正態(tài)分布不僅是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，也是將來(lái)在高等數(shù)學(xué)中衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要指標(biāo)之一.新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)命題常常圍繞生活實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)正態(tài)分布的綜合問(wèn)題來(lái)考查，這不僅檢驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，也反映了正態(tài)分布在現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際問(wèn)題中的重要位置.

1 正態(tài)分布與新定義的綜合應(yīng)用

例1對(duì)于一個(gè)給定的連續(xù)型隨機(jī)變量X，創(chuàng)新定義其累積分布函數(shù)為F（x）=P（X≤x）.如圖1所示，已知某系統(tǒng)由一個(gè)電源和三個(gè)并聯(lián)的元件A，B，C組成.在電源電壓正常的情況下，至少一個(gè)元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運(yùn)行，假設(shè)電源及各元件之間工作相互獨(dú)立.

（1）已知電源電壓X（單位：V）服從正態(tài)分布N（40，4），且X的積累分布函數(shù)為F（x），試求F（42）-F（36）的值；

（2）已知隨機(jī)變量T（單位：天）表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，定義相應(yīng)的累計(jì)分布函數(shù)為G（t）=0，tlt;0，1-14t，t≥0.設(shè)t1gt;t2gt;0，證明：P（Tgt;t1|Tgt;t2）=P（Tgt;t1-t2）.

附：若隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（|Y-μ|lt;σ）=0.682 7，P（|Y-μ|lt;2σ）=0.954 5，P（|Y-μ|lt;3σ）=0.997 3.

解：（1）P（38lt;Xlt;42）=0.682 7，P（36lt;Xlt;44）=0.954 5，則

F（42）-F（36）=P（X≤42）-P（X≤36）=P（40≤X≤42）+P（36≤Xlt;40）=12（0.682 7+0.954 5）=0.818 6.

（2）

P（Tgt;t1|Tgt;t2）=P［（Tgt;t1）∩（Tgt;t2）］P（Tgt;t2）=P（Tgt;t1）P（Tgt;t2）=1-P（T≤t1）1-P（T≤t2）=1-G（t1）1-G（t2）=1-1-14t11-1-14t2=14t114t2=4t2-t1;

P（Tgt;t1-t2）=1-P（T≤t1-t2）=1-G（t1-t2）=4t2-t1.

所以P（Tgt;t1|Tgt;t2）=P（Tgt;t1-t2）.

評(píng)析：本題考查新定義累計(jì)分布函數(shù)和正態(tài)分布相結(jié)合的綜合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，在理解題意的基礎(chǔ)上，利用正態(tài)分布的定義和條件概率的計(jì)算公式，以及正態(tài)分布的有關(guān)性質(zhì)和“新定義”進(jìn)行計(jì)算求解.

2 正態(tài)分布與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用

例2某省數(shù)學(xué)素養(yǎng)大賽分為初賽與復(fù)賽兩個(gè)階段，同時(shí)規(guī)定初賽成績(jī)排名前200名的學(xué)生參加復(fù)賽.共有8 000名學(xué)生參加初賽，從中隨機(jī)抽取100人的初賽成績(jī)作為樣本，制作如圖2的頻率分布直方圖.

（1）假設(shè)初賽成績(jī)中不低于90分、80～90分、70～80分、60～70分、60分以下分別為優(yōu)秀、良好、一般、合格、不合格，若從上述樣本初賽成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人初賽成績(jī)優(yōu)秀的概率，并求初賽成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)信息，可以近似認(rèn)為全體參加初賽學(xué)生的初賽成績(jī)Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ可近似為樣本中的100名學(xué)生初賽成績(jī)的平均值（以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且σ2=65.已知小華的初賽成績(jī)?yōu)?5分，利用該正態(tài)分布來(lái)分析并估計(jì)小華是否有資格參加復(fù)賽.

參考數(shù)據(jù)：65≈8；如果Z～N（μ，σ2），那么P（μ-σlt;Zlt;μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σlt;Zlt;μ+2σ）≈0.954 5，P（μ-3σlt;Zlt;μ+3σ）≈0.997 3.

解：（1）樣本中位于區(qū)間［80，90）內(nèi)的人數(shù)為0.015×10×100=15，

位于區(qū)間［90，100］內(nèi)的人數(shù)為0.005×10×100=5，

所以抽取的2人中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)X可能的取值為0，1，2.易得

P（X=0）=C215C220=2138，P（X=1）=C15·C115C220=1538，P（X=2）=C25C220=119.

所以X的分布列為：

評(píng)析：本題根據(jù)頻率分布直方圖給出的數(shù)據(jù)信息求得初賽成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)，求出隨機(jī)變量分布列，然后求得概率和數(shù)學(xué)期望；利用頻率分布直方圖估計(jì)正態(tài)分布的均值，使用3σ原則進(jìn)行正態(tài)分布與概率估計(jì)，并結(jié)合題設(shè)條件中相關(guān)的數(shù)據(jù)信息加以推理分析與數(shù)學(xué)計(jì)算，由此來(lái)作出正確的分析與判斷.

3 正態(tài)分布與概率的綜合應(yīng)用

例32025年某大公司招聘公司職員，考試分為筆試和面試，筆試通過(guò)后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，面試環(huán)節(jié)各部門從筆試通過(guò)的人員中抽取部分人員進(jìn)行該部門的面試.根據(jù)數(shù)據(jù)信息，應(yīng)聘人員的筆試成績(jī)Y近似服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ，σ2分別近似為樣本平均數(shù)、樣本方差s2.而參數(shù)μ，σ的近似值分別為76.5，5.5，以樣本估計(jì)總體.

（1）假設(shè)有84.135%的應(yīng)聘人員的筆試成績(jī)高于往年的平均成績(jī)，求該公司往年的平均成績(jī)大約是多少.

（2）現(xiàn)有甲、乙、丙3名應(yīng)聘者進(jìn)入了面試，該公司某部門有意在這3人中隨機(jī)選取2人參加面試.面試分為初試和復(fù)試并且采用積分制，滿分為10分，其中通過(guò)初試考核記6分，通過(guò)復(fù)試考核記4分，初試通過(guò)才能參加復(fù)試，應(yīng)聘者能否正確回答初試與復(fù)試的問(wèn)題相互獨(dú)立.已知甲和乙通過(guò)初試的概率均為34，丙通過(guò)初試的概率為23，甲和乙通過(guò)復(fù)試的概率均為23，丙通過(guò)復(fù)試的概率為12.

①若從這3人中隨機(jī)選取2人參加面試，求這2人本次面試的得分之和不低于16分的概率；

②若甲和乙一起參加本次該部門的面試，記他們本次面試的得分之和為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

參考數(shù)據(jù)：若X～N（μ，σ2），則

P（μ-σlt;X≤μ+σ）≈0.682 7，

P（μ-2σlt;X≤μ+2σ）≈0.954 5，

P（μ-3σlt;X≤μ+3σ）≈0.997 3.

解：（1）P（Xgt;μ-σ）=12+P（μ-σlt;X≤μ+σ）2≈0.841 35.

又μ的近似值為76.5，σ的近似值為5.5，

所以該公司往年的平均成績(jī)大約為76.5-5.5=71（分）.

（2）①記選出甲、乙參加面試為事件A1，選出甲、丙參加面試為事件A2，選出乙、丙參加面試為事件A3，2人本次面試的得分之和不低于16分為事件B，則P（A1）=C22C23=P（A2）=P（A3）=13.所以

P（B）=P（A1B+A2B+A3B）=13×342×232+2×23×13+13×34×23×23×12+13×12+23×12

+13×34×23×23×12+13×12+23×12=16+536+536=49.

②變量X的可能取值為：0，6，10，12，16，20.易知P（X=0）=142=116，P（X=6）=2×34×13×14=18，P（X=10）=2×34×23×14=14，P（X=12）=342×132=116，

P（X=16）=342×2×23×13=14，P（X=20）=342×232=14.

所以X的分布列為：

評(píng)析：本題是有關(guān)概率與正態(tài)分布的綜合問(wèn)題，需要掌握正態(tài)分布的對(duì)稱性和正態(tài)曲線的3σ原則，以及將實(shí)際問(wèn)題分三種情況，分別計(jì)算概率列出分布列，然后綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)做答.