教材習(xí)題是高考復(fù)習(xí)備考的重要資料，挖掘習(xí)題的價值、回歸教材是提高復(fù)習(xí)備考效率的重要環(huán)節(jié).本文對一道教材習(xí)題進(jìn)行多角度分析，探究出了幾個一般性的性質(zhì)，希望能為學(xué)生復(fù)習(xí)備考提供參考.

1 問題的提出

題目（人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊 101頁復(fù)習(xí)參考題3第12題)試討論函數(shù) y = x - 的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，并畫出函數(shù)圖像.

容易得出上述習(xí)題答案，但是對于一般的函數(shù) ，它們的圖像和性質(zhì)又是什么呢？

2 問題的解決

通過探究，上述兩種函數(shù)的圖像與性質(zhì)如表1所示.

因為函數(shù) 和函數(shù)

的圖像像一條飄帶，因此很多資料上稱其為飄帶函數(shù).

3 問題的拓展

3.1從不等式角度看

通過幾何畫板可以畫出函數(shù) （2號ln 的圖像，如圖1所示，容易得出兩組不等式.

當(dāng) 時，有 當(dāng) 0

上面兩組不等式稱為飄帶不等式，下面給出證明，當(dāng) x ? 1 時，令 貝

所以 F ( x ) 在 [ 1 ， + ∞ ) 上單調(diào)遞減，故 F ( x ) ? F ( 1 ) = 0，即 .令 則 ，所以 H ( x ) 在 [ 1 ， + ∞ ) 上單調(diào)遞增，故 H ( x ) ? H ( 1 ) = 0 ，即 當(dāng)且僅當(dāng) x = 1 時，等號成立.

因此，當(dāng) ，不等式

成立.

同理可證，當(dāng) 0 < x < 1 時，不等式 n 也成立.

通過代換，可以得到飄帶不等式的變形：

3.2從曲線的角度看

換個角度思考這個問題，如果把函數(shù) f ( x ) = 0)的圖像看作是曲線，則其是雙曲線，下面給出證明.

設(shè) 是 的圖像上任意一點，點 繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)角 后得到點 Q ( x ， y ) ，則點 Q ( x ， y ) 的軌跡為曲線 τ 根據(jù)旋轉(zhuǎn)公式

將點 代人 可得

2 x y ( a sin 2 θ + cos 2 θ ) = - 2 b .

令 ，聯(lián)立方程

解得 將 代回式 ① 整理得曲線 τ 的方程

為 ，顯然曲線 τ 為雙曲線.因此，旋轉(zhuǎn)之前的 也是雙曲線.同理可證 也是雙曲線.

4高考試題中的應(yīng)用

下面一起來看看如何運用上面所研究的知識來解決最近幾年的高考試題和各地模擬試題.

4.1 飄帶不等式在數(shù)列不等式問題中的應(yīng)用

例1 （2023年天津卷20）已知函數(shù) f ( x ) =

(1)求曲線 y = f ( x ) 在 x = 2 處切線的斜率；(2)當(dāng) x>0 時，證明： f ( x )>1 (3)證明：

（求解過程略）.

(2)要證 f ( x )>1 ( x>0 ) ，只需證

即證 ，由飄帶不等式可知顯然成立.

(3)先證明不等式右邊.令

則

由(2)可判斷出 ，所以數(shù)列 為遞減數(shù)列，則 ，故不等式右邊得證.

下面證明不等式左邊.當(dāng) x > 1 ，飄帶不等式 成立，用 替換 x 得

即 兩邊同時乘 可得

則 ，所以

，則

：

以上各式相加得 即

故

本題作為壓軸題有一定的難度，特別是第(3)問的證明難度較大，用飄帶不等式證明是比較好的方法.第（2)問一眼就可以看出飄帶不等式的變形結(jié)構(gòu) ，那么解題思路就明晰了.第（3）問也是利用飄帶不等式 累加放縮求解.

4.2飄帶不等式在雙變量不等式問題中的應(yīng)用

例2 已知函數(shù)

(1)求 f ( x ) 的極值；

(2)若 ，且 a b > 1 ，證明：g ( a ) + g ( b ) > 0 .

( 1 ) f ( x ) 的極小值為 ，無極大值（求解過程略).

(2)因為 ，所以 （20號 .由 ，可得 ；由 ，可得 ，所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，即 ，故函數(shù) g ( x ) 在 ( 0 ， + ∞ ) ）上單調(diào)遞增.因為 ，所以 .要證g ( a ) + g ( b ) > 0 ，只需證 ，即證 ，即證

令 ，則只需證 h ( x ) ? 0

當(dāng) x = 1 時， h ( x ) = 0

當(dāng) 0 ，由飄帶不等式可得ln 即 則 ，所以 ，故 h ( x ) > 0

當(dāng) x>1 時， ，由飄帶不等式可得 即

所以 ，故 h ( x ) > 0 綜上， . h ( x ) ? 0

將對數(shù)函數(shù)放縮，利用飄帶不等式求解，過程簡捷.

4.3飄帶不等式在比較大小問題中的應(yīng)用

例3（2022年新高考 I 卷7設(shè) ，c=-ln 0.9，則( ）.

A C.

當(dāng) 時，有

則

當(dāng) x<1 時，有 當(dāng)且僅當(dāng) x = 0 時，等號成立），所以 則 ，所以 ，故選C.

從飄帶不等式 （ 出發(fā)，求解過程快速、簡捷.

4.4從曲線的角度考查雙曲線性質(zhì)

例4坐標(biāo)平面 x O y 上的點 P ( x ， y ) 也可表示為 P ( r cos θ ， r sin θ ) ，其中 r = ∣ O P ∣ ， θ 為 x 軸非負(fù)半軸繞原點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)到與 O P 重合的旋轉(zhuǎn)角.將點P 繞原點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) α 后得到點 ，這個過程稱之為旋轉(zhuǎn)變換.

(1)證明旋轉(zhuǎn)變換公式： 利用該公式求點 繞原點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) 后的點 的坐標(biāo).

(2)旋轉(zhuǎn)變換建立了平面上的每個點 P 到 的對應(yīng)關(guān)系.利用旋轉(zhuǎn)變換可將曲線通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的曲線進(jìn)行研究.求將曲線 c （204 繞原點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 后得到的曲線方程，并求該曲線的離心率.

（求解過程略).

(2)方法1 (旋轉(zhuǎn)變換化標(biāo)準(zhǔn)式)設(shè)曲線 C 上的任一點 P ( x ， y ) 繞原點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 后得到的點為 ，則點 繞原點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) 后得到點 P ( x ， y ) ，故

因為點 P ( x ， y ) 在曲線C 上，所以

化簡得x'2_ ，故曲線 C 繞原點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 后得到的曲線方程為x2- ，該曲線為雙曲線，其離心率為2.

方法2 （公式法)先證明一個結(jié)論：設(shè)雙曲線方程為 ，角 α 是漸近線 y = 逆時針旋轉(zhuǎn)到漸近線 的夾角，則離心率 因為 ，所以 由于平移前和平移后 C 的離心率相等，故本題可以用公式 求解離心率.曲線 的兩條漸近線為 和 y 軸，它們夾角為 （20 所以

本題是新定義題型，源于教材習(xí)題的推廣.對于第(2)問，可以用旋轉(zhuǎn)變換公式將非標(biāo)準(zhǔn)雙曲線的離心率轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式，也可以用方法2中的公式 求解，該公式也適用于一般的非標(biāo)準(zhǔn)雙曲線方程，關(guān)鍵是正確找到角 α

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂)》指出，數(shù)學(xué)教材為“教”與“學(xué)\"活動提供學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源.習(xí)題是教材的重要組成部分，是課堂教學(xué)內(nèi)容的鞏固和深化，也是高考命題的重要題源.要想發(fā)揮教材習(xí)題的價值，學(xué)生就要靜下心挖掘教材課后習(xí)題的拓展探究，探究其一般性規(guī)律，探究其與高考試題的銜接.