（江西省江西師范大學(xué)瑤湖校區(qū)）

（本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.已知復(fù)數(shù) （i為虛數(shù)單位），則

A. 2

2.2025 年春節(jié)期間，國(guó)產(chǎn)電影《哪吒之魔童鬧海》憑借其震撼的特效、生動(dòng)的情節(jié)與深刻的思想票房一路攀升.截至2025年2月6日登頂中國(guó)影史票房冠軍.下表為某平臺(tái)向公眾征集該電影的評(píng)分結(jié)果，根據(jù)表格信息可以估計(jì)其得分的 60 % 分位數(shù)約為.

A.3.98 B.4 C. 4. 17 D. 5

3.已知 3，cos（a- 則

4.已知線段 A B = 5 ， A C = 4 ， D 為線段 A B 上一點(diǎn)， C D = 2 ，記 A B 與 A C 的夾角為 θ ，若對(duì)于某個(gè)范圍內(nèi)任意固定的 θ ，總存在兩個(gè)不同的 Δ A C D 符合題意，則cos θ 的取值范圍為（ ）

5.已知在正方形ABCD 中， A B = 2 ， M 為 B C 的中點(diǎn)， N 為正方形 A B C D 內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，則 的最大值為（ ）.

6. P 是平面直角坐標(biāo)系 內(nèi)一點(diǎn)，以 x 軸正半軸為始邊，射線 O P 為終邊構(gòu)成角 O P 的長(zhǎng)度 r 為θ 的函數(shù)，若其解析式為 ，則點(diǎn) P 的軌跡可能為.

7.過(guò) y 軸上一點(diǎn) （ 0 ， a ） 可以作函數(shù) 圖像的3條切線，則 a 的取值范圍為（ ）.

8.已知數(shù)列 滿足 {a－1，n為偶數(shù)，α1=2025·則下列結(jié)果為負(fù)數(shù)的是（ 為奇數(shù)， ）

A. a 20 a 21 B. a 22 a 23 C. a 24a 25 D. a 26 a 27

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.雙曲線 寸 有相同的（ ）.

A.實(shí)軸長(zhǎng) B.焦距 C.離心率 D.漸近線

10.已知函數(shù) 在某段區(qū)間內(nèi)的大致圖像如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是.

A.

B. f （ x ） 的單調(diào)區(qū)間為

C. 在 [ - 4 ， 4 ] 上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

D. f （ x ） 先保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再向左平移1個(gè)單位后是奇 改

11.已知在各棱長(zhǎng)均相等的四棱錐 E / - A B C D 中 ， A ， B ， C ， D 共面， F 為線段 B E 上一點(diǎn)， ，則對(duì)于以下平面 β ， E -A B C D 在 β 上的正投影為四邊形的是（ ）

A. β / / C E 且 β / / B D B. ，β為平面ACFC. ，β為平面CDF D. 為平面 C D F

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.已知集合 . ，若 A ∩ B = B ，則實(shí)數(shù) a =

13.如圖所示，將一個(gè)矩形劃分為 六個(gè)區(qū)域，現(xiàn)用四種不同的顏色對(duì)這六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，要求邊界有重合部分的區(qū)域（頂點(diǎn)與邊重合或頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合不算）染上不同的顏色，并且每一種顏色都要使用到，則一共有 種不同的染色方案.

14.已知焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 C 的左焦點(diǎn)為 ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， A ， B ， D 三點(diǎn)均在 C 上 （ B ， D 位于同一象限）， 在線段 上， O 在線段 A D 上，且 ，則 C 的離心率為

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

15.（13分）小郅與小宏玩一個(gè)游戲，他們每人面前都有一個(gè)不透光的盒子，盒子中均分別裝有標(biāo)有數(shù)字1，2，3的小球各1個(gè)，游戲開(kāi)始時(shí)先各自隨機(jī)從盒子中取出1個(gè)球，相互交換放入盒子中，再晃勻后各自從盒子中隨機(jī)取出1個(gè)球，球上數(shù)字較大者獲勝.

（1）設(shè)開(kāi)始時(shí)小郅與小宏取出球的序號(hào)分別為 X ， Y ，若 ，求 ξ 的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）若開(kāi)始時(shí)小到取球編號(hào)為2，求小宏最終獲勝的概率；

（3）若開(kāi)始時(shí)小郅、小宏取球編號(hào)分別為3，2，求在小宏獲勝的條件下，小郅第二次取球編號(hào)為2的概率.

16.（15分）已知拋物線 C 與直線 ι ： x - y - 4 = 0 交于 A ， B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， O A ⊥ O B

（1）求 的值.

（2）設(shè) D 為 C 上不與 O 重合的一點(diǎn).

（i）若 Δ A B D 與 Δ A B O 的面積相等，求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；

（i）若點(diǎn) D 在弧線 A O B 上，求 Δ A B D 面積的最大值.

17.（15分）如圖所示，在三棱錐 P / / B C 中， P A = 1 . ， A B = B C = C A = 2 位居平面PBC異側(cè)， P Q = C Q ，平面 P C Q 上平面 P B C ， R 為 A C 的中點(diǎn).

（1）求證： B P ⊥ Q R

（2）若三棱錐 Q -PBC的體積為 二面角 P -AB-C的余弦值為

（i）求點(diǎn) A 到平面 P Q C 的距離；

（ii）求直線 C Q 與平面 P A C 所成角的正弦值.

18.（17分）已知函數(shù)

（1）當(dāng) x ? 1 時(shí)，證明： （2）若 h （ x ） = f （ x ） + λ g （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞增，求 λ 的取值范圍；（3）若 且 ，證明：

19.（17分）記一個(gè)由實(shí)數(shù)構(gòu)成的有 n 行 n 列的數(shù)表 被稱為 n 階數(shù)表（ n ? 2 ）， 表示數(shù)表 A 中第 s 行第 列的數(shù)字.對(duì)于 ，規(guī)定加法 .若 對(duì)于任意的 i ，（204號(hào) ，則稱 A 為均分?jǐn)?shù)表， 為其均分值.

（1）直接判斷數(shù)表 和 是否為均分?jǐn)?shù)表.

（2）設(shè) A ， B 是均分值相同的 n 階均分?jǐn)?shù)表， U ， V 均是某類 n 階均分?jǐn)?shù)表的集合，其中 U 中數(shù)表的均分值為0且有且僅有由某不固定的兩行兩列所交的4個(gè)數(shù)字非零； V 中數(shù)表的每行每列均有且僅有1個(gè)數(shù)字非零.

（i）計(jì)算 并證明： A 一定能通過(guò)加上有限個(gè) U 中的元素變?yōu)?B ：

（ii）證明： A 一定能表為 V 中有限個(gè)元素相加.