湖北省黃石市第七中學(xué) (435000) 谷文俊 劉靜平

在高三二輪復(fù)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)常能碰到已知條件為抽象函數(shù)及抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)的不等關(guān)系，然后求抽象不等式解集或判斷大小關(guān)系的題.學(xué)生在解決這類問題的的時(shí)候，面對常見和簡單題時(shí)還能做出來，但稍微復(fù)雜點(diǎn)的題就會(huì)出現(xiàn)下不了筆的情況，主要原因是隨著已知條件中的抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等關(guān)系的變化，學(xué)生不能合理的構(gòu)造新的函數(shù)，然后利用新函數(shù)的單調(diào)性解決面對的問題.本文結(jié)合在教學(xué)過程中碰到的問題，并對問題進(jìn)行梳理，歸納總結(jié)出一些常用的解題方法.

一、構(gòu)造f(x)·g(x)或類型函數(shù)

例1 設(shè)f(x),g(x)分別為R上的奇函數(shù)和偶函數(shù).當(dāng)x<0時(shí),f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0且g(-3)=0,則f(x)·g(x)<0的解集是.

解析：由已知條件可構(gòu)造新函數(shù)F(x)=f(x)g(x).當(dāng)x<0時(shí),F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,所以F(x)在(-∞,0)單調(diào)遞增.又F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),所以F(x)為奇函數(shù).從而F(x)=f(x)·g(x)<0的解集為(-∞,-3)∪(0,3).

例2 (2015年全國卷理科)設(shè)f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)在R上為奇函數(shù)，f(-1)=0，當(dāng)x>0時(shí)有xf′(x)-f(x)<0，則使f(x)>0成立的x的范圍為.

例3 已知f(x)是定義在(0,+∞)上非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′(x)+f(x)≤0，對任意的正數(shù)a,b,若a

A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)

C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)

注：當(dāng)已知條件中有結(jié)構(gòu)類似于f′(x)g(x)±f(x)g′(x)的不等式可以構(gòu)造這種類型的新函數(shù).通過求導(dǎo)判斷新函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小解不等式或者利用函數(shù)的圖像特點(diǎn)得到不等式的解集.

二、構(gòu)造f(x)±g(x)+k類型函數(shù)

例4 (2015年福建卷)若定義在R上函數(shù)f(x)滿足f(0)=-1，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)>k>1，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( ).

注：當(dāng)已知條件中有結(jié)構(gòu)類似于f′(x)±a的不等式可以構(gòu)造這種類型的新函數(shù).在構(gòu)造新函數(shù)的過程中，可以結(jié)合題目的特點(diǎn)考慮新函數(shù)的后面有常數(shù)k，以方便計(jì)算.

三、構(gòu)造ex·f(x)或類型函數(shù)

例7 定義在R上函數(shù)f(x)滿足f′(x)>1-f(x),f(0)=6，則ex·f(x)>ex+5的解集為.

解析：可構(gòu)造函數(shù)F(x)=ex·f(x)-ex，利用由f′(x)>1-f(x)可得F(x)=ex·f(x)-ex在R上單調(diào)遞增.又因?yàn)閑x·f(x)-ex>5,F(0)=e0f(0)-e0=5,則F(x)>F(0),所以ex·f(x)>ex+5解集為(0,+∞).

例8 已知f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)且f(0)=0，對任意實(shí)數(shù)x恒有f(x)>f′(x)+1,求不等式f(x)+ex<1的解集為.

-1,則F(x)

例9 已知f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)且2f(x)+f′(x)>2，f(0)=8，求不等式f(x)-7e-2x>1的解集.

解析：構(gòu)造函數(shù)F(x)=e2x·f(x)-e2x,由2f(x)+f′(x)>2可得F′(x)=e2x(2f(x)+f′(x)-2)>0,所以F(x)=e2x·f(x)-e2x單調(diào)遞增.對f(x)-7e-2x>1變形有e2xf(x)-e2x>7.又因?yàn)镕(0)=7,則F(x)>f(0).所以f(x)-7e-2x>1的解集為(0,+∞).

注：當(dāng)已知條件中有結(jié)構(gòu)類似于f′(x)±f(x)的不等式可以構(gòu)造這種類型的新函數(shù).構(gòu)造新函數(shù)的過程中要不斷的嘗試，且特別要注意ex求導(dǎo)的特點(diǎn).對復(fù)雜不等式，要結(jié)合新函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)對不等式進(jìn)行變形，將其變成與新函數(shù)表達(dá)式有關(guān)的形式，再利用單調(diào)性比較大小，求出不等式的解集.