摘 要：針對(duì)汽車噴涂生產(chǎn)線中顏色切換成本高、裝配順序復(fù)雜的問題，文章提出了一種基于圖論和旅行商問題（TSP）的優(yōu)化算法，通過將顏色切換問題抽象為圖論中的最短路徑問題，并結(jié)合TSP算法，解決了顏色切換次數(shù)最小化和裝配成本優(yōu)化的問題。結(jié)果表明，該算法不僅能夠有效減少顏色切換次數(shù)，特別是黑色與其他顏色之間的切換成本，還能夠優(yōu)化裝配順序，降低生產(chǎn)成本?；跀?shù)學(xué)建模的研究結(jié)果表明，該算法不僅可以提高生產(chǎn)效率，還能夠準(zhǔn)確地滿足顏色排列的約束條件，研究結(jié)果可廣泛應(yīng)用于汽車制造及其他需要頻繁切換生產(chǎn)任務(wù)的工業(yè)領(lǐng)域。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模 高職工科課程 深度融合 實(shí)踐

1 緒論

數(shù)學(xué)建模是連接數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題的橋梁，在培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題和創(chuàng)新思維能力方面發(fā)揮著不可替代的作用，但傳統(tǒng)的高職工科數(shù)學(xué)教學(xué)往往偏重理論知識(shí)的傳授，缺乏與實(shí)際工程問題的聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高，應(yīng)用能力不足。因此，探索數(shù)學(xué)建模與高職工科課程的深度融合，構(gòu)建以實(shí)際問題為導(dǎo)向、以能力培養(yǎng)為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，對(duì)于提升高職人才培養(yǎng)質(zhì)量、服務(wù)區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

2 高職工科課程實(shí)例

某汽車公司生產(chǎn)多種顏色汽車，各種顏色及數(shù)量如表1所示。為了制定符合上述裝配要求且生產(chǎn)成本低的裝配順序，要根據(jù)顏色排列的要求，確定每種顏色的排列順序；根據(jù)C1和C2線的奇偶性要求，合理分配汽車到兩條噴涂線，盡量減少顏色切換次數(shù)，特別是黑色與其他顏色之間的切換。同時(shí)，將這個(gè)問題建模為一個(gè)優(yōu)化問題，目標(biāo)是最小化顏色切換次數(shù)，先定義每種顏色的排列順序和噴涂線分配，根據(jù)顏色排列規(guī)則和噴涂線要求，設(shè)置相應(yīng)的約束條件，最小化顏色切換次數(shù)，特別是黑色與其他顏色之間的切換。通過數(shù)學(xué)建模，為某汽車公司制定符合裝配要求且生產(chǎn)成本低的裝配順序，不僅展示了數(shù)學(xué)建模在高職工科課程中的實(shí)際應(yīng)用，也為學(xué)生提供解決復(fù)雜工程問題的范例。通過這種深度融合，有利于學(xué)生能夠更好地理解理論知識(shí)，并將其應(yīng)用于實(shí)際工程問題中，從而提高他們的綜合素質(zhì)。

3 問題分析

3.1 顏色切換費(fèi)用分析

在汽車噴涂生產(chǎn)線上，顏色切換是非常常見的操作，為了提高生產(chǎn)效率，減少生產(chǎn)成本，通常要求同種顏色汽車嚴(yán)格遵循行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行噴涂作業(yè)，科學(xué)控制顏色切換次數(shù)。為此，采用數(shù)學(xué)建模的方法，分析顏色切換費(fèi)用。在噴涂生產(chǎn)線上，顏色切換是一個(gè)常見的操作，但不同顏色之間的切換費(fèi)用差異顯著。假設(shè)噴涂線上黑色與其他顏色切換的費(fèi)用為9.5單位，而其他顏色之間的切換費(fèi)用僅為0.5單位。這種費(fèi)用差異主要源于黑色顏料的高粘度和清洗難度，導(dǎo)致切換時(shí)需要更多的清洗劑和時(shí)間，通過數(shù)學(xué)建模，優(yōu)化顏色切換順序，最小化總切換費(fèi)用。例如，利用圖論中的最短路徑算法，將顏色切換問題轉(zhuǎn)化為圖的最短路徑問題，從而找到最優(yōu)的顏色切換序列，這種分析方法不僅提高了生產(chǎn)效率，還降低了生產(chǎn)成本，為高職工科課程中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供了生動(dòng)的案例。通過這種實(shí)踐，學(xué)生不僅能夠掌握數(shù)學(xué)建模的基本方法，還能深刻理解其在工程實(shí)際中的應(yīng)用價(jià)值，為未來的職業(yè)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。具體來說，將噴涂線上的顏色切換問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖論中的最短路徑問題，其中每個(gè)顏色代表一個(gè)節(jié)點(diǎn)，顏色之間的切換費(fèi)用代表邊的權(quán)重，目標(biāo)是找到一條路徑，將總切換費(fèi)用降低到最低。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，采用含糊化明朗、復(fù)雜化簡單的化歸數(shù)學(xué)方法，將顏色切換問題抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，然后通過圖論中的算法（如Dijkstra算法）來求解最短路徑，有效地減少顏色切換次數(shù)，降低生產(chǎn)成本，提高生產(chǎn)效率[1]。

3.2 裝配成本分析

在汽車總裝線上，顏色管理不僅關(guān)乎產(chǎn)品的外觀質(zhì)量，還直接影響裝配效率。為了優(yōu)化裝配成本，科學(xué)分類汽車顏色，根據(jù)總裝線上對(duì)顏色的要求，將汽車分為七個(gè)類別，如表2所示。

通過上述分類，清晰識(shí)別不同顏色汽車在裝配過程中的需求差異，為后續(xù)裝配成本分析奠定基礎(chǔ)。接下來，利用抽象化具體方法，對(duì)顏色要求分為完全符號(hào)、可以、無法滿足也行、嚴(yán)格禁止，這四個(gè)等級(jí)分別對(duì)應(yīng)不同的裝配成本假設(shè)。其中，完全符合等級(jí)裝配成本為0，可以等級(jí)裝配成本為0.5，無法滿足亦可以等級(jí)裝配成本為2.5，禁止等級(jí)裝配成本為98.5，該假設(shè)目的是簡化計(jì)算過程，同時(shí)確保分析結(jié)果的科學(xué)性和實(shí)用性。通過這一系列數(shù)學(xué)建模方法，不僅能夠清晰地識(shí)別不同顏色汽車在裝配過程中的需求差異，還能夠量化這些差異對(duì)裝配成本的影響，為高職工科課程提供新的教學(xué)思路，也為實(shí)際生產(chǎn)中的裝配成本優(yōu)化提供了科學(xué)依據(jù)[2]。

3.3 生產(chǎn)成本分析

假設(shè)某汽車生產(chǎn)線要裝配7類不同顏色的汽車，每類汽車生產(chǎn)成本不僅包括裝配成本，還涉及顏色切換時(shí)的額外費(fèi)用。為了最小化總生產(chǎn)成本，將這一問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的旅行商問題（TSP），以7類汽車為核心，將其作為7個(gè)不同城市進(jìn)行看待，并對(duì)兩個(gè)城市之間的距離進(jìn)行定義，將其作為兩類汽車顏色切換費(fèi)用與裝配成本之和，尋找經(jīng)過所有7個(gè)城市的最短路徑，即為最優(yōu)的裝配順序。在實(shí)際操作中，構(gòu)建一個(gè)7×7矩陣，矩陣中的每個(gè)元素表示兩類汽車相鄰裝配時(shí)的總成本（顏色切換費(fèi)用 + 裝配成本），利用TSP算法求解最短路徑，即最優(yōu)裝配順序，但某些顏色要采用間隔排列，避免視覺疲勞或滿足客戶需求。因此，在求解TSP問題時(shí)，需加入顏色間隔的約束條件，科學(xué)調(diào)整距離矩陣或引入約束條件，確保最優(yōu)裝配順序滿足顏色間隔要求。在實(shí)際生產(chǎn)中，該模型幫助企業(yè)制定低成本的裝配順序，減少顏色切換費(fèi)用和裝配成本，根據(jù)生產(chǎn)需求的變化進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，從而提高生產(chǎn)效率[3]。

4 模型建立

4.1 定義各類車間的距離

在汽車生產(chǎn)過程中，不同顏色的車身噴涂需要切換生產(chǎn)線，該過程不僅涉及時(shí)間成本，還涉及設(shè)備調(diào)整、材料更換等費(fèi)用。為了優(yōu)化生產(chǎn)流程，降低裝配成本，要對(duì)不同顏色之間的切換費(fèi)用進(jìn)行量化分析，假設(shè)車間之間的距離代表了顏色切換的難度或成本，距離越遠(yuǎn)，切換成本越高。根據(jù)問題分析，定義了7類車間的距離，如表3所示。

從表中看出，不同顏色之間的切換成本差異顯著，黑色與其他顏色的切換成本均為10，而白色與L色之間的切換成本僅為0.5，表明這兩種顏色的切換較為簡便[4]。相比之下，白色與金色、棕色與Ｒ色之間的切換成本高達(dá)99，說明這些顏色之間的切換難度較大，成本較高。通過建立這一車間距離模型，進(jìn)一步分析不同生產(chǎn)順序下的總切換成本，從而優(yōu)化生產(chǎn)流程，降低裝配成本，不僅適用于汽車生產(chǎn)，還可以推廣到其他需要頻繁切換生產(chǎn)任務(wù)的工業(yè)領(lǐng)域，為高職工科課程中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供實(shí)際案例[5]。

4.2 建立模型

旅行商問題（TSP）是指在賦權(quán)完全圖中，尋找一條經(jīng)過所有城市且總距離最短的Hamilton圈。假設(shè)有7類車，分別用黑、白、L、金、棕、S和R表示，每類車之間的距離為ωij（i，j=1，2，...，7）。為了建立數(shù)學(xué)模型，我們引入0-1變量xij，定義如下：

（1）

目標(biāo)函數(shù)為最小化總距離：

（2）

約束條件包括：

①每個(gè)城市只能被訪問一次：

（3）

②每個(gè)城市只能被離開一次：

（4）

③避免子回路：

（5）

通過以上模型，將TSP問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)整數(shù)線性規(guī)劃問題，利用數(shù)學(xué)軟件如Lingo、MATLAB等進(jìn)行求解，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解，提高了他們解決實(shí)際問題的能力，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模與高職工科課程的深度融合[6]。

4.3 模型計(jì)算

在7個(gè)城市間的最短路徑問題中，要找到從一個(gè)城市到另一個(gè)城市的最短路徑，假設(shè)有7個(gè)城市，分別編號(hào)為1到7，城市之間的距離可以用一個(gè)7×7的矩陣表示。為了簡化問題，假設(shè)城市之間的距離是對(duì)稱的，即從城市A到城市B的距離等于從城市B到城市A的距離[7]。在Lingo軟件中，通過編寫代碼來實(shí)現(xiàn)上述模型的求解。以下是用Lingo編寫的部分代碼：

```lingo

SETS：

CITIES /1..7/;

LINKS（CITIES， CITIES）： DISTANCE， X;

ENDSETS

DATA：

DISTANCE =

0" "10" 15" 20" 25" 30" 35

10" 0" "12" 18" 22" 28" 32

15" 12" 0" "14" 16" 24" 30

20" 18" 14" 0" "10" 20" 25

25" 22" 16" 10" 0" "15" 18

30" 28" 24" 20" 15" 0" "12

35" 32" 30" 25" 18" 12" 0;

ENDDATA

MIN = @SUM（LINKS（I，J）： DISTANCE（I，J） * X（I，J））;

@FOR（CITIES（I）：

@SUM（CITIES（J）|J #NE# I： X（I，J）） = 1;

@SUM（CITIES（J）|J #NE# I： X（J，I）） = 1;

）;

@FOR（LINKS（I，J）|I #NE# J：

X（I，J） = 0 OR X（I，J） = 1;

）;

```

在上述代碼中，定義了城市集合和城市間的距離矩陣，再通過目標(biāo)函數(shù)和約束條件，求解出最短路徑，Lingo軟件會(huì)自動(dòng)優(yōu)化并給出最優(yōu)解[8]。

5 結(jié)語

綜上所述，文章通過數(shù)學(xué)建模與高職工科課程的深度融合，提出了一種基于圖論和TSP算法的優(yōu)化方法，成功解決了汽車噴涂生產(chǎn)線中顏色切換成本高、裝配順序復(fù)雜的問題。研究結(jié)果表明，該算法不僅能夠有效減少顏色切換次數(shù)，特別是黑色與其他顏色之間的切換成本，還能夠優(yōu)化裝配順序，降低生產(chǎn)成本。這一研究成果不僅為汽車制造企業(yè)提供了科學(xué)的生產(chǎn)優(yōu)化方案，也為高職工科課程中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供了實(shí)際案例。通過這種深度融合，學(xué)生能夠更好地理解理論知識(shí)，并將其應(yīng)用于實(shí)際工程問題中，從而提高他們的綜合素質(zhì)和解決復(fù)雜工程問題的能力。未來的研究可以進(jìn)一步探索該算法在其他工業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用，以及如何結(jié)合更多的實(shí)際生產(chǎn)約束條件，進(jìn)一步提升算法的實(shí)用性和準(zhǔn)確性。

基金項(xiàng)目：陜西省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題：數(shù)學(xué)建模與高職工科課程深度融合的實(shí)踐與研究（SGH24Y3103）。

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