1直線邊界的磁場

粒子運(yùn)動軌跡與直線邊界形成特定幾何關(guān)系，進(jìn)出磁場具有對稱性.因邊界為直線，粒子運(yùn)動軌跡圓弧與直線邊界相交形成的弦、圓心與邊界的距離等幾何元素，在問題中起著關(guān)鍵作用.而且粒子在磁場中的運(yùn)動時間與軌跡圓弧所對圓心角直接相關(guān).

例1如圖1所示，水平面內(nèi)直線MN上方存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場.現(xiàn)有電子1和2從直線 MN 上的 a 點(diǎn)以垂直于磁場的方向射入磁場，兩者速率相同.其中電子1入射速度方向垂直于直線 MN ，且經(jīng)過 t₁ 時間從 b 點(diǎn)離開磁場.而電子2入射方向如圖所示，經(jīng)過 t₂ 時間從 ab 的中點(diǎn) c 離開磁場，則 為

圖1

解兩電子在磁場中均做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)

題意畫出電子運(yùn)動的軌跡，如圖2所示，由半徑 R=

可知，電子1和2做圓周運(yùn)動的半徑相等.電子1

轉(zhuǎn)過的圓心角為 180^°，ΔaOc 為等邊三角形，則電子

2 轉(zhuǎn)過的圓心角為60°.所以電子1運(yùn)動的時間t1=

，電子2運(yùn)動的時間t= ，所以 （204號

圖2

評析根據(jù)粒子入射速度方向確定軌跡圓弧的圓心位置，常通過作入射速度的垂線來尋找圓心.利用幾何知識求解軌跡圓半徑與已知線段（如入射點(diǎn)到邊界上某點(diǎn)的距離）的關(guān)系.借助粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期公式，結(jié)合圓心角計(jì)算運(yùn)動時間.確定出射點(diǎn)位置時，利用幾何圖形的對稱性質(zhì)，以及已求出的軌跡半徑進(jìn)行求解.

2 圓形邊界的磁場

粒子在圓形磁場區(qū)域內(nèi)運(yùn)動，明晰粒子運(yùn)動軌跡圓與磁場邊界圓的相互關(guān)系，是解決這類問題的核心，如兩圓的交點(diǎn)、圓心距等幾何要素，直接影響物理量的計(jì)算.粒子的運(yùn)動半徑由洛倫茲力提供向心力決定，而磁場半徑的最值問題與粒子軌跡和磁場邊界的相切、相交等臨界狀態(tài)緊密相關(guān).

例2如圖3所示，在紙面內(nèi)半徑為 R 的圓形區(qū)域中有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場.現(xiàn)有一帶電粒子從圖中A點(diǎn)以水平速度 v₀ 垂直于磁場射入，速度的方向與過圓心及 A 點(diǎn)的直線成 60^° 角，當(dāng)該帶電粒子離開磁場時，速度方向改變了 120^° .則下列說法中正確的是

（A）該帶電粒子帶正電.(B)該帶電粒子帶負(fù)電.(C)該帶電粒子在磁場中運(yùn)動的半徑為 (D)該帶電粒子在磁場中運(yùn)動的時間為 t=

圖3

圖4

解根據(jù)粒子的偏轉(zhuǎn)方向以及左手定則可知，該粒子帶正電荷，（A）正確，（B)錯誤；如圖4所示，粒子做圓周運(yùn)動半徑為 ，(C）正確；粒子在磁場中運(yùn)動周期為 粒子在磁場中運(yùn)動時間為 ，(D)正確.所以選項(xiàng)(A)(C)(D）正確.

評析根據(jù)洛倫茲力提供向心力公式得出粒子運(yùn)動半徑.利用運(yùn)動軌跡圓與磁場邊界圓的幾何特點(diǎn)，例如公用弦的中垂線過兩圓圓心、軌跡關(guān)于中垂線對稱等，確定圓心位置和半徑與已知量的關(guān)系.求磁場半徑最值時，分析粒子運(yùn)動軌跡與磁場邊界的臨界情況，例如當(dāng)軌跡圓與磁場邊界圓相切時，通過幾何關(guān)系建立等式求解磁場半徑最值，

3 三角形邊界的磁場

粒子在三角形磁場區(qū)域內(nèi)運(yùn)動，粒子運(yùn)動軌跡與三角形邊界的幾何關(guān)系復(fù)雜多變，需借助三角形的邊角關(guān)系、相似三角形性質(zhì)以及圓與三角形的相切、相交等條件來分析.運(yùn)動時間最長和速度最大的情況，往往與粒子軌跡和三角形邊界的特殊位置關(guān)系相關(guān)

例3如圖5所示，直角三角形abc區(qū)域(含邊界）內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B ，方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場， ∠c=30^°，bc=L .在 a 點(diǎn)將質(zhì)量為3m ，電荷量為 q 的大量帶正電粒子射入磁場，忽略粒子之間的相互作用，且粒子的速度大小和方向都不確定，對于在磁場中運(yùn)動時間最長的粒子，下列說法正確的是

（A）粒子運(yùn)動時間為 (B)入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的距離為 （C）粒子運(yùn)動速度的最大值為 （204號（D）與ac邊的最大距離為

圖5

圖6

解如圖6所示，為粒子在磁場中運(yùn)動時間最長的情況.此時轉(zhuǎn)過的圓心角最大，粒子在磁場中的運(yùn)動時間最長.因?yàn)?∠c=30^°，∠b=90^°，bc=L ，所以 .因?yàn)?∠baO=90^°，∠b=90^°，∠bdO= 90^° ，所以 ∠aOd=90^° ，因?yàn)?aO=dO ，所以四邊形abdO是正方形，所以粒子做圓周運(yùn)動的半徑 r= 粒子做軸圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得 則 3qBL.從ac邊射出的粒子運(yùn)動時間為 （20 ，速度最大的粒子入射點(diǎn)與出射點(diǎn)距離為 ，與 ac 邊的最大距離為 故選項(xiàng)(D)正確.

評析運(yùn)用幾何知識，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系確定粒子運(yùn)動軌跡圓的半徑與三角形邊長的聯(lián)系.例如，當(dāng)粒子軌跡與三角形某邊相切時，可利用切線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角關(guān)系求解半徑.求速度最大值時，分析軌跡與三角形邊界相切的臨界狀態(tài)，可以確定半徑后計(jì)算速度.計(jì)算與某條邊的最大距離時，可以結(jié)合幾何圖形，利用半徑和三角函數(shù)關(guān)系求解.

4結(jié)語

通過對上述例題的分析可知，不同邊界類型的帶電粒子在磁場中的運(yùn)動問題各具特點(diǎn)，解題方法也各有側(cè)重.直線邊界注重對稱關(guān)系和幾何圖形構(gòu)建；圓形邊界關(guān)鍵在于把握兩圓幾何聯(lián)系以及圓心角與物理量的關(guān)聯(lián)；三角形邊界則依賴于邊角關(guān)系和軌跡臨界分析.在學(xué)習(xí)和解題過程中，要善于總結(jié)歸納，依據(jù)不同邊界特征選擇合適的解題策略，