1 課程標(biāo)準(zhǔn)要求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的水平劃分共有三個(gè)層次，各層次有不同的特點(diǎn)和要求：水平一要求學(xué)生能夠識(shí)別和提取數(shù)學(xué)對(duì)象的基本特征，并運(yùn)用符號(hào)、公式和圖形表達(dá)這些特征，具備初步的抽象能力；水平二則要求學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)問題進(jìn)行抽象概括，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并解決實(shí)際問題，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的抽象和概括能力；水平三則要求學(xué)生能夠在更高層次上理解和探索數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在聯(lián)系，具備創(chuàng)新性思維和推理能力，能夠?qū)?shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行創(chuàng)造性的抽象和概括.總體而言，三個(gè)層次從基礎(chǔ)到高級(jí)逐步提高，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象能力的不斷深化和提升，核心在于從具體情境中抽象概念到在復(fù)雜情境中創(chuàng)造性解決問題.

2 三個(gè)水平層次試題分析

2.1 水平一類的試題

例1已知m∈R，命題p：x∈R，x2-4x+2m≥0，命題q：m≥3，則p是q的（）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：因?yàn)閤∈R，x2-4x+2m≥0，則Δ=16-8m≤0，解得m≥2，所以p是q的必要不充分條件.

故選：B.

考查特點(diǎn)分析：首先，需要識(shí)別并理解命題p和q的數(shù)學(xué)意義，這是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ).求解過程中，需要對(duì)命題的條件和結(jié)論進(jìn)行辨析，能夠解釋命題中的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，從而在熟悉的情境中抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.這一過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的核心要求，即在具體情境中提取出數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)概念和命題.

其次，學(xué)生需要在解決問題的過程中運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)方法，對(duì)命題p和q進(jìn)行邏輯推理和論證，確定p和q之間的關(guān)系.2.2 水平二類的試題

例2如圖1，某校學(xué)生生活區(qū)如矩形ABCD所示，其中O為生活區(qū)入口.已知有三條路AB，BC，AD，路AD上有一個(gè)觀賞塘T，其中AT=300 m，路BC上有一個(gè)風(fēng)雨走廊的入口L，其中BL=200 m.現(xiàn)要修建兩條路OT，OL，修建OT，OL費(fèi)用成本分別為2λ/m，3λ/m.設(shè)∠TOA=α.

（1）當(dāng)AO=600 m，BO=200 m時(shí)，求張角∠TOL的正切值；

（2）當(dāng)OT⊥OL時(shí)，求當(dāng)α取多少時(shí)，修建OT，OL的總費(fèi)用最少，并求出此總費(fèi)用.

解析：（1）設(shè)∠LOB=β，β為銳角，則tan β=LBOB=1;又∠TOA=α，則tan α=TAOA=12.故tan ∠TOL=tan ［π-（α+β）］=-tan（α+β）=-tan α+tan β1-tan αtan β=-12+11-12×1=-3.

（2）當(dāng)OT⊥OL時(shí)，∠LOB=π2-α，α∈0，π2，則OT=300sin α，OL=200sinπ2-α=200cos α.

設(shè)修建OT，OL的總費(fèi)用為y，則y=300sin α×2λ+200cos α×3λ=600λ51sin α+1cos α=600λ5sin α+cos αsin αcos α.

設(shè)t=sin α+cos α，則t=2sinα+π4∈（1，2］，則sin αcos α=t2-12，故y=600λ5sin α+cos αsin αcos α=600λ52tt2-1=1 200λ51t-1t.

由于y=t-1t在（1，2］上單調(diào)遞增，故0lt;t-1t≤22，t=2時(shí)取得等號(hào)，故y=1 200λ51t-1t的最小值為1 200λ5122=1 2002λ，此時(shí)t=2，即α=π4時(shí)，修OT，OL的總費(fèi)用最少，最少為1 2002λ.

考查特點(diǎn)分析：首先，試題通過關(guān)聯(lián)的情境，要求學(xué)生抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則.學(xué)生需要根據(jù)題目給出的條件，理解相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用這些模型進(jìn)行推理和計(jì)算，這符合水平二對(duì)數(shù)學(xué)抽象思維的考查要求.

其次在解題過程中，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)語言的理解和運(yùn)用、數(shù)學(xué)概念及規(guī)則的理解和表達(dá)、數(shù)學(xué)關(guān)系的推理和論證都提出了較高的要求.因此，學(xué)生需要通過對(duì)具體數(shù)據(jù)和情境的分析，提煉出解決一類問題的數(shù)學(xué)方法，理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想[1].

2.3 水平三類的試題

例3設(shè)集合S，T（S∈N*，T∈N*，S，T中至少有兩個(gè)元素，且S，T滿足：①對(duì)于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②對(duì)于任意x，y∈T，若xlt;y，則yx∈S.下列命題正確的是（）.

A.若S有4個(gè)元素，則S∪T有7個(gè)元素

B.若S有4個(gè)元素，則S∪T有6個(gè)元素

C.若S有3個(gè)元素，則S∪T有5個(gè)元素

D.若S有3個(gè)元素，則S∪T有4個(gè)元素

解析：取S={1，2，4}，則T={2，4，8}，S∪T={1，2，4，8}，4個(gè)元素，排除C；取S={2，4，8}，則T={8，16，32}，S∪T={2，4，8，16，32}，5個(gè)元素，排除D；取S={2，4，8，16}，則有T={8，16，32，64，128}，S∪T={2，4，8，16，32，64，128}，7個(gè)元素，排除B.

對(duì)于S={a，b，c，d}且alt;blt;clt;d，a，b，c，d∈N*，由列表法得：T={ab，ac，bc，ad，bd，cd}且ablt;aclt;min{bc，ad}lt;max{bc，ad}lt;bdlt;cd，此時(shí)要滿足xlt;y，有yx∈S……最終可得S={a，a2，a3，a4}，且T={a3，a4，a5，a6，a7}，注意a≠1，所以S∪T={a，a2，a3，a4，a5，a6，a7}，共有7個(gè)元素.故選：A.

考查特點(diǎn)分析：首先，題目中設(shè)定了兩個(gè)集合S和T，并提供了兩個(gè)特定的條件①和②，這要求學(xué)生能夠理解這些條件所描述的數(shù)學(xué)關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上抽象出具體的數(shù)學(xué)問題.學(xué)生需要通過對(duì)集合元素及其關(guān)系的分析，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)這些關(guān)系，并進(jìn)一步推導(dǎo)出集合S和T的具體特征.這一過程培養(yǎng)了學(xué)生在復(fù)雜情境中抽象出數(shù)學(xué)問題并形成新命題的能力，符合水平三對(duì)數(shù)學(xué)抽象思維的要求.

其次，試題要求學(xué)生在解決具體問題時(shí)運(yùn)用或創(chuàng)造數(shù)學(xué)方法，理解數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性，并感悟數(shù)學(xué)原理和思想.學(xué)生需要針對(duì)題目中給出的條件，通過邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算，得出正確的結(jié)論.在這個(gè)過程中，他們必須理解和運(yùn)用集合的基本性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)則，逐步推導(dǎo)命題是否正確.通過這一過程，學(xué)生不僅能夠理解數(shù)學(xué)對(duì)象、運(yùn)算或關(guān)系的抽象結(jié)構(gòu)，還能夠在具體問題中感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的有序多級(jí)體系.

最終，學(xué)生需要用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的解題思路和結(jié)論，展示其把握研究對(duì)象數(shù)學(xué)特征的能力.這種深入的分析和推理過程，有助于學(xué)生在現(xiàn)實(shí)問題中應(yīng)用數(shù)學(xué)原理解釋現(xiàn)象，提升其綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

綜上所述，本題通過復(fù)雜條件引導(dǎo)學(xué)生抽象數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用或創(chuàng)造數(shù)學(xué)方法解決問題，培養(yǎng)綜合數(shù)學(xué)思維和表達(dá)能力，符合課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平三的要求.

3 教學(xué)啟示

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)嚴(yán)格遵循課標(biāo)對(duì)素養(yǎng)培養(yǎng)的層次要求，確保教學(xué)活動(dòng)始終沿著正確的方向進(jìn)行.首先，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)注重循序漸進(jìn)，按照課標(biāo)中對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的不同水平進(jìn)行分層次教學(xué).結(jié)合水平一的考查要求，教師應(yīng)當(dāng)提高學(xué)生在熟悉情境中運(yùn)用所學(xué)方法解決數(shù)學(xué)問題的能力，進(jìn)而掌握在情境中抽象數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的能力.基于水平二的要求，教師應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)關(guān)聯(lián)情境，即培養(yǎng)學(xué)生在關(guān)聯(lián)情境中抽象出更一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的能力.對(duì)于水平三，則應(yīng)發(fā)揮綜合情境的重要作用，要求學(xué)生能夠運(yùn)用正確的數(shù)學(xué)語言及創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)方法解決復(fù)雜問題.

此外，教師應(yīng)注重試題在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)方面的作用，通過有針對(duì)性的試題的練習(xí)和講解，引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)雜情境中提煉數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)抽象概念，并通過邏輯推理和數(shù)學(xué)方法解決問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]馬艷艷.高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象與直觀想象素養(yǎng)的培育研究[D].重慶：重慶師范大學(xué)，2023.