圓錐曲線是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，對數(shù)形結(jié)合、數(shù)理思維和推理運(yùn)算等能力要求高，需要有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化與化歸、圖形識(shí)別以及語言與數(shù)式形轉(zhuǎn)換等能力，在求解過程中要注意思維嚴(yán)密，以保證結(jié)果的完備性.近年來，以圓錐曲線第三定義為背景的高考題、模擬題頻繁出現(xiàn).這些題目通常以教材母題為“根”，以能力立意為“魂”，注重知識(shí)的交匯性、滲透性、探究性，展現(xiàn)了圓錐曲線第三定義內(nèi)涵與外延的“來龍去脈”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)公式和結(jié)論的結(jié)構(gòu)美與和諧美，已成為考查學(xué)生關(guān)鍵能力的重要載體.

1 教學(xué)探源

1.1 回歸教材

例1（人教A版選擇性必修第一冊第108頁例3）如圖1，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-49，求點(diǎn)M的軌跡方程.

解析：設(shè)點(diǎn)M（x，y），則直線AM，BM的斜率分別為kAM=yx+5，kBM=yx-5（x≠±5）.由已知得kAM·kBM=yx+5×yx-5=-49（x≠±5），化簡得點(diǎn)M的軌跡方程為x225+y21009=1（x≠±5）.所以點(diǎn)M的軌跡是除去（-5，0），（5，0）兩點(diǎn)的橢圓.

學(xué)生在分析、討論的基礎(chǔ)上自主完成，教師適時(shí)提醒注意檢驗(yàn)方程與曲線之間是否等價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解橢圓的第一定義（距離和）、第二定義（距離比），掌握其標(biāo)準(zhǔn)方程，深化學(xué)生對求曲線方程的方法及橢圓幾何特征的再認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)方法的內(nèi)化.

1.2 歸納探究

在例1的基礎(chǔ)上，分類研究兩定點(diǎn)在不同位置情形下圓錐曲線上任意一點(diǎn)與這兩定點(diǎn)連線的斜率之積是否為定值？

1.2.1" 探究一：兩定點(diǎn)是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)

如圖2，A，B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上異于A，B的任一點(diǎn)，則有kPA·kPB=.

答案：kPA·kPB=-b2a2=e2-1（是定值，其中e是橢圓的離心率，下同）.

1.2.2 探究二：兩定點(diǎn)是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)

如圖3，A，B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的短軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上異于A，B的任一點(diǎn)，則有kPA·kPB=.

答案：kPA·kPB=-b2a2=e2-1.

思考：長軸、短軸都是經(jīng)過橢圓中心的弦，此結(jié)論能否進(jìn)一步推廣？

1.2.3 探究三：兩定點(diǎn)關(guān)于橢圓對稱中心對稱

如圖4，A，B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，當(dāng)PA，PB的斜率都存在時(shí)，則有kPA·kPB=.

答案：kPA·kPB=-b2a2=e2-1.

1.2.4 探究四：橢圓垂徑定理

如圖5，已知直線l與橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）相交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且kAB，kOM都存在，則有kAB·kOM=.

答案：kAB·kOM=-b2a2=e2-1.

1.2.5 歸類總結(jié)

如圖6，橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上的任意一點(diǎn)P，當(dāng)kPA，kPB都存在時(shí)，總滿足kPA·kPB=-b2a2=e2-1，其中點(diǎn)A，B關(guān)于中心O對稱.當(dāng)橢圓變?yōu)閳A時(shí)e=0，kPA·kPB=-1，此時(shí)P′A′⊥P′B′，對應(yīng)著圓周角定理.

如圖7，在橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）中當(dāng)M為弦AB的中點(diǎn)時(shí)，總有kAB·kOM=-b2a2=e2-1.當(dāng)橢圓變?yōu)閳A時(shí)，e=0，kAB·kOM=-1，此時(shí)A′B′⊥O′M′，對應(yīng)著圓垂徑定理.

當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，類比上述探究，可得到如下結(jié)論：A，B是橢圓C：y2a2+x2b2=1（agt;bgt;0）的長軸（或短軸）兩端點(diǎn)或是關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，當(dāng)PA，PB的斜率都存在時(shí)，總有kPA·kPB=-a2b2=1e2-1，是一個(gè)定值.2 拓展延伸

2.1 延申一：與兩定點(diǎn)連線的斜率之積為正數(shù)的點(diǎn)的軌跡

例2（人教A版選擇性必修第一冊第121頁探究）如圖8，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是49，試求點(diǎn)M的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀，與例1比較有什么發(fā)現(xiàn)？

例2與例1的學(xué)習(xí)目標(biāo)相呼應(yīng)，既能強(qiáng)化對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求法的理解，又能引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的方法，將學(xué)習(xí)橢圓的方法正遷移到學(xué)習(xí)雙曲線的知識(shí)中，為后面統(tǒng)一認(rèn)識(shí)圓錐曲線第三定義埋下伏筆.這對于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的學(xué)習(xí)起到很好的指導(dǎo)與鞏固作用.

2.2 延申二：雙曲線中的周角定理和垂徑定理

如圖91，A，B是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的實(shí)軸（或虛軸）兩端點(diǎn)或是關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，P是C上異于A，B的任一點(diǎn)，當(dāng)kPA，kPB都存在時(shí)，則有kPA·kPB=b2a2=e2-1；如圖92，若雙曲線的方程為C：y2a2-x2b2=1（agt;0，bgt;0），則有kPA·kPB=a2b2=1e2-1.

如圖101，A，B是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的實(shí)軸（或虛軸）兩端點(diǎn)或是關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，當(dāng)kAB，kOP都存在時(shí)，則有kAB·kOP=b2a2=e2-1；如圖102，若雙曲線的方程為C：y2a2-x2b2=1（agt;0，bgt;0），則有kAB·kOP=a2b2=1e2-1.

2.3 延申三：拋物線中的相關(guān)結(jié)論

如圖111，A，B是拋物線C：y2=2px（pgt;0）上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，P（xP，yP）是AB的中點(diǎn)，當(dāng)kAB存在時(shí)，則有kAB·yP=p；如圖112，若拋物線的方程為C：x2=2py（pgt;0），則有pkAB=xP.

3 整合提升

3.1 教材整合：一組同質(zhì)練習(xí)群

練習(xí)1（人教A版選擇性必修第一冊第109頁練習(xí)第4題）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2，點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？

練習(xí)2（人教A版選擇性必修第一冊第126頁練習(xí)第1題）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-6，0），（6，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是29，求點(diǎn)M的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀.

練習(xí)3（人教A版選擇性必修第一冊第139頁習(xí)題3.3第11題）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是2，求點(diǎn)M的軌跡.

練習(xí)4（人教A版選擇性必修第一冊第145頁復(fù)習(xí)參考題3第9題）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之和是2，求點(diǎn)M的軌跡方程.

練習(xí)5（人教A版選擇性必修第一冊第146頁復(fù)習(xí)參考題3第11題）已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），且直線AC，BC的斜率之積等于m（m≠0），求頂點(diǎn)C的軌跡.

教材安排這一組練習(xí)，就是為了鞏固求曲線方程的方法和步驟，引導(dǎo)學(xué)生通過自主推演、類比探究提煉出三類基本結(jié)論：一是“平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線的斜率之和、差、積、商為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是二次曲線”；二是當(dāng)給定的兩點(diǎn)是圓錐曲線上關(guān)于中心對稱的點(diǎn)時(shí)，曲線上異于這兩點(diǎn)的點(diǎn)與這兩點(diǎn)的連線的斜率之積是一個(gè)常數(shù)；三是圓錐曲線中均存在著垂徑定理.

3.2 定形判斷：圓錐曲線第三定義

平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)A1（-a，0），A2（a，0）（或A1（0，-a），A2（0，a））的連線的斜率之積等于常數(shù)m=e2-1的點(diǎn)的軌跡為橢圓或雙曲線或圓（A，B兩點(diǎn)除外）.其中兩定點(diǎn)為橢圓或雙曲線的頂點(diǎn)，e是其離心率.當(dāng)0lt;elt;1時(shí)，為橢圓；當(dāng)egt;1時(shí)，為雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)，為拋物線.常見形式如圖12所示.

3.3 統(tǒng)一形式：橢圓或雙曲線的周角定理

A，B是曲線C：x2m+y2n=1（mn≠0）上關(guān)于中心對稱的任意兩點(diǎn)，P是曲線C上異于A，B的任一點(diǎn)，且kPA，kPB都存在，則有kPA·kPB=-nm.

4 教學(xué)反思

4.1 注重教材本源，落實(shí)“三會(huì)”“四基”“四能”

高考命題以教材及課標(biāo)為依據(jù)，每道題在課標(biāo)中都能找到對應(yīng)的考點(diǎn)，從題目題意、描述、問題設(shè)置到解答過程，甚至包括字母順序、符號(hào)以及標(biāo)點(diǎn)等細(xì)節(jié)，都要能夠在教材處找到援引.新教材中涉獵許多拓廣探索問題，能很好體現(xiàn)新課標(biāo)理念的開放性和發(fā)展性，是具有一定的應(yīng)用性、探索性的教學(xué)資源.新教材也提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)、思想方法的融合互通，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)整體的理解.課標(biāo)各層級(jí)內(nèi)容都要覆蓋到高考試卷之中，因此，高考備考要圍繞課本主干知識(shí)主線，聚焦對重要概念、知識(shí)規(guī)律、思想方法的理解與應(yīng)用.回歸教材、研讀課標(biāo)、夯實(shí)基礎(chǔ)、強(qiáng)化三會(huì)是備考密鑰.

4.2 重視通性通法，強(qiáng)化“教考評(píng)”一體化

研究新課標(biāo)，鉆研新教材，由課堂的一個(gè)亮點(diǎn)生發(fā)成一種課堂理念.本節(jié)課從教材例題、習(xí)題出發(fā)，深入探究圓錐曲線第三定義、中點(diǎn)弦問題等微專題知識(shí)，以及點(diǎn)差法、韋達(dá)定理等思想方法，總結(jié)解析幾何中常見的二級(jí)結(jié)論，靈活應(yīng)用于高考選填題中，既能幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高問題拓展、分析與解決能力，建構(gòu)單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，又能幫助學(xué)生積累和完善基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)理性精神和創(chuàng)新品質(zhì).

4.3 融合課程思政，培育學(xué)科核心素養(yǎng)

從課本例題、習(xí)題出發(fā)，通過知識(shí)的學(xué)習(xí)、探究、拓展，培養(yǎng)學(xué)生完備、細(xì)致、全面的思維品質(zhì)，彰顯數(shù)學(xué)育人的德育價(jià)值[1].數(shù)學(xué)教學(xué)中融入課程思政，能養(yǎng)正學(xué)生家國情懷，提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)、人文品質(zhì)、藝術(shù)修養(yǎng)和實(shí)踐能力.數(shù)學(xué)是培養(yǎng)理性思維、科學(xué)精神和創(chuàng)新能力的重要學(xué)科，給學(xué)生的合作探究學(xué)習(xí)提供了更大思考維數(shù)和自由度，讓學(xué)生在正確思想觀念和科學(xué)知識(shí)方法的引領(lǐng)下，在開放的綜合情境中創(chuàng)造性地解決問題，再形成創(chuàng)造性的結(jié)果，體悟數(shù)學(xué)美的神韻、思的藝術(shù)和辨的能力[2].

4.4 發(fā)展理性思維，鍛造終身學(xué)習(xí)能力

學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的核心就是具有好奇心、專注力、問題解決力、堅(jiān)持力、合作力、溝通力等學(xué)習(xí)品質(zhì).通過揭示學(xué)習(xí)的本質(zhì)、元認(rèn)知和腦機(jī)制基礎(chǔ)，重視情境創(chuàng)設(shè)，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)興趣和內(nèi)部學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；開展跨數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)踐與項(xiàng)目化學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)以致用的能力；優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，開展自主學(xué)習(xí)和小組合作，重視課堂質(zhì)疑與展示交流；強(qiáng)化技術(shù)融合，借助人工智能與大數(shù)據(jù)開展差異化教學(xué)，實(shí)現(xiàn)個(gè)性化發(fā)展；推進(jìn)激勵(lì)評(píng)價(jià)，營造支持性、挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)環(huán)境，鼓勵(lì)從不同角度思考問題，從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思維、提升學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)科素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]孔祥士.用數(shù)學(xué)思想方法支撐高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（24）：3738.

[2]馮愛龍.探析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的德育融合[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（19）：35.