《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》對平面向量的考查要求主要包括平面向量的概念、幾何運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量基本定理以及平面向量的應(yīng)用.從近年高考試卷來看，平面向量的考題均圍繞《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求展開.本文站在《課程標(biāo)準(zhǔn)》的視角，對2025年平面向量模塊的備考提出幾點(diǎn)看法，供考生參考.

1準(zhǔn)確理解向量概念

向量是既有大小又有方向的量，大小即為向量的模.模相等且方向相同的兩個向量相等.兩個向量的方向相同或相反時，稱這兩個向量平行（或共線）.兩個向量夾角的取值范圍是 [ 0 ， π ] .準(zhǔn)確理解這些概念是正確解題的關(guān)鍵.

例1平面向量 的模分別為1，2，3，且兩兩所成的角相等，則

易知向量 兩兩所成的角為 或0.

當(dāng)向量 兩兩所成的角為 時，有 2所以 ：

當(dāng)向量 a ， b ， c 兩兩所成的角為0，即三個向量同向時，

綜上， 或6.

在求解時極易忽視第二種情況，從而導(dǎo)致錯解.類似地，在解題中也容易將向量的夾角與鈍角或銳角的概念混淆.例如，兩個向量的數(shù)量積大于0，則這兩個向量的夾角不一定是銳角，還可能為O.

2熟練掌握向量運(yùn)算

向量的運(yùn)算包括模的運(yùn)算及向量的加、減、數(shù)量積等運(yùn)算.由這些運(yùn)算還可以得到向量不等式，如 等.學(xué)生在備考中要熟練掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則、幾何意義以及計算技巧.

例2（2024年天津卷14）在邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn) E 為線段 C D 的三等分點(diǎn)， ，則 λ + μ = ；若 F 為線段B E 上的動點(diǎn)， G 為 A F 的中點(diǎn)，則 的最小值為

方法1 因為 C E = DE，即CE

則

，可得 μ=1，所以入+

如圖1所示，因為 G 為 A F 的中點(diǎn)，所以

且 ，故

設(shè) ，則 因

為 ，所以

故 當(dāng) t = 1 時， 取得最小值 1

方法2如圖2所示，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則 A （ 0 ， 0 ） ， B （ 1 ， 0 ） ， C （ 1 ， 1 ） ， D （ 0 ， 1 ） ，則

1）.因為 B E"=λ"B A"+μB C "=（ - λ ， μ ） ，所以 L 0 G設(shè) （ 0 ? t ? A B圖2

1），則 ，所以

，故 當(dāng) t = 1 時， 取得最小值 1

本題方法1采用了基底轉(zhuǎn)化法，將兩個未知的向量轉(zhuǎn)化成已知向量和特殊向量來求解方法2采用了坐標(biāo)法，將幾何問題代數(shù)化處理.

3靈活應(yīng)用向量基本定理

以平面上一組不共線的向量為基底，可以表示平面中的任意一向量，例如， A ， B ， C ， D 是平面上不共線的四點(diǎn)，存在有序數(shù)對 λ ， η ，使得 .特別地，當(dāng) λ + η = 1 時， 三點(diǎn)共線.

例3已知 是單位向量，且 ，設(shè)向量 ，當(dāng) λ + η = 2 時，|a" -e"1|的最小值為

. 方法1如圖3所示，設(shè)解析 .由 ±ba= ，得 因為 λ + η = 2 ，所以

1，則向量 的終點(diǎn)在線段 B C 上，設(shè)其為 D ，即 a.設(shè)AE ，則 .當(dāng) E D ⊥ B C 時， 取得最小值，此時 ，即 的最小值為

方法2由 及 λ + η = 2 ，得 再將此式兩邊平方得

當(dāng) 時， 的最小值為

方法1利用向量基本定理，通過尋找臨界位置求得最值.方法2從向量的基本運(yùn)算入手，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)求最值.上述兩種方法均屬于處理此類問題的常規(guī)方法.

4有效落實向量交會

高考除了直接考查向量知識外，還常涉及向量的工具性與其他模塊知識的綜合.特別是在平面幾何與解析中的應(yīng)用.例如，平面幾何中夾角問題、共線問題、垂直問題、幾何圖形的形狀問題等，可借助向量關(guān)系尋找入手點(diǎn).

例4 已知拋物線 E ： 的焦點(diǎn)為 F ，如圖4所示，過點(diǎn) F 的直線交 E 于 A ， B 兩點(diǎn)，點(diǎn) C 在 E 上，使得Δ A B C 的重心 G 在 x 軸上，直線 A C 交 x 軸于點(diǎn) Q ，且 Q 在點(diǎn) F 的右側(cè).記 Δ A F G 和Δ C Q G 的面積分別為 ，求 的最小值.

設(shè) ， AC 0 lt; λ lt; 1 ， 0 lt; 解析 μlt;1 ） .因為 G 是△ABC的重心，所以 又 F ， G ， Q 三點(diǎn)共線，所以 ，故 .由 G 是Δ A B C 的重心，可知 ，則 當(dāng)且僅當(dāng)μ 時，等號成立，故 的最小值為

本題若采用常規(guī)方法，需要將兩個三角形的面積之比轉(zhuǎn)化為邊長之比，進(jìn)而通過尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，尋求結(jié)論.運(yùn)用向量工具，思路直接、計算簡捷.

（完）

高139□ 中 數(shù)理化