立體幾何中的空間角，主要包括異面直線所成的角、直線和平面所成的角及平面與平面的夾角（二面角）這三種，是全面集中考查考生的空間想象能力與數學運算能力等的重要場景，歷來為高考命題者青睞，是高考數學命題中的必考考點之一.而合理通過空間直角坐標系的建立，借助空間向量法的巧妙應用，化“形”為“數”，數形結合，可以有效化繁雜的邏輯推理為簡便的數學運算，成為解決立體幾何中的空間角問題比較常見的技巧、方法之一.

1 異面直線所成的角

例1（2024年河北省衡水市高考數學模擬試卷）在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱AB，AD，AA1兩兩夾角都為60°，且AB=2，AD=1，AA1=2，M，N分別為BB1，B1C1的中點，則MN與AC所成角的余弦值為.

解析：如圖1所示，由題意可得AC=AB+AD，MN=MB1+B1N=12（AA1+AD）.

所以|AC|2=（AB+AD）2=AB2+AD2+2AB·AD=22+12+2×2×1×cos 60°=7，|MN|2=14（AA1+AD）2=14（AA12+AD2+2AA1·AD）=14×22+14×12+14×2×2×1×cos 60°=74.

又AC·MN=12（AB+AD）·（AA1+AD）=12（AB·AA1+AB·AD+AD·AA1+AD2）=12×［（2×2+2×1+1×2）cos 60°+12］=52.

設MN與AC所成的角為θ，則

cos θ=|cos〈AC，MN〉|=|AC·MN||AC||MN|=527×72=57.

因此MN與AC所成角的余弦值為57.

故填答案：57.

點評：借助向量法求解異面直線所成的角時，與平面向量中相關向量的夾角求解一致，利用數量積公式加以轉化與求解，實現線線夾角的分析與求解.要注意向量的夾角與異面直線所成的角之間的關系，合理加以分析與取舍.

2 直線與平面所成的角

例2（2024年山東省濰坊市高考數學模擬試卷）如圖2，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，AD=PD=2，CD=1，PC=5，點E為棱PC上的點，且BC⊥DE.

（1）證明：AD⊥PD；

（2）若PECE=2，求直線DE與平面PBC所成角的正弦值.

（1）證明：因為由四邊形ABCD為矩形，所以可得BC⊥CD.

又因為BC⊥DE，DE∩CD=D，CD，DE平面PCD，所以BC⊥平面PCD.

又AD∥BC，所以AD⊥平面PCD.又PD平面PCD，故AD⊥PD.

（2）解：在△PCD中，PC2=PD2+CD2，所以PD⊥CD.又PD⊥AD，CD∩AD=D，CD，AD平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD.以C為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖3.

由題意，可知C（0，0，0），B（0，2，0），A（1，2，0），D（1，0，0），P（1，0，2），則

CP=（1，0，2），CB=（0，2，0）.

由PECE=2，得E13，0，23，則DE=-23，0，23.

設平面PBC的法向量為n=（x，y，z），則有CBn=2y=0，

CPn=x+2z=0，解得y=0.令x=-2，得z=1，此時n=（-2，0，1）.

設直線DE與平面PBC所成角為θ，可知sin θ=|cos〈DE，n〉|=43+23223×5=31010，即所求角的正弦值為31010.

點評：借助向量法求解直線與平面所成的角時，解決問題的一般有4個基本步驟.（1）建坐標系.根據圖形與已知條件，構建適當的空間直角坐標系.（2）求法向量.設直線AB與平面α所成的角為θ，求平面α的法向量n與直線AB的方向向量AB.（3）用公式.求cos〈AB，n〉=AB·n|AB||n|.（4）得出結論.利用sin θ=|cos 〈AB，n〉|來合理數學運算與巧妙轉化.特別要注意線面角取值范圍的限制及線面角中對應三角函數值之間的關系與轉化等.

3 平面與平面的夾角（二面角）

例3（2024年河南省許昌市襄城縣高考數學模擬試卷）如圖4所示，已知等腰梯形ABCD，E為以BC為直徑的半圓弧上一點，平面ABCD⊥平面BCE，O，M分別為BC，CE的中點，且有BE=AB=AD=DC=2，BC=4.

（1）求證：DM∥平面ABE；

（2）求平面ABE與平面DCE夾角的余弦值.

（1）略.

（2）解：取AD的中點F，連接OF，利用等腰梯形ABCD的性質，可知OF⊥BC.又平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，OF平面ABCD，所以OF⊥平面BCE.

在平面BEC內，過點O作BC的垂線OG，連接EO.

以O為坐標原點建立如圖5所示的空間直角坐標系.

由BC為直徑，BE=12BC，得∠BCE=30°，∠BOE=60°，∠EOG=30°.

在等腰梯形ABCD中，由于AB=AD=DC=2，BC=4，可得OF=3.

易得點E（3，-1，0），C（0，2，0），D（0，1，3），B（0，-2，0），A（0，-1，3）.

所以CE=（3，-3，0），CD=（0，-1，3），BE=（3，1，0），BA=（0，1，3）.

設平面DCE的法向量為m=（x，y，z）.

由m·CE=0，

m·CD=0，可得3x-3y=0，

-y+3z=0.

令y=3，則x=3，z=1.

所以m=（3，3，1）.

設平面ABE的法向量為n=（a，b，c）.

則n·BE=0，

n·BA=0，所以3a+b=0，

b+3c=0.

令b=-3，則a=1，c=1.所以n=（1，-3，1）.

設平面ABE與平面DCE的夾角為α.則cos α=|cos 〈m，n〉|=|m·n||m||n|=113×5=6565.

所以，平面ABE與平面DCE夾角的余弦值為6565.

點評：借助向量法求解平面與平面的夾角（二面角）時，對應的求解思維主要是尋找二面角的兩個半平面的法向量，或尋找與棱垂直的直線的方向向量，化幾何為代數，借助向量運算來分析，并結合數量積公式來巧妙轉化與運算，實現幾何場景下對應的面面夾角問題的解決.這里要注意兩個易錯點.（1）二面角的范圍是［0，π］，要結合圖形判斷取銳角還是鈍角；（2）平面與平面的夾角的范圍是0，π2，兩個平面法向量夾角的余弦值的絕對值為平面與平面夾角的余弦值.

其實，在求解立體幾何中的線線、線面與面面之類空間角問題時，巧妙通過空間直角坐標系的建立，借助空間向量的坐標運算、數量積等來轉化與求解，成為解決空間角問題時最為常用的一種技巧、方法.當然，還可以借助幾何法等技巧、方法來邏輯推理與應用，由于破解方法多變，因此應根據不同題目條件及各人對相關知識的掌握情況加以合理選擇.無論采取何種方法來破解空間角問題，解決問題的關鍵是充分考慮題目條件，通過空間想象、運算求解、邏輯推理等的應用來綜合處理，巧妙運算，合理破解.