引用格式芮金芳.小學(xué)生代數(shù)思維培育的現(xiàn)狀分析及教學(xué)應(yīng)對(duì)Ⅲ.教學(xué)與管理，2025（23）：56-59.

小學(xué)階段代數(shù)思維發(fā)展的核心是培養(yǎng)學(xué)生一般化的表達(dá)與推理能力?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《2022版課標(biāo)》）在小學(xué)階段課程內(nèi)容中強(qiáng)調(diào)，“要理解用字母表示的一般性，形成初步的代數(shù)思維”。小學(xué)階段的代數(shù)思維滲透在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，對(duì)培育學(xué)生符號(hào)意識(shí)、推理意識(shí)等核心素養(yǎng)發(fā)揮著重要作用。但在實(shí)際教學(xué)中卻存在算術(shù)思維與代數(shù)思維割裂的現(xiàn)象，學(xué)生代數(shù)思維水平整體處于低層次、低結(jié)構(gòu)狀態(tài)；教師往往忽視代數(shù)思維的早期滲透與孕伏，從而影響代數(shù)思維學(xué)習(xí)的小初銜接。作為一線教師如何發(fā)掘課程內(nèi)容中的代數(shù)學(xué)習(xí)資源，做好算術(shù)思維與代數(shù)思維的過(guò)渡銜接，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要話題

一、小學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)思維培育的現(xiàn)實(shí)困境

1.從代數(shù)學(xué)歷史發(fā)展視角解析

史寧中教授指出，代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史大致經(jīng)歷三個(gè)主要階段：第一階段，修辭代數(shù)階段，公元三世紀(jì)之前，也就是丟番圖以前的時(shí)期，完全用文字語(yǔ)言描述、求解特定的問(wèn)題，沒(méi)有出現(xiàn)符號(hào)表示的未知量；第二階段，省略代數(shù)階段，由丟番圖首次引進(jìn)字母代表常出現(xiàn)的量和運(yùn)算，簡(jiǎn)化文字表達(dá)的內(nèi)容和過(guò)程，但這一時(shí)期仍然是算術(shù)思維；第三階段，符號(hào)代數(shù)階段，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)首次系統(tǒng)使用字母表示已知量、未知量，字母可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算，推動(dòng)了代數(shù)學(xué)的重大進(jìn)步，這才是代數(shù)的真正開(kāi)始。由此可以看出，從修辭代數(shù)到符號(hào)代數(shù)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的演變歷程。所以，小學(xué)階段學(xué)生要將算術(shù)中具體數(shù)的操作思考轉(zhuǎn)變成對(duì)代數(shù)中符號(hào)的認(rèn)識(shí)思考，是具有一定的挑戰(zhàn)和困難的。

2.從課程內(nèi)容編排視角研析

《2022版課標(biāo)》在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域調(diào)整了2011版數(shù)學(xué)課標(biāo)中培養(yǎng)代數(shù)思維的內(nèi)容載體，將方程、反比例等內(nèi)容后移到初中，分學(xué)段提出了代數(shù)思維培育的具體教學(xué)要求。從課程內(nèi)容分段目標(biāo)要求來(lái)看，小學(xué)第三學(xué)段“數(shù)量關(guān)系”主題中有關(guān)“字母表示數(shù)”的學(xué)習(xí)，標(biāo)志著“代數(shù)思維”的萌芽。字母是數(shù)的更高層

*該文為江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十四期課題“SOLO分類(lèi)評(píng)價(jià)理論下發(fā)展學(xué)生邏輯推理意識(shí)的實(shí)踐研究”（2021JY14-CSFX-L4O）的階段性研究成果、江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“中小學(xué)跨學(xué)段主題學(xué)習(xí)的實(shí)踐研究”（B-b/2024/03/210）的階段性研究成果

次的抽象，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步從理性具體上升到理性一般的層級(jí)，這是學(xué)生后續(xù)第四學(xué)段初中代數(shù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)（見(jiàn)表1）[?？梢?jiàn)，小學(xué)、初中在“用字母表示數(shù)”這一課程內(nèi)容要求上加強(qiáng)了學(xué)段銜接，體現(xiàn)課程內(nèi)容的整體性、連續(xù)性和進(jìn)階性。

表1《2022版課標(biāo)》小學(xué)階段代數(shù)思維培育的內(nèi)容分布及實(shí)施要求

3.從兒童認(rèn)知心理發(fā)展剖析

算術(shù)思維的主要對(duì)象是數(shù)及其運(yùn)算，它是由程序思維來(lái)刻畫(huà)的，著重通過(guò)數(shù)的運(yùn)算得到一個(gè)具體的答案。而代數(shù)思維的主要對(duì)象除了數(shù)，還有更廣泛的基本對(duì)象，即符號(hào)及其運(yùn)算與變換。其本質(zhì)是關(guān)注整體結(jié)構(gòu)特征，對(duì)結(jié)構(gòu)或關(guān)系進(jìn)行描述分析與概括運(yùn)用，重在關(guān)系符號(hào)化的表達(dá)。學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過(guò)渡，需要從對(duì)具體的數(shù)向符號(hào)的思考理解進(jìn)行轉(zhuǎn)變，學(xué)生的思維層次要實(shí)現(xiàn)從具體到抽象、從特殊到一般、從程序到結(jié)構(gòu)的跨越。這對(duì)長(zhǎng)期運(yùn)用程序性、計(jì)算性思維方式解決問(wèn)題的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一次重大的挑戰(zhàn)與突破。小學(xué)高段學(xué)生正處于具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段的過(guò)渡時(shí)期，其思維發(fā)展水平在一定程度上會(huì)限制學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變。

因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有啟發(fā)學(xué)生代數(shù)思維的意識(shí)，明晰培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維的路徑，進(jìn)而抓住代數(shù)思維啟蒙的關(guān)鍵點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變跨越。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)思維培育的實(shí)踐路徑

1.挖掘代數(shù)思維因子，體現(xiàn)結(jié)構(gòu)模式

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于觀察、捕捉和識(shí)別算術(shù)中蘊(yùn)含的代數(shù)思維，養(yǎng)成用代數(shù)的思維方式解決問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣。這體現(xiàn)了算術(shù)的程序或步驟，呈現(xiàn)了代數(shù)的關(guān)系或結(jié)構(gòu)，凸顯了小學(xué)代數(shù)思維萌芽階段的特征。具體表現(xiàn)為低年段提前孕伏，中年段滲透過(guò)渡，高年段初步概括，力求做到整體梳理、分段滲透。如在一年級(jí)認(rèn)數(shù)時(shí)，經(jīng)常遇到這樣的填數(shù)問(wèn)題：請(qǐng)從5開(kāi)始，連續(xù)寫(xiě)出三個(gè)自然數(shù)。這樣的學(xué)習(xí)僅停留在獲取某個(gè)結(jié)論或答案上，學(xué)生獲得的僅僅是數(shù)數(shù)的程序性知識(shí)。而具備代數(shù)思維的教師會(huì)深人挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)值推理過(guò)程，合理關(guān)注學(xué)生在數(shù)值推理過(guò)程中的學(xué)習(xí)表現(xiàn)，從而了解學(xué)生所使用的推理策略和思維水平，有針對(duì)性地進(jìn)行長(zhǎng)期培養(yǎng)。教師可以通過(guò)“你能用不同的方式表示這三個(gè)數(shù)嗎？”這一核心問(wèn)題開(kāi)啟學(xué)生代數(shù)思維生長(zhǎng)的新起點(diǎn)，并展示學(xué)生的不同表示方式，如 $5 、 5 ＼substack { + 1 ， 5 + 2 }$ ;7-2、7-1、7或6-1、6、6+1。這些表示方式不僅表示出了結(jié)果，更顯示了6、7這兩個(gè)數(shù)與5之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。

這個(gè)填數(shù)問(wèn)題包含了等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)模式。教學(xué)中教師除了關(guān)注學(xué)生常規(guī)的算術(shù)思考外，還要關(guān)注數(shù)里面隱含的代數(shù)關(guān)系與結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生巧妙識(shí)別，提取出關(guān)鍵的數(shù)字，著重思考這三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)[2。隨著學(xué)生數(shù)學(xué)習(xí)范疇的不斷擴(kuò)大，這個(gè)結(jié)構(gòu)模式還可以進(jìn)一步一般化。如認(rèn)識(shí)多位數(shù)：489、490、491、492、493；認(rèn)識(shí)小數(shù)3.5、4、4.5；5個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，中間數(shù)是a，其他數(shù)各是多少，它們的和是多少等。

2.理解等號(hào)雙重意義，聚焦關(guān)系思維

等號(hào)作為數(shù)學(xué)等價(jià)標(biāo)志的一個(gè)重要符號(hào)，是發(fā)展低年段學(xué)生由算術(shù)思維向代數(shù)思維轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。等號(hào)的學(xué)習(xí)要讓學(xué)生理解并建構(gòu)其具有的雙重功能：從連接運(yùn)算結(jié)果到表示等價(jià)關(guān)系的轉(zhuǎn)變。這種關(guān)系型意義的迭代升級(jí)是學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的逐級(jí)轉(zhuǎn)變，能促進(jìn)他們思維從運(yùn)算性理解向關(guān)系性理解的發(fā)展，同時(shí)為初中深入學(xué)習(xí)方程和不等式奠定基礎(chǔ)[3]。

等號(hào)表示相等關(guān)系對(duì)一年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)。所以，教學(xué)時(shí)要根據(jù)低年段學(xué)生年齡特點(diǎn)，充分利用并創(chuàng)造平衡材料，在直觀學(xué)習(xí)工具的支持下，滲透等號(hào)的雙重意義，加深學(xué)生對(duì)等號(hào)等價(jià)意義的理解。如認(rèn)識(shí)等號(hào)時(shí)，教師布置任務(wù)：天平的左右兩邊放了一些積木，天平不平衡了，你能想辦法讓天平變平衡嗎？用一個(gè)算式表示你的想法（如圖1）。

圖1想辦法讓天平變平衡

方法一：在天平右盤(pán)里增加2個(gè)方塊，天平就平衡了，算式是 3=1+2 。

方法二：在天平左盤(pán)里減少2個(gè)方塊，天平也平衡了，算式是 3-2=1 。

方法三：在天平左盤(pán)拿走1個(gè)方塊，在天平右盤(pán)增加1個(gè)方塊，天平也能平衡，算式是 3-1=1+1 □

方法四：在天平左盤(pán)增加1個(gè)方塊，在右盤(pán)增加3個(gè)方塊，天平也可以平衡，算式是 3+1=1+3 。

交流發(fā)現(xiàn)：只要右盤(pán)比左盤(pán)同時(shí)多放2個(gè)方塊，比如 3+4=1+6 ，天平就可以平衡。

教學(xué)時(shí)借助天平模型，在直觀操作和深入辨析中幫助學(xué)生獲得“等價(jià)”的直觀體驗(yàn)，打破學(xué)生固有的“算式在左，結(jié)果在右，等號(hào)是表示結(jié)果輸出的符號(hào)”的思維定勢(shì)。在多次“變相等”的挑戰(zhàn)性活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷從不等到相等的充分體驗(yàn)，進(jìn)一步豐富他們對(duì)等號(hào)的認(rèn)識(shí)。借助天平這一學(xué)習(xí)載體，學(xué)生在具身體驗(yàn)過(guò)程中直觀感受、累積“相同的數(shù)才能構(gòu)成等式”“兩邊總和相同才能構(gòu)成等式”的學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)將是學(xué)生理解等號(hào)等價(jià)意義的重要啟蒙點(diǎn)和思維生長(zhǎng)點(diǎn)。

3.關(guān)注算式結(jié)構(gòu)性質(zhì)，培養(yǎng)一般化思考

學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)不是一蹴而就的。教學(xué)時(shí)教師要在各個(gè)學(xué)段予以加強(qiáng)，特別要重視代數(shù)思維的早期孕伏。數(shù)學(xué)家卡帕特認(rèn)為，代數(shù)思維可以看作四種核心實(shí)踐，即對(duì)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)與關(guān)系進(jìn)行一般化推廣、表示、論證與推理[4。所以，教學(xué)時(shí)要精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷一般化的過(guò)程，從而發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，算式的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)體現(xiàn)在各種運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)上，如學(xué)習(xí)“加法交換律”時(shí)，依托現(xiàn)實(shí)情境得到一組加法算式特例：

8+10=18，10+8=18?8+10=10+8

25+32=57，32+25=5725+32=32+25

接著，教師鼓勵(lì)學(xué)生照樣子仿寫(xiě)，在交流討論中初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律“兩個(gè)加數(shù)交換位置，和不變”，在發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象，提出猜想的基礎(chǔ)上，引發(fā)學(xué)生深入思考“為什么交換加數(shù)的位置、和不變？”借助生活事例解釋說(shuō)明自己的發(fā)現(xiàn)，即“在把兩部分合成一個(gè)整體的過(guò)程中，雖然順序不同，但總和始終不變?！?/p>

學(xué)生圍繞關(guān)鍵問(wèn)題進(jìn)一步思考“這個(gè)規(guī)律是不是總是成立？如果成立，那么可以如何表達(dá)這個(gè)規(guī)律？”在學(xué)生自主多元表征的基礎(chǔ)上，歸納概括字母表達(dá)式 ，并將字母表達(dá)式與具體數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生體會(huì)字母表示的一般性，即字母a、b可以用來(lái)表示任意兩個(gè)數(shù)。學(xué)生在仿寫(xiě)算式、舉出實(shí)例、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、表征論證、歸納概括的學(xué)習(xí)過(guò)程中，充分經(jīng)歷“事理”“算理”兩重視角的解釋推理，經(jīng)歷加法交換律一般化的概括與表示，促進(jìn)思維水平從直觀具體到抽象符號(hào)化的躍遷，滲透代數(shù)思維的培育。

4.注重尋找模式，滲透函數(shù)思想

尋找模式是指通過(guò)尋找規(guī)律培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想。在小學(xué)階段主要內(nèi)容有：第一、二學(xué)段中的“整理加（減）法表”“找規(guī)律”等，第三學(xué)段中的“看圖找關(guān)系”“正比例”等。函數(shù)思想的本質(zhì)是通過(guò)數(shù)學(xué)模型的建立，將復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題簡(jiǎn)明化，同時(shí)抽象為明確的數(shù)量對(duì)應(yīng)關(guān)系，深刻揭示事物動(dòng)態(tài)變化中的規(guī)律和不變性。

如教學(xué)“正比例”時(shí)，“相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量”“比值一定”是其重要的核心概念。教師利用課前布置的作業(yè)：收集生活中一個(gè)量隨另一個(gè)量變化而變化的例子，設(shè)置情境比較任務(wù)，圍繞“每個(gè)情境中的兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量是怎樣變化的”這一問(wèn)題展開(kāi)思考，對(duì)獲得的相關(guān)信息進(jìn)行解讀辨析、探究交流，從而明晰兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間的變化關(guān)系，為理解正比例意義提供經(jīng)驗(yàn)素材。

任務(wù)一：姐姐和妹妹的年齡變化情況如下：

學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)：橫著看，妹妹年齡每增加1歲，姐姐年齡也增加1歲；豎著看，姐姐年齡總是比妹妹大10歲，可以用“姐姐年齡一妹妹年齡 =10 ”表示。

任務(wù)二：媽媽買(mǎi)同一種草莓，購(gòu)買(mǎi)草莓的數(shù)量和總價(jià)如下：

學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)：橫著看，數(shù)量每增加1盒，總價(jià)就增加15元；豎著看， 單價(jià)，情境中的單價(jià)是相等的。

任務(wù)三：正方形的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的變化情況如下：

學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)：橫著看，邊長(zhǎng)每增加1厘米，周長(zhǎng)都增加4厘米；豎著看，邊長(zhǎng) ，畫(huà)出來(lái)是這樣一條直線：

邊長(zhǎng)/cm

任務(wù)四：正方形的面積與邊長(zhǎng)的變化情況如下：

學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)：橫著看，邊長(zhǎng)由1到2時(shí)面積增加 3cm² ，邊長(zhǎng)由2到3時(shí)面積增加 5cm² ，邊長(zhǎng)由3到4時(shí)面積增加 7cm² ；豎著看， 邊長(zhǎng)，由于邊長(zhǎng)在不斷變化，所以面積與邊長(zhǎng)的比值不是一定的，所以畫(huà)出來(lái)的圖是一條曲線：

邊長(zhǎng)/cm

學(xué)生根據(jù)四組典型資源的對(duì)比辨析，借助列表或畫(huà)圖的方法，多角度關(guān)聯(lián)分析圖表中量的對(duì)應(yīng)和變化情況，從兩個(gè)量的“變”中看到“不變”，探索成正比的量的變化規(guī)律和變化趨勢(shì)，從而正確理解正比例的意義。同時(shí)，靈活轉(zhuǎn)化圖表語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言，判斷兩個(gè)量是否成正比例。多重表征及轉(zhuǎn)化幫助學(xué)生建立正比例關(guān)系的結(jié)構(gòu)模型，促進(jìn)他們從算術(shù)思維走向代數(shù)思維，為初中進(jìn)一步學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、方程及其他函數(shù)奠定基礎(chǔ)。

5.運(yùn)用數(shù)量關(guān)系推理，發(fā)展代數(shù)推理

數(shù)量推理對(duì)兒童早期代數(shù)思維能力培養(yǎng)有著重要的積極作用，主要包含建立等量關(guān)系、表征等量關(guān)系和推理等量關(guān)系的過(guò)程。代數(shù)推理是發(fā)展代數(shù)思維的重要路徑。教學(xué)時(shí)，教師要依循學(xué)生代數(shù)思維的生長(zhǎng)過(guò)程，循序漸進(jìn)，整體設(shè)計(jì)。《2022版課標(biāo)》強(qiáng)化了小學(xué)階段用字母符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)用符號(hào)表達(dá)的運(yùn)算規(guī)律和推理結(jié)論具有一般性，使學(xué)生會(huì)用字母符號(hào)作為數(shù)學(xué)對(duì)象去計(jì)算和推理，體會(huì)字母符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式。

如五年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)用字母表示關(guān)系，體會(huì)字母參與運(yùn)算的教學(xué)實(shí)踐：

在以前的學(xué)習(xí)中我們知道，任意兩個(gè)奇數(shù)相加，和是偶數(shù)。你會(huì)怎樣說(shuō)明這個(gè)結(jié)論？

生1：我用舉例的方法：發(fā)現(xiàn)任意兩個(gè)奇數(shù)相加，和是偶數(shù)，比如 1+3=4，3+9=12，5+21=26….

生2：我用舉例的方法，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)相同的奇數(shù)相加，和是這個(gè)奇數(shù)的2倍，是偶數(shù)，比如 1+1=1×2 、3+3=3×2.5+5=5×2…

生3：我用畫(huà)圖的方法發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)圖形有1個(gè)方格，第二個(gè)圖形有 1+2 個(gè)方格，第三個(gè)圖形有 個(gè)方格，第四個(gè)圖形有 1+2+2+2 個(gè)方格。任意兩個(gè)方格圖相加，和可以表示成 1+1+2+2+2+… 的形式，正好是2的倍數(shù)，所以和一定是偶數(shù)。

生4：我用字母式相加的方法發(fā)現(xiàn)：用 2n+1 表示奇數(shù)，那么 2n+1+2n+1=4n+2，4 是偶數(shù)，所以 4n 是偶數(shù)， 4n+2 一定也是偶數(shù)。

學(xué)生由具體數(shù)字列舉、直觀圖例到符號(hào)運(yùn)算后的說(shuō)理驗(yàn)證，經(jīng)歷從不完全歸納的合情推理到字母運(yùn)算的演繹推理的過(guò)程。這里的字母式運(yùn)算都是依據(jù)運(yùn)算律進(jìn)行的推理，字母符號(hào)具有高度的抽象概括性，所以用字母參與運(yùn)算和推理所得到的結(jié)論也具有一般性。在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生思維從具體直觀逐步走向抽象概括，產(chǎn)生一般化的學(xué)習(xí)需求，同時(shí)實(shí)現(xiàn)從程序性思維到結(jié)構(gòu)化思維的轉(zhuǎn)換，不斷提升學(xué)生思維的抽象水平，體會(huì)符號(hào)表達(dá)的一般性，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力5。

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[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]