中圖分類號：0241.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Three-Point Boundary Value Problems for Nonlinear Variable Coefficient Bagley-Torvik Equations

LIU Xue-ling，HUANG Jing＊，ZHANG Zong-biao （Department of Electronic and Information Engineering，Bozhou Colege，Bozhou 2368oo，Anhui，China）

Abstract：This paper conducts an in-depth study of the numerical methods for the three-point boundary value problem of the nonlinear variable coefficient Bagley-Torvik equations， explores its numerical solutions，and validates the feasibility of the proposed methods through numerical examples. Initially， the three-point boundary value problem of the Bagley-Torvik equations is transformed into an equivalent F-H integral equation. Subsequently， the piecewise Taylor series method is employed to numerically solve the F-H integral equation. Finally，the validity and practicality of the method are verified through numerical examples and error analysis.

Key words：nonlinear variable coeficient Bagley Torvik equation; three-point boundary value; F-H integral equation; error estimation； piecewise Taylor series

0 引言

階微分方程的數(shù)值解的探討變得愈發(fā)重要[1-3].其中，分?jǐn)?shù)階Bagley-Torvik微分方程作為分?jǐn)?shù)階微分方程領(lǐng)域的一個標(biāo)志性方程，不僅具有高度的典型性和代表性，它源自Bagley和Torvik在牛頓流體中針對薄板運(yùn)動研究所開創(chuàng)的數(shù)學(xué)模

在過去的幾十年里，分?jǐn)?shù)階微分方程理論在物理、化學(xué)、生物學(xué)、流體動力學(xué)、聲學(xué)、電磁學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多學(xué)科中應(yīng)用廣泛，這使得對分?jǐn)?shù)型[4].對Bagley-Torvik方程的求解，文獻(xiàn)[5]通過引入非局部Taylor級數(shù)展開方法，推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Euler-Lagrange方程，為解決Bagley-Torvik方程的邊值問題提供了一種有效途徑.文獻(xiàn)[6]利用Hermite配點(diǎn)法求解了Bagley-Tor-vik方程邊值問題的數(shù)值解，并驗證了該方法的精度和效率.在分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值求解領(lǐng)域，研究者給出了多種高效方法，包括主要差分法、Adomian分解法、Schaefer不動點(diǎn)定理以及La-place變換等，這些方法在文獻(xiàn)[7-12]中有詳盡的討論.受這些研究成果的啟發(fā)，本文聚焦于非線性變系數(shù)Bagley-Torvik方程的三點(diǎn)邊值問題，利用積分方法將其轉(zhuǎn)換為F-H積分方程，并對其 F- H積分方程中的未知函數(shù)進(jìn)行分段泰勒級數(shù)展開，以此求解F-H積分方程的數(shù)值解，最后通過數(shù)值實(shí)例進(jìn)行了驗證和誤差分析，確保了所提方法的準(zhǔn)確性和實(shí)用性.本文的研究成果不僅為分?jǐn)?shù)階微分方程的求解提供了新的理論視角和方法工具，也為相關(guān)領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了有效的解決方案.

1Fredholm-Hammerstein 積分方程

Riemann-Liouville定義的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

D_t^vf（t）=

n-1

在這里，考慮具有非線性變系數(shù)Bagley-Torvik方程的三點(diǎn)邊值問題：

其中： P（x）∈C²[a，b]，q（x），F(xiàn)（x，φ（x））∈ L[a，b] 均為已知函數(shù)， λ，α₀，β 為已知常數(shù)，φ（x） 是未知函數(shù).

為了證明在求解微分方程的邊值問題時，積分方程的方法是有效的，下面利用積分方法，將邊

值問題（1）轉(zhuǎn)化為F-H積分方程.

為了書寫方便，以下簡記

其中

V₁（x，t）=（x-t）q（t）+

V₂（x，t）=

定理1若 （b-a）+λ（ξ-a）≠0，λ∈C 且 P（x）∈C²[a，b]，q（x），F(xiàn)（x，φ（x））∈ L[a，b] ，則帶有三點(diǎn)邊值條件的分?jǐn)?shù)階Bagley-Torvik方程（1）等價于以下方程，

其中

a?t?min{x，ξ}?b.

證明 當(dāng) 1?αlt;2 時，對式（1）關(guān)于 x 積分兩次可得

令式（3）中 x=b ，有

將式（4）代人（3）有

令式（3）中 x=ξ ，有

由（5）和（6），結(jié)合邊值條件 φ（b）+λφ（ξ）=β 可得

下面討論 x，ξ，t 的不同情況.

（i）當(dāng) a?t?min{x，ξ}?b 時，

F（t，φ（t））dt+l（x）.

（ii）當(dāng) a?max{x，ξ}?t?b 時，

l（x）.

（ii）當(dāng) a?ξ?t?x?b 時，

φ（x）+

（a-x）V₂（b，t）}/

[（b-a）+λ（ξ-a）]φ（t）dt=

F（t，φ（t））dt+l（x）.

iv）當(dāng) a?x?t?ξ?b 時，

φ（x）+

F（t，φ（t））dt+l（x）.

同理當(dāng) 0lt;αlt;1 時，定理1同樣成立.

從定理1可以看出，F(xiàn)-H積分方程中的核對Olt;αlt;1 和 1?αlt;2 的情形稍有不同.前者是連續(xù)的，而后者是弱奇異的，與文獻(xiàn)[13]結(jié)果類似.接下來，利用分段泰勒級數(shù)展開方法獲得具有弱奇異核的F-H積分方程（2）的數(shù)值解

2 Fredholm-Hammerstein積分方程的數(shù)值解

在本節(jié)，將會利用分段泰勒級數(shù)展開方法求解具有弱奇異F-H積分方程的數(shù)值解.

定理2在區(qū)間 [a，b] 內(nèi)選擇等距間斷點(diǎn)： a =x₀1lt;…m=b（m?1） .令 x_q=a+ qh 則帶有弱奇異性的F-H積分方程（2）的數(shù)值解為

φ_m，n（x）=l（x）-

為了書寫方便將 φ^（j）（x_q） 簡記為φ^（j）（j=0，1，…，n;q=0，1，…m-1） ，對 φ（x_q +hη） 進(jìn)行泰勒展開，有

x_q?θ_q?x_q+1，x_q?θ_q?x_q+hη.

證明 對公式（2）進(jìn)行 i 次積分可得

將式（2）記為 i=0 時，式（14）中交換積分順 序可得

下面選擇一系列等距的間斷點(diǎn)： a=x₀1 lt;…m=b（m≥1）. （

這里令 x_q=a+qh（q=0，1，…，m），h= b-a，令χx=x（k=1，2，…，m），則式（15）可以表示為

將 F（t，φ（t）） 泰勒展開得

F（x_q+hη，φ（x_q+hη））=

將式（13）和（18）代人式（15）可得

其中 i=0，1，…，n;k=1，2，…，m .由公式（19）可以得到公式（2）的離散格式為

將式（20）代人式（19）中，得 φ（x） 數(shù)值解為

φ_m，n（x）=l（x）-

在第三節(jié)中，將給出具體的數(shù)值例子分析（12）中的數(shù)值解 與準(zhǔn)確解的絕對誤差.

3 例題

本節(jié)提供兩個例子以驗證所提方法的有效性.首先，討論參數(shù) Ψ_m 和 n 對數(shù)值解的影響.其次，給出方程的數(shù)值解與準(zhǔn)確解并比較分析其準(zhǔn)確性.

例1考慮 0lt;αlt;1 的情況，并給出當(dāng) α= 1/2 的例子.

其中 ，方程的準(zhǔn)確解為 φ（x）=x³

接下來，將區(qū)間 [0，1/5] 分成等距 Σ_m 段，對未知函數(shù) φ（x） 展開至 n 階.下面討論當(dāng) （m，n）= （4，0），（m，n）=（4，1），（m，n）=（4，2），（m，n） δ=（8，0） 和 （m，n）=（8，1），（m，n）=（8，2） 時，利用Matlab計算得到數(shù)值解與準(zhǔn)確解的絕對誤差，誤差見表 1.φ_m，n（x） 表示例題中方程的數(shù)值解，φ（x） 表示例題中方程的準(zhǔn)確解.

從表1中可以看出，隨著 Ψ_m 或 n 的增加，絕對誤差 ∣φ（x）-φ_m，n（x）∣ 逐漸減小，所以只要選取合適的 m，n ，就可以得到比較精確的數(shù)值解

例2考慮 1?αlt;2 的情況，并給出 α=3/2 的例子.

其中 ，方程的準(zhǔn)確解為 φ（x）=x²

接下來，研究參數(shù) m 和 n 對數(shù)值解的影響.不同的 （m，n） 對數(shù)值解與準(zhǔn)確解之間的絕對誤差見表2.從表2可以看出，隨著 Ψ_m 或 n 的增加，絕對誤差 ∣φ（x）-φ_m，n（x）∣ 在減小，所得到的結(jié)果與文獻(xiàn)[13-15]的結(jié)果一致.

4結(jié)語

本文深人研究Riemann-Liouville定義下非線性變系數(shù)Bagley-Torvik方程的三點(diǎn)邊值問題.通過將該微分方程轉(zhuǎn)化為之等價的F-H積分方程，為求解該問題提供了有效的數(shù)值途徑.通過具體數(shù)值實(shí)例，驗證了所提方法的實(shí)用性和準(zhǔn)確性.論文研究結(jié)果為解決類似積分方程的數(shù)值問題提供了一定理論依據(jù).展望未來，計劃繼續(xù)利用該數(shù)值解法探究分?jǐn)?shù)階積分方程的數(shù)值解，著重探究解的存在性和唯一性問題.

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[責(zé)任編輯：趙慧霞]