摘要：基于函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，靈活運用切線不等式，是函數(shù)綜合應用的深入與提升，也是問題解決過程中的“巧技妙法”.利用切線不等式，可以有效解決函數(shù)最值、參數(shù)最值、大小比較及綜合應用等問題，并合理加以綜合與應用，歸納解題技巧與策略，幫助學生提升綜合應用能力.

關鍵詞：函數(shù)；導數(shù)；切線不等式；參數(shù)；最值

基于函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，靈活運用切線不等式，可有效解決函數(shù)與方程中的一些綜合應用問題.借助切線不等式（ex≥x+1或ln x≤x-1）“以直代曲”，是處理函數(shù)與導數(shù)問題的妙手.依托切線不等式的巧妙應用，對于問題的快捷切入、解題的思路優(yōu)化、過程的簡化精減等都非常有效果.切線不等式是解決與之相關的函數(shù)、方程及不等式等問題時常用的一些基本結論與性質(zhì).

1 函數(shù)最值問題

在解決一些解析式中涉及指數(shù)與對數(shù)混合的函數(shù)最值問題時，通過合理挖掘題設內(nèi)涵與解析式的結構特征，巧妙借助切線不等式（ex≥x+1或ln x≤x-1）“以直代曲”來合理轉(zhuǎn)化，給函數(shù)最值的求解與應用創(chuàng)造條件.

例1（2024年浙江省9+1高中聯(lián)盟高三第二學期3月高考模擬數(shù)學試卷第14題）函數(shù)f（x）=x3e3x-3ln x-1x（xgt;0）的最小值為.

解法1：放縮法1.

由不等式ln x≤x-1（x=1時等號成立），得f（x）=x3e3x-3ln x-1x=x3e3x-ln（x3e3x）+3x-1x≥x3e3x-（x3e3x-1）+3x-1x=3，當且僅當x3e3x=1時等號成立.

由x3e3x=1，得x3=e-3x，可轉(zhuǎn)化為兩曲線y1=x3與y2=e-3x的圖象有唯一交點，可知x3=e-3x有唯一實數(shù)解.

所以函數(shù)f（x）的最小值為3.

解法2：放縮法2.

根據(jù)切線不等式ex≥x+1（x=0時等號成立），則有f（x）=x3e3x-3ln x-1x=e3x+3ln x-3ln x-1x≥（3x+3ln x+1）-3ln x-1x=3，當且僅當3x+3ln x=0時等號成立.

由3x+3ln x=0，得x=-ln x，可轉(zhuǎn)化為兩曲線y1=x與y2=-ln x的圖象有唯一交點，可知x=-ln x有唯一實數(shù)解.

所以函數(shù)f（x）的最小值為3.

點評：當涉及指數(shù)、對數(shù)混合求最值的問題時，常利用切線不等式（ex≥x+1或ln x≤x-1）巧妙“互化”，從而避免利用導數(shù)法處理問題時的繁雜過程與復雜運算，優(yōu)化解題過程，提升解題效益.

2 參數(shù)最值問題

在解決一些含參并涉及指數(shù)式或?qū)?shù)式的不等式恒成立問題時，常利用不等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化（同構），以及參變分離等，巧妙借助切線不等式來合理放縮與轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)參數(shù)最值（或取值范圍）的求解與應用.

例2（2024屆湖北省武漢華大新高考聯(lián)盟3月教學質(zhì)量測評）（多選題）若關于自變量x的不等式ex-2+x≥2ax2-xln x在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，則實數(shù)a的值可以是（）.

A.1eB.12C.e3D.2

解析：由ex-2+x≥2ax2-xln x，可得ex-2x+1≥2ax-ln x，則ex-2eln x+1≥2ax-ln x，即ex-2-ln x+1+ln x≥2ax.

根據(jù)切線不等式，可得ex-2-ln x≥x-2-ln x+1，從而ex-2-ln x+1+ln x≥x.

當2a≤1，即a≤12時，ex-2-ln x+1+ln x≥x≥2ax，即ex-2-ln x+1+ln x≥2ax，此時符合題意.

當agt;12時，2axgt;x.ex-2-ln x+1+ln x=x成立的條件是x-2-ln x=0.易知直線y=x-1與曲線y=ln x相切，所以直線y=x-2與曲線y=ln x有兩個交點，即存在x，使得x-2-ln x=0，從而ex-2-ln x+1+ln x=x成立，也就是存在x，使得2axgt;ex-2-ln x+1+ln x，此時不符合題意.

綜上分析，可知實數(shù)a的取值范圍是-∞，12.

故選擇答案：AB.

點評：該問題的實質(zhì)是確定實數(shù)a的取值范圍，以多選題的形式來巧妙創(chuàng)設與應用.該問題中，利用切線不等式ex≥x+1“以直代曲”，恒等變形（同構），使過程與步驟更加簡化，事半功倍！

3 大小比較問題

在一些涉及指數(shù)式或?qū)?shù)式的代數(shù)式的大小比較與判斷問題時，往往結合兩代數(shù)式的結構特征與形式加以合理恒等變化，直接利用相應的切線不等式來合理放縮與巧妙轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)代數(shù)式大小的比較與判斷.

例3設a=10.99，b=e0.01，c=1.02，則（）.

A.agt;bgt;cB.bgt;cgt;aC.bgt;agt;cD.cgt;bgt;a

解析：根據(jù)指數(shù)切線不等式“ex≥x+1，當且僅當x=0時等號成立”，則可得b=e0.01gt;0.01+1=1.01=1.012=1.020 1gt;1.02=c.將指數(shù)切線不等式中的x替換為-x，于是可得e-x≥-x+1，即1ex≥1-x.當xlt;1時，結合不等式的性質(zhì)有ex≤11-x，則b=e0.01lt;11-0.01=10.99=a.

綜上分析，可得agt;bgt;c.

故選擇答案：A.

點評：根據(jù)題目條件，合理聯(lián)想，借助切線不等式“ex≥x+1，當且僅當x=0時等號成立”，通過結論或變式等不同形式來轉(zhuǎn)化與應用，從而確定對應的大小關系.

4 從切線不等式到曲線不等式

從前面的切線不等式來看，當涉及放縮精度較高的問題時，通常需要進一步利用曲線不等式來解決.

例4（四川省南充市高2024屆一診考試）已知函數(shù)f（x）=ln x-2x+2-m（0lt;mlt;3）有兩個不同的零點x1，x2（x1lt;x2），下列關于x1，x2的說法，正確的有（）個.

①x2x1lt;e2m；②x1gt;2m+2；

③em3lt;x2lt;33-m；④x1x2gt;1.

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：借助不等式1-1x≤ln x，可得3-3x≤ln x-2x+2≤3ln x，記φ（x）=3-3x，g（x）=ln x-2x+2，h（x）=3ln x，然后作出三者的圖象即可求解.如圖1所示.

（說明：|φ（x）|以y=3為漸近線，故此題中限制了0lt;mlt;3.）

作直線y=m（0lt;mlt;3）分別與上圖三個函數(shù)圖象從左至右交于A，B，C，D，E，F(xiàn)六點，易得：點Ae-m3，m，B（x1，m），C3m+3，m，Dem3，m，E（x2，m），F(xiàn)33-m，m.

此題就很容易求解了.

點評：以學生較熟悉的切線不等式放縮和切線夾逼為基礎，從y=|ln x|及不等式ln x≥1-1x入手，利用放縮、夾逼融合而成.“曲線放縮，曲線夾逼”可實現(xiàn)超越不可解到超越可解或有理可解的轉(zhuǎn)化.其實，指數(shù)切線不等式ex≥x+1（當且僅當x=0時等號成立）或?qū)?shù)切線不等式ln x≤x-1（當且僅當x=1時等號成立）及l(fā)n x≥1-1x（當且僅當x=1時等號成立）等相應的“二級結論”的巧妙應用，是基于函數(shù)與導數(shù)綜合應用的產(chǎn)物，也是對知識應用的提升與升華，進而在學習與解題過程中不斷加以總結與巧妙應用的一些基本知識點.熟練運用切線不等式、曲線不等式，能撥開“以直代曲、以曲代曲”的本質(zhì)，有助于更好地理解合理放縮之妙手，少算多思，提升數(shù)學品質(zhì)與數(shù)學核心素養(yǎng).