壓軸題既考查我們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況，又檢驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用能力與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累水平。作為核心解題工具，函數(shù)單調(diào)性在壓軸題中具有基礎(chǔ)性與統(tǒng)領(lǐng)性的功能，它能揭示函數(shù)變化趨勢(shì)，劃定關(guān)鍵區(qū)間，是解決最值、不等式及參數(shù)范圍問題的重要依據(jù)。本文將探討如何通過導(dǎo)數(shù)判斷增減性、如何應(yīng)對(duì)復(fù)雜函數(shù)結(jié)構(gòu)，以及如何結(jié)合圖像與邏輯實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵突破，以期為函數(shù)類壓軸題提供可參考的解題路徑。

一、梳理單調(diào)性分析流程，明確解題思路

在高考函數(shù)類壓軸題的解題過程中，函數(shù)單調(diào)性的分析往往起著指明解題方向的重要作用。許多以最值判斷、不等式構(gòu)造、參數(shù)范圍求解為核心指向的問題，實(shí)際上都可歸結(jié)為對(duì)函數(shù)變化趨勢(shì)的刻畫與利用。因此，形成一套規(guī)范、系統(tǒng)的單調(diào)性分析流程，是提升解題能力的關(guān)鍵方法之一。單調(diào)性分析的基本流程主要包括以下四個(gè)方面：明晰函數(shù)結(jié)構(gòu)與定義域、求導(dǎo)并化簡(jiǎn)導(dǎo)數(shù)表達(dá)式、判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)并劃分增減區(qū)間、總結(jié)單調(diào)性結(jié)構(gòu)。為進(jìn)一步說明該分析流程的具體應(yīng)用，現(xiàn)引入以下典型例題。

例題1：已知函數(shù) f（x）=x³-3x+1 試分析其單調(diào)性，并結(jié)合圖像判斷函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的最值分布。

解析：

函數(shù) f（x）=x³-3x+1 為三次整式函數(shù)，定義域?yàn)镽，計(jì)算導(dǎo)數(shù)得：f^′（x）=3x²-3=3（x²-1） 令導(dǎo)數(shù)為零，解得臨界點(diǎn)為 x=-1 和x=1 。分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)得：

當(dāng) xlt;-1 時(shí)， f^′（x）gt;0 ，函數(shù)遞增；當(dāng) -1′（x）lt;0 ，函數(shù)遞減；當(dāng) xgt;1 時(shí)， f^′（x）gt;0 ，函數(shù)再次遞增據(jù)此可知，函數(shù)在（ -∞ ， ^-1 ）U（1，+∞ ）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減。函數(shù)在 x=-1 和 x=1 附近達(dá)到局部極值點(diǎn)。此結(jié)論可為后續(xù)最值求解或參數(shù)取值范圍分析提供直接支持。

函數(shù) f（x） 及其導(dǎo)函數(shù)的圖像變化趨勢(shì)如圖1所示，可輔助我們理解單調(diào)性結(jié)構(gòu)。

由該實(shí)例可見，完整的單調(diào)性分析流程不僅能揭示函數(shù)的整體變化趨勢(shì)，還能為壓軸題中關(guān)鍵步驟的推進(jìn)提供清晰的結(jié)構(gòu)支撐。系統(tǒng)化的分析路徑能強(qiáng)化問題的表達(dá)邏輯，優(yōu)化解題過程中的判斷依據(jù)，為復(fù)雜函數(shù)問題的求解打下穩(wěn)固的理論基礎(chǔ)。

二、利用導(dǎo)數(shù)判斷增減性， 鎖定關(guān)鍵區(qū)域

通過對(duì)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的分析，我們不僅可以迅速判斷函數(shù)在不同區(qū)間的單調(diào)性，還能據(jù)此鎖定問題所需的最值點(diǎn)、交點(diǎn)位置或參數(shù)的有效取值范圍。合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，是將函數(shù)分析過程轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型判斷的關(guān)鍵步驟。導(dǎo)數(shù)在鎖定關(guān)鍵區(qū)域中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的對(duì)應(yīng)關(guān)系、導(dǎo)數(shù)在參數(shù)化問題中的區(qū)間限定功能、導(dǎo)數(shù)圖像與單調(diào)性結(jié)構(gòu)的直觀輔助。為說明導(dǎo)數(shù)如何鎖定關(guān)鍵區(qū)間，特列出一組典型問題變式作為參考。

圖1函數(shù) 8（x-2） 及其導(dǎo)函數(shù)的圖像變化趨勢(shì)

例題2：設(shè)函數(shù) f（x）=x³-3ax ，若 f（x） ）在區(qū)間 [-2 ，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。

解析：

首先計(jì)算導(dǎo)數(shù)：

f^′（x）=3x²-3a

函數(shù)在[-2，2]上單調(diào)遞增，即要求對(duì)任意 x∈[-2 ，2]，均有 f^′（x）?0 。

由于 ，則函數(shù)最小值出現(xiàn)在 x=0 時(shí)，即：

f^′（0）=-3a?0?a?0

然后考慮最大值點(diǎn) x=±2 時(shí)，即：

f^′（λ±2λ）=3×（λ±2λ）²-3a=12-3a?0? （20 a?4 （20

將兩部分條件綜合，得 a?0 。

但由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必須始終為遞增，導(dǎo)數(shù)應(yīng)恒非負(fù)，且不能出現(xiàn)負(fù)值，因此最嚴(yán)條件應(yīng)取導(dǎo)函數(shù)最小值 ?0 ，即

minx ∈[-2，2]， f^′ a?0

故實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 a?0 。

該題通過對(duì)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的整體判斷，實(shí)現(xiàn)了對(duì)參數(shù)區(qū)間的有效限定，體現(xiàn)出導(dǎo)數(shù)分析在解答函數(shù)壓軸題中的關(guān)鍵作用。導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間的邏輯鏈條，有助于我們明確變量與區(qū)間之間的關(guān)系，構(gòu)建嚴(yán)密的推理路徑，從而提升整體解題過程的條理性與準(zhǔn)確性。

三、借助分類討論與結(jié)構(gòu)分析應(yīng)對(duì)復(fù)雜條件

函數(shù)類壓軸題往往結(jié)構(gòu)復(fù)雜、條件繁多。其中，有一類典型問題往往變量與參數(shù)交織出現(xiàn)、定義域受限或函數(shù)形式在不同區(qū)間內(nèi)差異顯著。在此類題型中，單一的分析路徑往往難以覆蓋全部情形，需借助分類討論與結(jié)構(gòu)分析相結(jié)合的方法，分層解構(gòu)題設(shè)，厘清邏輯鏈條，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)解題的逐步推進(jìn)。接下來以2023年新高考Ⅰ卷第19題為例，對(duì)分類討論在解題中的應(yīng)用進(jìn)行說明。

例題：已知函數(shù) f（x）=a（e^x+a）-x （1）討論 f（x） 的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)agt;0時(shí)，f（x）gt;2na+2。

解析：（1）求導(dǎo)得： f^′（x）=ae^x-1 為討論 f（x） 的單調(diào)性，需分析 f^′（x）

的符號(hào)。當(dāng) ae^x-1gt;0 即 時(shí)，得 ，當(dāng) 時(shí)， f^′（x）=0 ：因此：當(dāng) 時(shí) f^′（x）lt;0，f（x） 單調(diào)遞減;當(dāng) 時(shí) ，f^′（x）gt;0，f（x） 單調(diào)遞增;（2）證明 對(duì)任意實(shí)數(shù)x成

立（當(dāng) agt;0 ）由于 f（x） 在 處取得極小值，故

只需證明 代人 ： 所以要證明： 通過構(gòu)造函數(shù)法分析左邊表達(dá)式：設(shè) ， agt;0 （2對(duì) 求導(dǎo)得： 令 g^′（a）=0 ，解得臨界點(diǎn)： 討論可知：當(dāng) agt;1 時(shí)， 單調(diào)遞增;當(dāng) a=1 時(shí)， 因此 agt;0 時(shí)， 恒成立。故不等式得證，即：當(dāng) agt;0 時(shí)，有 恒成立。本題通過對(duì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的分析，結(jié)合函數(shù)的

結(jié)構(gòu)特征，采用分類討論的方法，逐步確定函數(shù)的單調(diào)性和參數(shù)的取值范圍。該過程體現(xiàn)了分類討論與結(jié)構(gòu)分析在處理復(fù)雜條件下的重要作用，能有效提升函數(shù)壓軸題的解答效率與準(zhǔn)確性。

四、借助函數(shù)單調(diào)性解答函數(shù)類壓軸題的綜合路徑

要攻克以函數(shù)單調(diào)性為考查核心的壓軸題，關(guān)鍵在于將規(guī)范的分析流程、精準(zhǔn)的模型應(yīng)用與靈活的結(jié)構(gòu)化思維實(shí)現(xiàn)高效協(xié)同。首先，我們必須樹立牢固的解題意識(shí)，嚴(yán)格遵循“流程化明晰定義域-求導(dǎo)并化簡(jiǎn) - 判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào) - 劃分單調(diào)區(qū)間”這一標(biāo)準(zhǔn)化路徑。如例1所示，上述四步流程不僅是分析任何函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)框架，還是我們學(xué)習(xí)所有復(fù)雜推理的邏輯起點(diǎn)，它能確保分析過程的嚴(yán)謹(jǐn)性與系統(tǒng)性。

在此基礎(chǔ)上，我們要深刻理解導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并能將其轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)模型來解決問題。例如，當(dāng)遇到含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)（如例2），應(yīng)迅速將“函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)”這一抽象描述，精準(zhǔn)地轉(zhuǎn)化為“導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)恒為正（或恒為負(fù)）”的代數(shù)模型，進(jìn)而通過求解導(dǎo)函數(shù)的最值來限定參數(shù)范圍，實(shí)現(xiàn)對(duì)關(guān)鍵區(qū)域的鎖定。

然而，壓軸題的挑戰(zhàn)往往在于其條件的復(fù)雜性和多變性。此時(shí)，我們必須啟動(dòng)不同的思維方式，尤其是運(yùn)用結(jié)構(gòu)化分類討論這一核心策略。面對(duì)變量與參數(shù)交織、函數(shù)形式分段等復(fù)雜結(jié)構(gòu)（如2023年新高考Ⅰ卷19題），不能寄望于通過單一路徑解決問題。正確的做法是，以影響導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)鍵因素（如參數(shù)的正負(fù)、零點(diǎn)的位置等）為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)問題進(jìn)行邏輯分層與解構(gòu)。在每個(gè)確定的分類下，回歸到標(biāo)準(zhǔn)化的分析流程，利用模型化工具進(jìn)行求解，最終再將各分支的結(jié)論進(jìn)行整合。