摘要：本文中把三角函數(shù)的平面問(wèn)題放在空間中研究，體現(xiàn)了從二維到三維的思維躍進(jìn)，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決，體現(xiàn)了三維到二維的解題過(guò)程，發(fā)展了邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);立體幾何;三角立幾融合

1 展示命題

（改編題）已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）（ωgt;0，0lt;φl(shuí)t;π）的部分圖象如圖1所示，A，B分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)A′，點(diǎn)C13，0為該部分圖象與x軸的交點(diǎn).將繪有該圖象的紙片沿x軸折成2π3的二面角，如圖2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）在圖2中求AB與平面OBC所成的角；

（3）求以AB的中點(diǎn)為球心，半徑為32的球與二面角所圍成的幾何體體積.

附注：第（3）題要用到球缺（如圖3）的體積公式.球缺的定義：一個(gè)球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直徑被截下的線段長(zhǎng)叫球缺的高.設(shè)球的半徑為R，球缺的高為h，則球缺的體積公式為V球缺=13πh2（3R-h）.

（原題）已知函數(shù)f（x）=λsinπ2x+φ（λgt;0，0lt;φl(shuí)t;π）的部分圖象如圖1所示，A，B分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)A′，點(diǎn)C為該部分圖象與x軸的交點(diǎn).將繪有該圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時(shí)|AB|=10.

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①φ=π3；

②圖2中，AB·AC=5；

③圖2中，過(guò)線段AB的中點(diǎn)且與AB垂直的平面與x軸交于點(diǎn)C；

④圖2中，S是△A′BC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={Q∈S||AQ|≤2}，則T表示的區(qū)域的面積大于π4.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

2 命題過(guò)程

本來(lái)想命制一個(gè)求三角函數(shù)的解析式或求y=Asin（ωx+φ）中ω的填空題，看到原題后就想改編成三角與立體幾何融合的綜合題.因?yàn)轭}設(shè)中有二面角，只是直二面角太特殊，于是作了調(diào)整，又想涉及求線面角和球相關(guān)的問(wèn)題.為了保留原函數(shù)解析式，在函數(shù)圖象上取兩點(diǎn)0，32和13，0，但這樣求出的結(jié)果有兩解，需要根據(jù)函數(shù)單調(diào)性或周期性舍去一解，有一點(diǎn)小坎，正合本意，這樣第（1）小題就確定下來(lái).把原題中直二面角改為2π3的二面角，第（2）小題想求線面角，結(jié)合圖2，確定求AB與平面OBC所成的角.第（3）小題還是看上了AB，就求以AB為直徑的球被平面OBC所截的面積，遂成第一稿.

第一稿：（3）求以AB為直徑的球被平面OBC所截的面積.

以O(shè)C的方向?yàn)閥′軸的正方向，過(guò)點(diǎn)O且垂直y′軸的直線為x′軸，過(guò)點(diǎn)O且垂直平面OBC的直線為z′軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB的中點(diǎn)為E，點(diǎn)A在平面OBC上的射影為H，則A′H=32，AH=32，所以H-32，-23，0，A-32，-23，32，B3，43，0，球的直徑|AB|=13，點(diǎn)E到平面OBC的距離為34，以AB為直徑的球被半平面OBC所截的圖形即為該球在平面OBC上的射影圓.

不妨設(shè)該球在平面OBC上的射影圓的半徑為r，則r2=1322-342=4316.

所以，以AB為直徑的球被平面OBC所截的圓的面積為4316π.

第一稿的條件以及第（1）（2）小題與原題相同，這里不重復(fù)，只給出第（3）小題“（3）以AB為直徑的球被平面OBC所截的面積”的解答.通過(guò)演算發(fā)現(xiàn)第（2）小題有多種解法，前兩個(gè)小題比較滿意，第（3）小題相對(duì)簡(jiǎn)單，于是有了第二稿.

第二稿：（3）求以AB為直徑的球被半平面OBC所截的面積.

以AB為直徑的球被半平面OBC所截的圖形為一優(yōu)弧弓，不妨設(shè)半徑為r，圓心為F，則在平面OBC內(nèi)F34，13.而球的直徑|AB|=13，則r2=1322-342=4316.

于是，圓F的方程為x-342+y-132=4316.設(shè)圓與直線A′C交于M，N兩點(diǎn)，則M0，13-102，N0，13+102，可得MN=10，cos∠MFN=4316+4316-102×4316=-3743，故∠MFN=π-arccos3743，扇形的圓心角為α=π+arccos3743.所以，扇形的面積為S扇=12αr2=12×π+arccos3743×4316=4332π+arccos3743，S=S△MNF+S扇=12×10×34+4332π+arccos3743=308+4332π+arccos3743.所以以AB為直徑的球被半平面OBC所截的面積為308+4332×π+arccos3743.

這樣雖然計(jì)算量大一點(diǎn)，但還是覺(jué)得有點(diǎn)平淡，于是有了第三稿.

第三稿：（3）求以AB為直徑的球夾在兩個(gè)半平面之間的體積.

但這個(gè)體積學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)不能求，于是只能再改！改為以AB中點(diǎn)為球心的球與OC相切，這時(shí)的體積就是球的體積減去兩個(gè)相同的球缺的體積，但球缺教材沒(méi)有，所以想到給出球缺的定義，最終通過(guò)計(jì)算確定AB的值后得到終稿.

第四稿：（3）求以AB的中點(diǎn)為球心，半徑為32的球與二面角所圍成的幾何體體積.

3 解題分析與思維導(dǎo)圖

3.1 第（1）問(wèn)解法分析及思維導(dǎo)圖

已知函數(shù)圖象上的點(diǎn)0，32，13，0，把兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）中，得到ω，φ的兩組答案.

法1：通過(guò)分析函數(shù)f（x）=3sin5π2x+π6在-115，13上先增后減，與已知的函數(shù)圖象不符，故舍去.

法2：由圖象可知T4gt;13，從而推出Tgt;43，即2πωgt;43，得出0lt;ωlt;3π2，故舍去ω=5π2.

思維導(dǎo)圖如圖4所示.

3.2 第（2）問(wèn)解法分析及思維導(dǎo)圖

分析一：直線AB與平面OBC所成的角就是直線AB與其在平面OBC上的射影所成的角，所以首先作出點(diǎn)A在平面OBC上的射影H，則∠ABH就是所求的角，而AH很容易算出，接下來(lái)難點(diǎn)是求BH.

法1：過(guò)點(diǎn)H作x軸的平行線l，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥l交l于點(diǎn)D，求出BH.

法2：在平面OBC內(nèi)，以O(shè)C的方向?yàn)閥′軸的正方向，過(guò)O且垂直y′軸的直線為x′軸，建立平面直角坐標(biāo)系，很容易求出點(diǎn)B，H的坐標(biāo)，求出BH.

分析二：以O(shè)C的方向?yàn)閥′軸的正方向，過(guò)O且垂直y′軸的直線為x′軸，過(guò)O且垂直平面OBC的直線為z′軸，建立空間直角坐標(biāo)系.分別寫出求出點(diǎn)B，H的坐標(biāo)，求出平面OBC的法向量n，從而得sin θ=|BA5n||BA||n|

分析三：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OC交OC于點(diǎn)D，則BD⊥DA′，AA′⊥DA′，〈BD，A′A〉=π3.由BA=BD+DA′+A′A，得出|BA|.設(shè)平面OBC的一個(gè)單位法向量為e，〈e，A′A〉=π6，則e⊥BD，e⊥DA′，從而得出sin θ=|BA5e||BA||e|.

思維導(dǎo)圖如圖5所示.

3.3 第（3）問(wèn)解法分析及思維導(dǎo)圖

以O(shè)C的方向?yàn)閥′軸的正方向，過(guò)點(diǎn)O且垂直y′軸的直線為x′軸，過(guò)點(diǎn)O且垂直平面OBC的直線為z′軸，建立空間直角坐標(biāo)系.AB的中點(diǎn)為E，設(shè)A在平面OBC上的射影為H，易得點(diǎn)H，A，B，E的坐標(biāo).以E為球心，半徑為32的球被半平面OBC所截的圖形為圓，通過(guò)計(jì)算所截的圓恰與y′軸相切，同理可得，球被平面OAC所截的圖形也恰與y′軸相切，所以球與二面角所圍成的幾何體體積為V=V球-2V球缺，其中V球缺=13πh2（3R-h），R為球的半徑，h為球缺的高.

4 試題解答

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5 試題鏈接

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ωgt;0，0lt;φl(shuí)t;π）的部分圖象如圖7所示，A，B分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)A′，點(diǎn)C13，0為該部分圖象與x軸的交點(diǎn).將繪有該圖象的紙片沿x軸折成π3的二面角，如圖8所示.

（1）求f（x）的解析式；

（2）在圖8中求AB與平面OBC所成的角；

（3）求以AB為直徑的球夾在兩個(gè)半平面之間的體積.6 試題實(shí)測(cè)統(tǒng)計(jì)分析

為調(diào)查本題編制質(zhì)量，難度設(shè)置是否適宜，是否具有的區(qū)分度，特讓高二實(shí)驗(yàn)班學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試.測(cè)試結(jié)果如表1所示.

第（1）小題4分，平均分3.43分，主要失分原因是算出兩組答案未進(jìn)行取舍，或有些學(xué)生意識(shí)到要舍去一組，但原因表述不明，甚至有些同學(xué)計(jì)算錯(cuò)誤.第（2）小題滿分6分，平均分3.8分，有57.1%的同學(xué)滿分，主要解法是綜合法，建系法也有部分同學(xué)使用，但是坐標(biāo)表述有錯(cuò)誤，建系寫坐標(biāo)有待加強(qiáng).第（3）小題是一個(gè)新概念題，滿分8分，平均分2.74分，滿分率25.7%，主要失分原因是概念理解不清楚，由于計(jì)算要求比較高，學(xué)生計(jì)算出錯(cuò)的太多.但還是有一部分學(xué)生得了滿分.

本題總分18分，滿分學(xué)生占25.7%，零分學(xué)生占6.5%，有一定的區(qū)分度，能夠反映學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和數(shù)學(xué)計(jì)算能力及新概念的理解能力.

學(xué)生是否覺(jué)得題目有趣？是否覺(jué)得題目有挑戰(zhàn)性？是否從題目中學(xué)到了新的東西？這些反饋都可以幫助改進(jìn)命題的方法和策略.本題第（3）小題“求以AB的中點(diǎn)為球心，半徑為32的球與二面角所圍成的幾何體體積”，感覺(jué)改編得不是那么自然，隨后在試題鏈接中的第（3）問(wèn)改為了“求以AB為直徑的球夾在兩個(gè)半平面之間的體積”，此球恰好與二面角的棱相切.