逯文鳴，趙 易

（杭州電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，浙江杭州310018）

0 引 言

Bernstein算子是一類重要的線性算子，在逼近論及計(jì)算數(shù)學(xué)等方面有著許多應(yīng)用。設(shè)C［0，1］表示在［0，1］上定義的連續(xù)函數(shù)全體，對(duì)任意的 f∈C［0，1］，Bernstein 算子有如下的定義：B（f，x）：=，k=0，1，…，n，關(guān)于Bernstein算子的研究結(jié)果非常豐富。其中，Bernstein-Markov型不等式是研究的問題之一。數(shù)學(xué)研究者們?cè)o出一系列的結(jié)論，比如在文獻(xiàn)1中，有結(jié)論‖B′（f）‖［-1，1］≤n2·‖B（f）‖；而在文獻(xiàn)2中，給出了‖φ2B″（f）‖［-1，1］≤Cn‖f‖［-1，1］。近年來，許多國外國內(nèi)學(xué)者關(guān)注具有奇性的函數(shù)，DellaVecchia D，趙易等都對(duì)其進(jìn)行了研究，參考文獻(xiàn)3，4。通過多項(xiàng)式來研究帶有奇點(diǎn)的函數(shù)的逼近及相關(guān)結(jié)論，無論在理論和應(yīng)用方面都有重要意義。論文主要研究關(guān)于奇性函數(shù)的Bernstein-Markov型不等式，并把文獻(xiàn)2的結(jié)果作了推廣。

1 主要結(jié)論

要實(shí)現(xiàn)Bernstein多項(xiàng)式對(duì)此類函數(shù)的逼近，必須對(duì)其進(jìn)行修正：對(duì)任意 f∈Cw，修正的Bernstein算子定義為：

本文對(duì)上述不等式進(jìn)行推廣，有如下Bernstein算子關(guān)于奇性函數(shù)的Bernstein-Markov型不等式：

式中，分別令λ=0及λ=1，則有：

推論1

推論2

其中推論2即為文獻(xiàn)2中結(jié)論，即不等式3，且此不等式從函數(shù)具有奇性的角度推廣了文獻(xiàn)2。

2 主要結(jié)果及證明

式中，Ih=［16h2，1-16h2］，

引理 1 對(duì)任意的α，β＞ 0，f∈Cw，有‖w（f）‖≤C‖wf‖。

定理1 對(duì)任意的α，β＞0有：證明 （1）當(dāng) f∈Cw時(shí)，分兩種情況討論：1）當(dāng) x∈［0］時(shí)，我們有|w（x）φ2λ（x］時(shí)，類似可得

根據(jù)以上有：

容易算得A（0x）=n w（x）φ2λ-（2x）B*n（f，x）≤Cn2-λ‖wf‖ 。又有A（1x）=w（x）φ2λ-（4x）

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［3］ Ditzian Z，ToticV.Moduli of smoothness［M］.New York：Springer-Verlag，1987：112-157.

［4］ 郭順生，陳偉英.Bernstein算子帶權(quán)同時(shí)逼近的點(diǎn)態(tài)結(jié)果［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，28（3）：466-481.

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