiàn)了許多值得我們繼續(xù)發(fā)揚的亮點，同時，我們也看到，一些地區(qū)的試卷仍然存在不盡如人意的地方，而基于《標準》的命題也給我們帶來了很大的挑戰(zhàn)，該如何應對？本文將對這些問題作一些分析和回應。

一、2004年數(shù)學學業(yè)考試四大亮點。

實驗區(qū)的絕大多數(shù)試卷有不少特點和新意，概括起來，有四個亮點：關(guān)注對數(shù)學核心內(nèi)容的考查;關(guān)注對應用數(shù)學解決問題能力的考查，突出試題的教育價值;關(guān)注對數(shù)學活動過程的評價;關(guān)注個性化評價。

1.關(guān)注對數(shù)學核心內(nèi)容的考查。

所有實驗區(qū)的試卷都比較關(guān)注對學生掌握數(shù)學核心內(nèi)容情況的考查，這其中包括了對《標準》中規(guī)定的重要的數(shù)學基礎知識、基本技能和基本思想方法的考查。

【點評】代數(shù)中的化簡求值問題，是《標準》所規(guī)定的一個基本內(nèi)容，它涉及對運算的理解以及運算技能的掌握兩個方面。以往，我們大多以直接考查運算技能的掌握情況作為基本命題思路，但本題卻以考查對運算原理的理解作為命題的重心;而且一改“化簡求-xx2-2x+1x2-1x-1x2+x÷-x=x2-2x+1x2-1x-1x2+x÷-x（x-1）2（x+1）（x-1）x（x+1）x-1×值”類型的命題方式，以學生日常學習中抄錯數(shù)而計算結(jié)果正確的現(xiàn)象為背景來引出問題，給人以耳目一新的感覺，不僅沒有削弱對運算技能的考查，還隱藏了問題的解決思路，較好地考查了學生對運算原理的理解和應用。

例：已知拋物線y=（x-4）2-3的部分圖象（如圖），圖象再次與x軸相交時，交點的坐標是（）

【點評】本題所考查的對象是有關(guān)函數(shù)的一個基本特性，試題構(gòu)思頗有新意，采用數(shù)形結(jié)合的方法給出部分信息，既給擅長不同思維方式的學生提供了不同的思路，又有效地考查了相關(guān)的重要內(nèi)容。學生可以利用函數(shù)與方程的關(guān)聯(lián)通過解一元二次方程（x-4）2-3=0求出圖象與x軸的另一交點坐標，也可以利用拋物線的幾何性質(zhì)———軸對稱性來確定另一點的坐標，兩種方法都是數(shù)學中的重要內(nèi)容。應該注意的是對核心內(nèi)容的考查不能簡單地視為對基礎知識和技能的考查，更不能等同于考簡單題。它更多的是對基本而重要的內(nèi)容的考查。

2.關(guān)注對應用數(shù)學解決問題能力的考查。

應用數(shù)學解決問題的能力既是《標準》中的一個重要課程目標，也是學生對相關(guān)數(shù)學內(nèi)容理解水平的一個標志，各實驗區(qū)的試卷都對此項評價指標賦予了較高的分值。

例：在某旅游景區(qū)上山的一條小路上，有一些斷斷續(xù)續(xù)的臺階。圖1是其中的甲、乙段臺階路的示意圖。

請你用所學過的有關(guān)統(tǒng)計知識（平均數(shù)、中位數(shù)、方差和極差）回答下列問題：

（1）兩段臺階路有哪些相同點和不同點？

（2）哪段臺階路走起來更舒服？為什么？

（3）為方便游客行走，需要重新整修上山的小路對于這兩段臺階路，在臺階數(shù)不變的情況下，請你提出合理的整修建議。

【點評】首先，試題的背景是游客上山的小路，具有很強的生活性，同時也讓學生感受到數(shù)學的無處不在：走在旅游中的小路上都可以看到數(shù)學、用到數(shù)學的原理，具有一定的教育價值;其次，設問自然，有層次感：第（1）小題，在許多試題中，給出幾何體、幾何圖形要求學生觀察異同的問題屢見不鮮，給出兩組數(shù)據(jù)要求學生比較異同的問題也時有出現(xiàn)，但比較臺階路的異同較新穎，學生需要經(jīng)歷一個數(shù)學化的過程———將對臺階的比較這一現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為對兩組數(shù)據(jù)的比較，可以從多個角度進行，如計算平均數(shù)、方差等基于第（1）小題，很自然地想到這些形式上的相同與不同所產(chǎn)生的現(xiàn)實結(jié)果，即方差大的臺階路走起來不舒服，從而考查對統(tǒng)計數(shù)據(jù)現(xiàn)實意義的理解水平，體現(xiàn)了活用統(tǒng)計知識的重要意義，使《標準》中“發(fā)展統(tǒng)計觀念”這一要求得以落實;第（3）小題仍然是現(xiàn)實問題要求提出合理的整修建議，具有很強的開放性，給學生提供了展示自我解決問題能力的足夠空間。

例：在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量A、B兩點間的距離。

請你用學過的數(shù)學知識按以下要求設計一測量方案。

（1）畫出測量圖案;

（2）寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示）;

（3）計算AB的距離（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）。

答案：答案不唯一，可以利用三角形中位線定理、三角形全等、勾股定理或者解直角三角形的知識等等，只要設計能夠?qū)嶋H操作，滿足題目要求即可。

【點評】本題將試題的求解落實到“設計一個滿足要求的測量方案”，重在考查學生建立數(shù)學模型的能力，并借此評價學生用數(shù)學解決實際問題的能力。設計方案的過程既需要學生能夠靈活運用相關(guān)的知識與技能，更要求學生能夠在頭腦里做“實驗”———判斷方案的合理性與有效性。同時，由于本題采用開放題的形式來考查，使試題更加活潑，更好地適應不同學生的思維，因而具有較好的信度。

應用數(shù)學解決問題———既包括解數(shù)學問題，也括解非數(shù)學問題，是《標準》所提出的一個重要的課目標，而且這里的“問題”通常都不是套用一個公定理就能夠得到求解程序的，它往往需要學生首先問題做“數(shù)學化”的工作———識別其中蘊含的數(shù)學象、數(shù)學關(guān)系，建立適當?shù)摹皵?shù)學模型”;隨后是求這個“數(shù)學模型”，再通過檢驗所獲得的數(shù)學解的合性，進而得到原問題的解。這樣的數(shù)學活動過程無很好地反映了問題解決者對相關(guān)數(shù)學的理解特征，以作為評價學生數(shù)學學習狀況的較為理想的試題。

3.關(guān)注對數(shù)學活動過程的評價。

《標準》所提出的評價新理念之一是：不僅要關(guān)對學生學習結(jié)果的評價，也要關(guān)注對他們數(shù)學活動程的評價。

在2004年的數(shù)學學業(yè)考試中，一些地的試卷很好地貫徹了這一理念。

在具體實施方面，此類試題的形式多樣，既有注通過閱讀去理解一些數(shù)學對象的試題，也有提供種形式的素材，關(guān)注學生從中獲取信息的試題，還關(guān)注學生從事操作性和探索性活動的試題。

例：在一次實踐活動中，某課題學習小組用測器、皮尺測量旗桿的高度，他們設計了如下方案圖①所示）：

（1）在測點A處安置測傾器，測得旗桿頂部M仰角∠MCE=α;

（2）量出測點A到旗桿底部N的水平距離AN=（3）量出測傾器的高度AC=h。

根據(jù)上述測量數(shù)據(jù)，即可求出旗桿的高度MN如果測量工具不變，請仿照上述過程，設計一測量某小山高度（如圖②）的方案：（1）在圖②中，畫出你測量小山高度MN的示圖（標上適當字母）;（2）寫出你設計的方案。

答案：解：（1）正確畫出示意圖。

（2）①在測點A處安置測傾器，測得此時山頂?shù)难鼋恰螹CE=α;②在測點A與小山之間的B處置測傾器（A、B與N在同一條直線上），測得此時山頂M的仰角∠MDE=β;

③量出測傾器的高度AC=BD=h，以及測點A、B之間的距離AB=m。

根MNECABD圖①MNACEMN圖②據(jù)上述測量數(shù)據(jù)，即可求出小山的高度MN。

【點評】本題以課題學習內(nèi)容為載體，先給出了一個旗桿高度的測量方案，要求學生仿照上述過程，設計一個測量某小山高度的方案，這種設計關(guān)注了對數(shù)學活動的過程性考查。首先，如果學生從未接觸過試題所陳述的實際測量活動，僅憑想象與仿照來正確地解決該問題那是比較困難的，若學生實實在在地進行過實踐活動，那么從活動過程中所獲得的經(jīng)驗、感悟以及對相應知識或方法的理解將會有效地體現(xiàn)在該題的求解過程中。因為這里的“仿照設計”不是一種簡單地照搬，必須以理解、領會問題和方法為前提，然后才有可能遷移到待解決的問題上去，因而能較好地考查學生的理解水平以及類比和遷移能力;同時，在一定程度上它還能考查學生的數(shù)學表達能力、邏輯思維能力、空間觀念、作圖技能等。

如何評價學生的數(shù)學活動過程，是一個極具挑戰(zhàn)性的任務，其中包括考查什么、怎樣考，一些實驗區(qū)對此做了有益的嘗試。

4.關(guān)注個性化評價。

承認差異，尊重個性，給每一位學生以充分的發(fā)展空間是《標準》提倡的一個基本理念，而給學生以更多的自主性，讓不同類型、不同水平的學生盡可能地展現(xiàn)自己的數(shù)學才能是《2004年課程改革實驗區(qū)初中畢業(yè)數(shù)學學業(yè)考試命題指導》所提出的一個新的命題原則。大多數(shù)實驗區(qū)的數(shù)學試卷，對此都有較好的反映。

具體的操作方式主要有以下三種。

———設置自主選擇試題：在試卷上設立可以選做的試題，讓學生根據(jù)自己的數(shù)學學習狀況、認知特征選擇恰當?shù)脑囶}做答，以充分表現(xiàn)自己的數(shù)學學習才能。

———提供開放性試題：在試卷上設立了開放性試題，力圖使每一個學生都能夠根據(jù)自己的思考角度、對試題背景的理解程度，提出一個問題、給出一個結(jié)論（猜想）或提供一種結(jié)論之所以成立的解釋（證明），等等。

———制訂個性化評分標準：對于某些具有個性化的試題求解過程，例如提出問題、給出開放性試題的答案等，制訂一個開放的、不同類型、不同層次的評分標準，使所有對試題提供了實質(zhì)性解答的學生都能夠獲得相應的分數(shù)，而不是簡單地將學生的解答套入事先預定的“標準解答”體系之中。

例：（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分5分;第（2）、（3）小題為選答題，其中第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請從中任選1小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評分。）

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE。

（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE。

（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明。

注意：第（2）、（3）小題你選答的是第小題。

【點評】本題通過直線MN的旋轉(zhuǎn)構(gòu)造問題，蘊含了對觀察、動手操作、猜測、合理推斷、合理推理論證等數(shù)學活動的考查。試題的要求層次分明———其區(qū)別的實質(zhì)在于對題中蘊含的“對稱”現(xiàn)象的領悟，使學習水平不同的學生在考試中有發(fā)揮的機會和余地，本題的第（2）、（3）小題可任選一題，這樣既尊重了學生的數(shù)學差異，體現(xiàn)對學生的人文關(guān)懷，又能保障不同層次的學生得到不同的評價，有利于激發(fā)學生的思維激情和潛能，這種做法值得倡導。需要指出的是，與該題類似的問題曾經(jīng)在一些復習資料中出現(xiàn)過，如此也許會導致考試中的“不公平”現(xiàn)象出現(xiàn)，影響考試的效度。

例：從下面兩題中任選一題進行解答，其中第（2）題賦分高于第（1）題。

（1）先在左面的一塊方格紙上畫一個軸對稱圖形作為基礎圖形，再將基礎圖形去掉或添上一部分，使新圖形仍為軸對稱圖形，畫在右面的方格紙上。

（2）先在左面的一塊方格紙上畫一個軸對稱圖形作為基礎圖形，再將基礎圖形的一部分平移或旋轉(zhuǎn)到剩余圖形的某一位置組成新的圖形，使新圖形仍為軸對稱圖形，畫在右面的方格紙上。

【點評】本題的解答多種多樣，有較大的開放性，同時給不同層次的解答賦予不同的分數(shù)，這種設計既有效考查了學生對軸對稱概念的理解水平、平移與旋轉(zhuǎn)的有關(guān)知識，又達到了發(fā)展幾何直覺的目的，體現(xiàn)了“動手實踐，自主探索”的學習理念與讓不同學生DMNCEABABENDCMABDNECM圖1圖2圖3基礎圖形變換圖形得到不同發(fā)展表現(xiàn)的評價理念。同時，在命題形式上突破了判斷某一圖形是否為對稱圖形的常規(guī)設計思路，活潑而又新鮮。考查學生在數(shù)學學習方面的個性化特征是一個全新的評價方面，它表明了這樣一個基本理念：客觀上看，不同學生之間的數(shù)學學習存在著差異，這樣的差異不能夠簡單地用“好”與“差”來區(qū)分，更合理的認識是：差異是如何表現(xiàn)的，它們各自的優(yōu)劣何在？我們對此能夠采用什么教學策略去促進這些學生更好地發(fā)展？

二、需要改進和研討的問題。

實驗區(qū)的試卷在表現(xiàn)出上述較好特點的同時，也在命題理念、基本立意或命題技術(shù)等方面存在一些需要改進和研究的問題。

1.需要改進的問題。

（1）考查內(nèi)容超出《標準》的要求。

數(shù)學學業(yè)考試的考查內(nèi)容必須限定在《標準》的要求之內(nèi)，這是不容置疑的，但仍然有個別試卷疏忽了這一點，使得試卷內(nèi)出現(xiàn)了要求學生做出“頻率分布圖”等《標準》不要求的試題，應當杜絕。同時，另一些“隱性”超標的現(xiàn)象也應當引起注意，如對基本代數(shù)運算技能和幾何證明技能的要求過高。

（2）試題的科學性與合理性問題。

作為學業(yè)考試的試題必須慎重思考其科學性與合理性，但在這一點上一些試卷尚需改進———尤其在統(tǒng)計樣本的確認、應用性試題的背景敘述等方面。

例：初中學生的視力狀況已受到全社會廣泛關(guān)注。

某市有關(guān)部門對全市20萬名初中學生視力狀況進行了一次抽樣調(diào)查，從中隨機抽查了10所中學全體初中學生的視力，圖1、圖2是2004年抽樣情況統(tǒng)計圖。

請你根據(jù)下圖解答以下問題：①2004年這10所中學初中學生的總?cè)藬?shù)有多少人？

②2004年這10所中學的初中學生中，視力在4.75以上的學生人數(shù)占全市初中學生總?cè)藬?shù)的百分比是多少？

③2004年該市參加中考的學生達66000人，請你估計2004年該市這10所中學參加中考的學生共有多少人？1

【點評】這是一個有關(guān)統(tǒng)計的試題，題干表明：該統(tǒng)計活動是對本市初中學生視力狀況的一個調(diào)查，采用的是“抽樣調(diào)查”的方式。但該試題有幾個值得商榷的地方：首先，在樣本的選取方式上，試題有一個比較明顯的不妥之處———將學校，而不是學生作為隨機抽樣的對象。這使得樣本的代表性受到質(zhì)疑。其次，統(tǒng)計活動本身是關(guān)注學生視力情況的，但試題中的主要問題都只是關(guān)注樣本的具體數(shù)量，其結(jié)果對從事這項調(diào)查活動的初衷似乎幫助不大，不能體現(xiàn)抽樣調(diào)查目的是“借助樣本了解總體”這一基本統(tǒng)計思想。

（3）簡單借用陳題。

應當說，模仿成功的命題方法或一道良好試題的基本結(jié)構(gòu)模式是快速編擬試題的一種有效方法，在一般性試題的編制中常常使用，而在學業(yè)考試這種具有高利害關(guān)系的試題的編制中則需要審慎而行。但有一些實驗區(qū)的試卷中出現(xiàn)了基本照搬往年其他地區(qū)個別中考試題的情況，應當予以改進。

一般而言，在編制主觀性試題時，如果要借鑒某種命題方法或使用某道先前的試題（包括其有價值的構(gòu)思方式）時，一定要對問題情景或設問方式做較大的改變，即在借鑒時應做帶有實質(zhì)性的替換或改造工作，否則，就會不恰當?shù)胤糯罂荚噷虒W的負面影響———導致實際教學中的大運動量、覆蓋式的題海訓練，而不利于引導學生關(guān)注對數(shù)學的理解，從而真正提高其數(shù)學素養(yǎng)。

（4）題型選用不當。

【點評】本題有不少可取之處，如果學生先解出帶參數(shù)的不等式后，再提供觀察圖形，求解方程以確定a的取值，那么就較好地考查了幾方面的知識、技能與某些思想方法，是有價值的;如果學生將數(shù)據(jù)逐個代入驗證以得出答案，就僅僅考查了解簡單不等式的技能，兩種方法在思維能力的表現(xiàn)上差異較大。如果命題者以考查前者為目標，而設置成了選擇題，那么就大大降低了試題的效度;如果命題者一開始就認為這兩種解答都是合理的，后者可以考查學生的機靈性，那么就會在一定程度上引導教學關(guān)注應試技巧而不是數(shù)學能力本身，這一導向是不值得提倡的。實際上，將本題改成填空題后，上述問題就解決了?？梢娨_到合理的考查目標，選擇適當?shù)念}型也是非常重要的。不同的題型有不同的功能，這是在命題時要有所考慮的。

此外，還存在著某些試題的表述還不夠嚴謹、脫離學生實際的現(xiàn)象，這些都需要努力加以改進。

2.需要研究的問題。

2004年的數(shù)學學業(yè)考試試卷表現(xiàn)出了許多新穎且富有價值的特點與形式，各地在學業(yè)考試的命題過程中，勇于實踐、大膽創(chuàng)新，提出了許多比較有效或值得探討的命題思路和方法，也命制了許多好題和新題。但也應當看到，基于《標準》的命題工作總體上還處于探索的階段，不可避免地存在著“摸著石頭過河的現(xiàn)象，因而出現(xiàn)一些問題也是很正常的，特別是那些屬于“前進中的問題”。為了盡快提升數(shù)學學業(yè)考試試題編制水平，促進命題工作的規(guī)范性和高效性，現(xiàn)提出如下一些具體問題供老師們研討。

（1）關(guān)于應用性試題。

作為一種嘗試，在中考和學業(yè)考試的數(shù)學試卷中加入應用性試題已經(jīng)得到了廣泛的認同。但因此而產(chǎn)生的許多問題也是需要我們共同研究的，如：

——應用性試題通常有一定的文字閱讀量，文字量的多少、文字表述的可理解性等等，都會影響著學生的答題水平。

那么，就一道題目而言，文字量大體上在什么范圍內(nèi)才合理？——應用性試題常常有一個相對“真實”的背景解題都是在理解背景“真實”含義的基礎之上進行的而對背景“真實”含義的理解也是造成學生解答試題的又一個重要障礙，因此，怎樣在“背景真實性”與“問題可理解性”之間形成一種平衡？（2）關(guān)于個性化評價。關(guān)注對學生在數(shù)學學習方面?zhèn)€性特征的考查無疑是值得提倡的。

但是，在具體實施過程中，我們也面臨著許多需要進一步研究的問題：

———在設立自主選擇試題的過程中，從什么角度設置不同的供選擇試題？如何保證不同試題之間的公平性如何保證在考查能力方面的等價性與信度？所賦予的分值是否等價、給不同的試題賦予了不同的分值是否合理？

———開放性試題的結(jié)構(gòu)常常有一定的“不確定性”那么，“開放性試題”的表述怎樣才是恰當?shù)摹冉o學生以充分的理解空間，又不至于造成對問題的不理解？怎樣的開放題才是有價值的？如何把握“開放”的方向和程度，才是適宜的？怎樣保證開放題的評分標準合理、有效———給具有不同理解深度的答案賦予不同的分值，鼓勵考生充分發(fā)揮自己的才能，給出自己的“最佳”答案或“最富有創(chuàng)意”的答案？

三、展望2005年數(shù)學學業(yè)考試。

展望2005年的數(shù)學學業(yè)考試，我們可以看到一方面，各地的命題將繼承和發(fā)展2004年值得倡導的做法;另一方面，《標準》對于數(shù)學學習評價的建議《2005年課程改革實驗區(qū)初中畢業(yè)數(shù)學學業(yè)考試命題指導》（以下簡稱《命題指導》）的精神和建議也將對各地的命題工作帶來較為明顯的影響。這里，我們將著重探索基于《標準》和《命題指導》的主要精神來命題，將可能使哪些方面成為考查的重心。

1.《標準》中的核心內(nèi)容將仍然是評價的重心之一。

正如前文所述，《標準》中的核心內(nèi)容（包括知識、技能、方法等層面）是指重要的而不僅僅是基礎的內(nèi)容，讓學生掌握這些內(nèi)容無疑是數(shù)學教學的重要使命之一，當然也就成為評價的重心之一。例如：

———代數(shù)運算：理解運算的意義、算理，合理地進行基本運算與估算;在實際情境中有效地使用代數(shù)運算、代數(shù)模型及相關(guān)概念解決問題，等等。這些應當是考查“代數(shù)運算”學習的重心所在。

例：請你設計一種合理的方法，估計一下一個行進在小雨中的人5分鐘內(nèi)身上淋到的雨的質(zhì)量，簡要敘述估算的過程。

例：算式2²+2²+2²+2²的結(jié)果是（）。

A.2⁴B.8⁴C.2⁸D.2¹⁶

———方程與不等式：求解基本的方程與不等式，并利用它們解決問題會成為這部分內(nèi)容的考查要點。

例：設“●”、“▲”、“■”表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如圖所示，那么●、▲、■這三種物體按質(zhì)量從大到小的順序排列應為（）。

———函數(shù)：關(guān)注探索與表達給定的情境中（圖象、語言、活動過程等）存在的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律。

例：閱讀材料，解答問題。

材料：小聰設計的一個電子游戲是：一電子跳蚤從點P1（-3，9）開始，按點的橫坐標依次增加1的規(guī)律，在拋物線y=x2上向右跳動，得到點P2、P3、P4、P5……（如圖12所示）。

過P1、P2、P3分別作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x軸，垂足為H1、H2、H3，

問題：（1）求四邊形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面積（要求：寫出其中一個四邊形面積的求解過程，另一個直接寫出答案）;（2）猜想四邊形Pn-1PnPn+1Pn+2的面梯形P1H1H3P3S△P1P2P3S=-梯形P1H1H2P2S-梯形P2H2H3P3S=（9+1）×2-（9+4）×1-（4+1）×1121212=1●●●▲●▲■▲■■▲xy0P5P7P649P3P1P2-1-2-3（P4）圖12H3H2H1ABCEDF-2-101234-2-101234甲乙xyPn+2Pn+1PnPn-10圖13積，并說明理由（利用圖13）;（3）若將拋物線y=x2改為拋物線y=x2+bx+c，其他條件不變，猜想四邊形Pn-1PnPn+1Pn+2的面積（直接寫出答案）。

———空間觀念：使用不同的方式表達幾何對象的大小、形狀和相對位置關(guān)系;進行幾何圖形的分解與組合;理解對稱等重要的幾何觀念;對某些圖形進行簡單的變換，并借此解決一些簡單的問題。

例：請畫出一個只有兩條對稱軸的六邊形。

———數(shù)學證明：能夠借助數(shù)學證明的方法確認數(shù)學命題的正確性，包括探索命題與證明命題的正確性。

例：如圖，AB=AC，D、E分別是線段AC、AB上的點，且AD=AE，BD交CE于F，試在圖中找出3對全等三角形和3個等腰三角形，并對其中一個結(jié)論給出證明。

———數(shù)據(jù)處理：理解統(tǒng)計量的意義，能夠結(jié)合實際需要有效地表達數(shù)據(jù)特征，會根據(jù)數(shù)據(jù)結(jié)果做合理的預測。

例：不通過計算，比較下圖中甲、乙兩組數(shù)據(jù)的標準差。

例：據(jù)國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)分析表明：2004年底我國大陸人口達到129988萬，平均每天凈增人口約2.08萬。

（1）你能據(jù)此預測我國大陸哪一天達到13億人口嗎？說說你是如何估計的。

（2）據(jù)報道，1月6日0時02分，北京婦產(chǎn)醫(yī)院出生了一名男嬰，有關(guān)部門向其頒發(fā)我國大陸第13億個公民證書。

你如何看待這件事情，你能從統(tǒng)計的角度提出幾個問題嗎？———概率：了解概率的基本含義，能夠借助概率模型或通過設計具體活動解釋一些事件發(fā)生的可能性、求解相應的概率值。

例：通過學習，小明知道隨機地拋擲一枚均勻的硬幣，落地后國徽朝上和朝下的概率相等?？墒切∶髯隽?00次實驗，發(fā)現(xiàn)其中52次國徽朝上，48次國徽朝下。

因此，他認為這枚硬幣不均勻，你的觀點如何，說說你的理由。有條件的地區(qū)還應當考查學生能否使用計算器解圖160°120°圖2決相應的數(shù)值計算問題和從事有關(guān)探索規(guī)律的活動。

例：已知方程x3+2x-15=0恰有一個正根，請利用計算器估計該根的大小（要求誤差小于0.05），并寫出你的估算過程。

2.數(shù)學活動過程。

作為《標準》提出的一個新的課程目標，學生從事數(shù)學學習活動的過程應當納入我們的評價視野，具體說來，根據(jù)《命題指導》，以下方面將成為考查的指標：學生在數(shù)學活動過程中所表現(xiàn)出來的思維方式、思維水平，對活動對象、相關(guān)知識與方法的理解深度;從事探究、證明等活動的意識、能力和信心等都可以成為考查對象，問題是怎么考。我們認為：能否通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數(shù)學猜想，并尋求證明猜想的合理性;能否使用恰當?shù)臄?shù)學語言有條理地表達自己的數(shù)學思考過程，可以成為具體的命題思路。

例如，設計一個“做數(shù)學”的活動———或者是猜測與證明一個數(shù)學規(guī)律，或者是設計一個解釋現(xiàn)象（問題）特征的數(shù)學模型，或者是尋找一個解決問題的途徑、方案。又如，設計一些多層次的問題，使學生在問題的解答過程中暴露自己的思維活動過程，從而進行有關(guān)過程性目標的考查。

例：在數(shù)學活動課上，老師要求同學們先做下面的“循環(huán)分割”操作，然后再探索規(guī)律。

圖1是一張等腰梯形紙片，其腰長與上底長相等，且底角分別為60°和120°，按要求開始操作（每次分割，紙片均不得留有剩余）：

第1次分割：先將原等腰梯形紙片分割成3個全等的正三角形，然后將分割出的一個正三角形分割成3個全等的等腰梯形;第2次分割：先將上次分割出的3個等腰梯形中的一個分割成3個全等的正三角形;然后將剛分割出的一個正三角形分割成3個全等的等腰三角形。

以后按第2次分割的方法進行下去……（1）請你在圖2中畫出第一次分割的方案圖。

（2）若原等腰梯形的面積為a，請你通過操作、觀察，將第2次、第3次分割后所得的一個最小等腰梯形面積分別填入下表：

（3）請你猜想，分割所得的一個最小等腰梯形面分割次數(shù)（n）123…一個最小等腰梯形面積（S）19a…積S與分割次數(shù)n有何關(guān)系？（請直接用含a的式子表示，不需寫推理過程。）

3.解決問題。

這一方面的考查指標在近年來的各地中考試卷中屢有涉及，而從《標準》的角度，對于考查指標，可以更多地關(guān)注：能否從數(shù)學的角度提出問題、理解問題并綜合運用數(shù)學知識解決問題，是否具有一定的解決問題的基本策略，能否合乎邏輯地與他人交流，具有初步的反思意識等等，而在試題呈現(xiàn)的素材方面，更多地體現(xiàn)學生的現(xiàn)實性;對試題求解的要求也多樣化。

例：如圖1，過正方形ABCD中某點O任作直線m交AD和BC于H、F，過點O作HF的垂線n交AB、CD于E、G。

（1）觀察、猜想EG與FH之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

（2）當點O沿HF向F移動時，由題意確定的相應直線n也在變化，當直線n與線段AB沒有交點時，你能得到與（1）類似的結(jié)論嗎？證明這個結(jié)論并說說類似的理由。

（3）如圖2，點E、F在DA和CB的延長線上。

現(xiàn)僅有能畫直角的工具，你如何在DC或者其延長線上找到一點M，使點M到EF的距離等于EF。

需要指出的是，限于篇幅，這里所探討的考查內(nèi)容并沒有覆蓋《標準》所要求的所有重要的學習內(nèi)容，事實上，許多應當考查的知識（包括概念、定理、法則等）和方法都沒有列入，但它們必將在試卷中出現(xiàn)。