【摘要】為了準確估計不同溫度下電池參數、荷電狀態(tài)及功率狀態(tài)，提出基于自適應遺忘因子的遞推最小二乘法聯合自適應擴展卡爾曼濾波算法。通過實時校正、更新參數，提升電池參數辨識和荷電狀態(tài)估計的精度；以模型端電壓辨識結果、荷電狀態(tài)估計結果及電池最大放電電流為約束，實現電池功率狀態(tài)聯合估計。試驗結果表明：動態(tài)應力測試工況下，辨識電壓最大絕對誤差和荷電狀態(tài)最大絕對誤差結果分別為62.699 mV和1.894%；當持續(xù)放電時間為5 s、30 s和120 s時，電池功率的平均誤差分別為5.6×10-3 W、6.5×10-3 W及8.0×10-3 W，所提出的自適應聯合估計算法可有效提高參數辨識和狀態(tài)估計的精度。

主題詞：鋰離子電池 自適應遺忘因子遞推最小二乘法 自適應擴展卡爾曼濾波 在線參數辨識 聯合估計

中圖分類號：U469.72" "文獻標志碼：A" "DOI： 10.19620/j.cnki.1000-3703.20231131

Adaptive Multistate Combined Estimation for Lithium-Ion Battery

at Different Temperatures

Wang Zhongwei1， Yang Kun1， Ma Chao1， Wang Jilei2， Wang Jie1

（1. Shandong University of Technology， Zibo 255000; 2. Changchun Automotive Test Center Co.， Ltd.， Changchun 130013）

【Abstract】In order to accurately estimate the battery parameters， state of charge and power state at different temperatures， a recursive least squares method combined with adaptive extended Kalman filter algorithm based on adaptive forgetting factor is proposed. By correcting and updating parameters in real time， the accuracy of battery parameter identification and state-of-charge estimation is improved. Based on the constraints of the model terminal voltage identification results， the state-of-charge estimation results and the maximum discharge current of the battery， the joint estimation of the battery power state is realized. The test results show that the maximum absolute error of the identification voltage and the maximum absolute error of the state of charge are 62.699 mV and 1.894%， respectively under the dynamic stress test condition. When the continuous discharge time is 5 s， 30 s and 120 s， the average error of battery power is 5.6×10-3 W， 6.5×10-3 W and 8.0×10-3 W， respectively. The proposed adaptive joint estimation algorithm can improve the accuracy of parameter identification and state estimation effectively.

Key words： Lithium-ion battery， Adaptive Forgetting Factor Recursive Least Squares， Adaptive Extended Kalman Filter， Online parameter identification， Combined estimation

【引用格式】 王中偉， 楊坤， 馬超， 等. 不同溫度下鋰離子電池自適應多狀態(tài)聯合估計[J]. 汽車技術， 2025（4）： 20-31.

WANG Z W， YANG K， MA C， et al. Adaptive Multistate Combined Estimation for Lithium-Ion Battery at Different Temperatures[J]. Automobile Technology， 2025（4）： 20-31.

1 前言

作為電動汽車的主要能量源之一，鋰離子電池具有能量密度高、循環(huán)壽命長及無記憶效應等優(yōu)點。電池管理系統(tǒng)（Battery Management System，BMS）是保證鋰離子電池安全高效工作的核心組件，其主要功能包括電池參數辨識、荷電狀態(tài)（State Of Charge，SOC）估計和功率狀態(tài)（State Of Power，SOP）估計[1]。由于電動汽車運行工況復雜多變，容易對電池內部化學反應造成影響，電池參數辨識是BMS安全運行的關鍵要素[2]；SOC估計不僅能夠預測車輛剩余行駛里程，還可為下一時刻的參數辨識、SOP等狀態(tài)估計提供依據[3]；SOP反映了短期預測窗口內電池的峰值功率，能夠滿足電動汽車巡航、再生制動等工況的功率需求[4-5]。因此，建立反映電池內部參數、SOC和SOP耦合關系的動力電池模型[6]，并設計聯合估計算法成為電池狀態(tài)估計領域的研究熱點。

等效電路模型結構簡單、精度高，常用于電池多狀態(tài)聯合估計。Chen等[7]使用定遺忘因子遞推最小二乘（Forgetting Factor Recursive Least Square， FFRLS）算法對電池的歐姆內阻、極化內阻、極化電容和端電壓進行辨識，同時，將在線參數辨識算法和SOP估計算法應用于等效電路模型，模型端電壓最大預測誤差小于15 mV。Guo等[8]基于Thevenin模型搭建鋰離子電池在線SOC與SOP協同估計框架，采用雙卡爾曼濾波算法對其進行估計，建立瞬時峰值功率在預測窗口下的多約束條件，SOC估計的平均誤差為1.32%，瞬時峰值功率的平均誤差低至0.288 W。Li等[9]建立了SOC、SOP和電池可用容量協同估計框架，通過3個卡爾曼濾波器估計SOC，以容量和內阻為約束估計SOP，并在25 ℃和40 ℃環(huán)境中驗證了該框架的可靠性。Long等[10]提出一種M-1結構的雙向長短時記憶神經網絡算法，并基于SOC估計結果、電路模型和電池放電電流實現SOP估計。

由于電池實際工作易受到溫度、工況變化等因素影響，且電池參數、荷電狀態(tài)和功率狀態(tài)間存在耦合關系，單一的狀態(tài)估計無法兼顧估計精度和計算耗時。因此，為了提高估計精度并降低計算時間，本文提出一種基于自適應遺忘因子遞推最小二乘法（Adaptive Forgetting Factor Recursive Least Squares，AFFRLS）聯合自適應擴展卡爾曼濾波（Adaptive Extended Kalman Filter，AEKF）算法進行參數辨識和SOC估計，同時，基于模型端電壓辨識結果、SOC估計結果及電池最大放電電流完成SOP聯合估計。最后，在不同溫度、工況下驗證本文方案對鋰離子電池的估計精度和可靠性。

2 電池模型及在線參數辨識

2.1 電池模型

戴維寧（Thevenin）等效電路如圖1所示，主要由開路電壓Uoc、歐姆內阻R0、極化內阻Rs和極化電容Cs組成。其中，R0反映電池充/放電時的瞬態(tài)響應，Rs、Cs反映電池充/放電期間和充/放電結束后遲滯效應期間的響應。

根據基爾霍夫定律，Thevenin等效電路模型可表示為：

[Ub=Uoc-Us-ibR0Us=-UsRsCs+ibCs] （1）

式中：Ub為電池端電壓，Us為模擬電池的極化電壓（RC回路電壓降），ib為電流。

2.2 開路電壓-SOC-溫度曲線擬合

由于SOC無法直接測量，而且電池中電荷轉移速率及化學反應活性受溫度T的影響較大，所以需要建立電池參數與SOC間關系，通過擬合法得到開路電壓-SOC-溫度關系式[11]，從而進行電池參數辨識與狀態(tài)估計。其中，電池開路電壓（Open Circuit Voltage，OCV）、溫度均可由實際測量獲得[12]。具體步驟如下：

a. 電池采用恒流充電方式，達到充電終止電壓時，轉為恒壓充電。當充電電流降至0.05 C時，停止充電，電池靜置1 h。

b. 首先，以0.5 C放電電流使電池放電12 min后，靜置100 min；再使用安時積分法計算當前時刻的SOC；重復上述步驟，直至達到截止電壓。

c. 獲取不同溫度下的電池放電數據。

電池以低倍率放電，試驗過程中設置靜置時間，能夠緩解電池的遲滯效應對OCV的影響。通過上述步驟采集并處理數據，得到開路電壓-SOC-溫度的五次多項式：

[f（x，y）=2.307+14.85x-6.617×10-3y-73.64x2-1.8×10-3xy+2.53×10-4y2+169.2x3+6.895×10-2x2y-1.397×10-3xy2-178.3x4-0.232 3x3y+4.1×10-3x2y2+70.77x5+0.211x4y-3.576×10-3x3y2]" （2）

式中：f （x，y）為開路電壓函數，x為SOC，y為溫度。

擬合公式的決定系數R2=0.995 4，其值越接近1，表示擬合精度越高。

2.3 在線參數辨識

在線參數辨識根據實時采集的電流、電壓和溫度等數據對電池參數進行實時辨識，其結果的精度反映了電池狀態(tài)估計的準確性及電池管理的有效性[13]。

作為常用的在線參數辨識方法，遞推最小二乘法通過定期對參數進行校正，有效克服外部環(huán)境對模型參數的影響，但該方法極易出現數據飽和現象[14]。鑒于電池是一個慢性時變系統(tǒng)，定遺忘因子無法準確表達電池各時刻變化，因此，可在遞推最小二乘算法中引入自適應遺忘因子完成在線參數辨識，提高辨識結果的可靠性。

將Thevenin等效電路模型轉化成最小二乘形式，對公式（1）進行拉氏變換，可得：

[Uoc=RsRsCss+1ib+ibR0+Ub] （3）

令τ=RsCs、a=R0+Rs、b=τR0、c=τ、s=（Xk-Xk-1）/Δt，其中，Δt為時間間隔（通常為1 s），整理可得：

[Uoc，k-Ub，k=cΔt+c（Uoc，k-1-Ub，k-1）+aΔt+bΔt+cib，k-bΔt+cib，k-1]

（4）

令待定系數d1、d2和d3分別為：

[d1=cΔt+cd2=aΔt+bΔt+cd3=-bΔt+c] （5）

結合式（3）～式（5），k時刻電池的端電壓為[Ub，k=（1-d1）Uoc，k+d1Ub，k-1-d2ib，k-d3ib，k-1]。將其轉化為向量形式，得到：

[?k=[1" " Ub，k-1" " ib，k" " ib，k-1]θk=[（1-d1）Uoc，k" " d1" " -d2" " -d3]T] （6）

式中：[?k]為數據變量，θk為參數變量。

為了減少環(huán)境因素、傳感器精度對電池模型的影響，在電池的數學模型中加入噪聲影響因子εk，得到：

[Ub，k=?kθk+εk] （7）

式中：εk為零均值高斯白噪聲。

此時，電池的參數解析式可表示為：

[Uoc，k=θk[1]（1-θk[2]）R0=-θk[4]θk[2]τk=θk[2]Δt（1-θk[2]）Rs=-（θk[3]+θk[4]）（1-θk[2]）-R0] （8）

為了消除舊數據的影響，通過在遞推最小二乘算法中加入自適應遺忘因子，得到帶自適應遺忘因子的遞推最小二乘法的表達式為：

[eχk=yk-?kθk-1θk=θk-1+KχkeχkKχk=（Pk?Tk）/（λk-1+?kTPk-1?k）Pk=（Pk-1-Kχk?TkPk-1）/λk-1λk=λmax-（1-λmin）2rkrk=1Mi=k-M+1keχi（eχi）T] （9）

式中：[eχk]為當前時刻電壓的測量值與估計值誤差，yk為當前時刻的系統(tǒng)輸出變量，[θk]為當前時刻的參數估計值，[Kχk]為當前時刻的系統(tǒng)增益，Pk為當前時刻的協方差矩陣，λk為當前時刻的遺忘因子，λmax、λmin分別為最大和最小遺忘因子，rk為當前時刻遺忘因子的誤差系數，M為窗口大小。

3 電池狀態(tài)聯合估計

3.1 基于AEKF算法的SOC估計

在實際測量電池的電壓、電流及溫度時，測量值易受傳感器精度、環(huán)境噪聲以及測量噪聲等因素干擾。而在電池狀態(tài)估計中，常利用擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）使非線性系統(tǒng)線性化，且該算法需要假設噪聲不變，這與電池復雜的運行工況不相符[15]。因此，通過噪聲信息協方差匹配算法，確保噪聲特性隨著估計結果進行自適應更新，可有效解決EKF算法中的噪聲問題。自適應擴展卡爾曼濾波算法的具體過程如下：

a. 建立非線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程與觀測方程：

[xk=f（xk-1，uk-1）+ωk-1≈Ak-1xk-1+Bk-1+ωk-1yk=h（xk，uk）+vk≈Ckxk+Dk+vk] （10）

式中：[xk]為系統(tǒng)當前時刻的狀態(tài)，uk為系統(tǒng)當前時刻的輸入，[yk]為系統(tǒng)當前時刻的觀測值，f （xk-1， uk-1）、h（xk， uk）為系統(tǒng)狀態(tài)函數和觀測函數，A、B、C、D分別為狀態(tài)轉移矩陣、輸入控制矩陣、系統(tǒng)測量矩陣和線性化系數矩陣，ωk、[vk]分別為均值為零的過程噪聲和測量噪聲。

b. 設置狀態(tài)觀測器的初始值。

c. 先驗狀態(tài)預估。將狀態(tài)變量和誤差協方差從上一時刻的真實值更新為當前時刻的預測值，更新后的表達式為：

[x-k=Ak-1xk-1+Bk-1uk-1+ωk-1P-k=Ak-1Pk-1ATk-1+Wk-1] （11）

式中：[x-k]、[P-k]分別為當前時刻的狀態(tài)先驗估計和誤差協方差先驗估計，xk-1、Pk-1分別為上一時刻的狀態(tài)和誤差協方差，[Wk-1]為[ωk-1]的協方差矩陣。

d. 后驗估計修正，即從當前時刻的預測值修正為當前時刻的真實值。計算信息誤差[eγk]和卡爾曼增益矩陣[Kγk]，再根據k時刻的觀測值yk校正狀態(tài)估計xk和協方差Pk，得到：

[eγk=yk-h（x-k，uk）Kγk=P-kCTk（CkP-kCTk+Vk）-1x+k=x-k+KkeγkP+k=（I-KkCk）P-k] （12）

式中：[x+k]、[P+k]分別為當前時刻修正后的系統(tǒng)狀態(tài)和誤差協方差，[P-k]為當前時刻的預估誤差協方差，I為單位矩陣。

同時，對噪聲協方差矩陣進行自適應更新：

[Hk=1Mi=k-M+1keγi（eγi）TVk=Hk-CkP-kCTkWk=KkHkKTk] （13）

式中：[Hk]為噪聲自適應修正因子，[Vk]為[vk]的協方差矩陣。

e. 輸出修正后k時刻的狀態(tài)和協方差矩陣，同時計算（k+1）時刻的狀態(tài)估計。

獲得電池參數后，根據電壓、電流、容量及SOC間的關系建立電池空間狀態(tài)方程：

[Uoc=Ub，k+Us，k+ib，kR0Us=-Us，kRsCs+ib，kCsnSOC，k=nSOC，k-1-1Q0t0tηikdt] （14）

式中：nSOC，k為當前時刻的電池SOC，η為電池放電效率，Q0為電池額定容量。

為了便于BMS應用，需將電池狀態(tài)方程進行離散化處理，并考慮RC回路中的零狀態(tài)響應和零輸出響應狀態(tài)。其中，零狀態(tài)響應指電路的初始狀態(tài)為零且存在電流激勵，此時的極化電容的電壓為零，該響應下電池極化電壓為：

[Us，zs=ib，kRs（1-e-Δt/τ）] （15）

零輸出響應指電路中電流為零，此時的RC回路利用電容放電維持工作狀態(tài)，則該響應下電池極化電壓為：

[Us，zi=URs=UCs=ib，kRs=e-Δt/τUs，k-1] （16）

式中：[URs]、[UCs]分別為極化電阻和極化電容電壓。

電池的極化電壓為零狀態(tài)響應和零輸入響應的電壓之和，即：[Us，k=ib，kRs（1-e-Δtτ）+e-Δt/τUs，k-1]。因此，電池空間狀態(tài)方程離散化后的表達式為：

[Ub，k=Uoc（nSOC，k-Tk）-ib，kR0-Us，k] （17）

式中：Uoc（nSOC，k-Tk）為k時刻由開路電壓-SOC-溫度曲線確定的開路電壓。

系統(tǒng)變量設置為[x=[nSOC，kUs，k]T]，則線性函數的表達式為：

[f（xk，uk）=1" " "0 0" "e-Δt/τxk+-1Q0t0tηdtRs（1-e-Δt/τ）uk] （18）

非線性函數的表達式為：

[h（xk，uk）=Uoc（xk[1]）-ib，kR0-xk[2]] （19）

系數矩陣表達式分別為：

[Ak=1" " "0 0" "e-Δt/τBk=-1Q0t0tηdtRs（1-e-Δt/τ）Ck=?Uoc（nSOC，k-Tk）?nSOC，k-1Dk=Uoc（xk[1]）-ib，kR0-xk[2]-Ckxk] （20）

3.2 基于多約束條件的SOP估計

SOP是動力電池在預定時間間隔內持續(xù)釋放/吸收的最大功率。準確估計動力電池峰值功率，可滿足整車的巡航、加速、爬坡及制動等工況的功率需求。

由于電池是一個強耦合、非線性時變系統(tǒng)，電池的實時峰值功率主要受電壓、電流、溫度及SOC等因素的影響。為了保證電池的安全性，需要將工作電流和電壓限制在一定范圍內，以模型端電壓辨識結果、SOC估計結果及電池最大放電電流為約束，對電池持續(xù)峰值放電功率進行實時估計。

基于模型端電壓約束的SOP估計旨在通過模擬電池放電特性，進而計算電池極限放電電流。因此，需要對模型端電壓與電池極限放電電流進行解耦，電池電壓的工作范圍受電池充放電截止電壓限制為[Umin≤Ub≤Umax]，其中，Umin、Umax分別為電池放電和電池充電的截止電壓。在實際運行中，電池持續(xù)放電，不同放電周期內的電池端電壓、電池的持續(xù)峰值放電電流分別為：

[Ub，k+1=Uestoc（nSOC，k-Tk）-iest，Vmax，L[R0+Rs（1-e-（L×Δt）/τ）+L×Δt×ηQ0?Uestoc（nSOC，k-Tk）?nSOC，k]-（e-（L×Δt）/τ）Us，kiest，Vmax，L=Uestoc（nSOC，k-Tk）-（e-（L×Δt）/τ）Us，k-UminR0+Rs（1-e-（L×Δt）/τ）+L×Δt×ηQ0?Uestoc（nSOC，k-Tk）?nSOC，k] （21）

式中：[Uestoc]（nSOC，k-Tk）為k時刻的模型校正后開路電壓，L為放電持續(xù)周期。

根據電池的開路電壓，驗證基于模型端電壓約束的SOP估計的準確性，得到實際電池的持續(xù)峰值放電電流為：

[ireal，Vmax，L=Urealoc（nSOC，k-Tk）-（e-（L×Δt）/τ）Us，k-UminR0+Rs（1-e-（L×Δt）/τ）+L×Δt×ηQ0?Urealoc（nSOC，k-Tk）?nSOC，k]

（22）

式中：[Urealoc]（nSOC，k-Tk）為k時刻的參考開路電壓，由校正前的開路電壓-SOC-溫度關系式確定。

當電池SOC接近最低值時，應降低電池放電電流，避免電池過度放電。在考慮電池SOC約束時，電池的持續(xù)峰值放電電流為：

[iest，socmax，L=nSOC，est，k-nSOC，minL×Δt×ηQ0] （23）

式中：nSOC，est，k為k時刻的SOC估計值，nSOC，min為電池最低SOC放電限制。

基于SOC參考值，電池的持續(xù)峰值放電電流為：

[ireal，socmax，L=nSOC，real，k-nSOC，minL×Δt×ηQ0] （24）

式中：nSOC，real，k為電池SOC參考值，由放電過程中容量的變化確定。

在考慮最大放電電流、端電壓和SOC約束時，電池持續(xù)峰值放電電流估計值和參考值分別為：

[iestmax，bat=min{imax，bat，iest，Vmax，L，iest，socmax，L}irealmax，bat=min{imax，bat，ireal，Vmax，L，ireal，socmax，L}] （25）

式中：[iestmax，bat]、[irealmax，bat]分別為電池持續(xù)峰值放電電流估計值和參考值，imax，bat為電池自身最大放電電流限制。

因此，電池持續(xù)峰值放電功率估計值和參考值分別為：

[Pestmax=Uestb，k×iestmax，batPrealmax=Urealb，k×irealmax，bat] （26）

式中：[Pestmax]、[Prealmax]分別為電池持續(xù)峰值放電功率估計值和參考值，[Uestb，k]、[Urealb，k]分別為電池端電壓估計值和測量值。

3.3 多狀態(tài)聯合估計原理

電池參數辨識和多狀態(tài)聯合估計框架如圖2所示。當電池在不同工況下工作時，傳感器實時采集電池的電壓、電流及溫度；測量端電壓分別輸入至參數辨識單元、SOC觀測器的電壓誤差更新模塊，其中，電壓誤差分別校正電池參數辨識單元中的參數變量和SOC觀測器的狀態(tài)變量；經SOC觀測器校正后，將SOC輸入參數辨識單元與SOP觀測器；參數辨識單元根據校正后的SOC和開路電壓-SOC-溫度關系式得到模型開路電壓，進而在參數辨識單元完成電池參數辨識；SOP觀測器根據校正后的SOC和辨識的端電壓進行SOP估計；將更新后的電池參數重新輸入狀態(tài)觀測器中，再次校正電池狀態(tài)，最終，通過循環(huán)迭代完成電池在線參數辨識和多狀態(tài)聯合估計。

4 試驗驗證與分析

4.1 方案設置

本文以鋰離子電池為研究對象，其主要參數如表1所示。采用圖3所示的動力電池充/放電測試平臺進行試驗，該測試平臺主要包括動力電池充放電系統(tǒng)、工控機、主控軟件、環(huán)境箱、輔助數據采集通道等。將電池單體放置在環(huán)境箱中，根據整車運行工況和充/放電測試項目，通過工控機設置充/放電系統(tǒng)的參數，進而完成電池充/放電測試。

為了驗證聯合估計算法的有效性以及對溫度的適應性，選用動態(tài)應力測試（Dynamic Stress Test，DST）作為1號電池的測試工況，該工況能夠測試電池受到瞬時大電流沖擊及充/放電快速切換的動態(tài)性能[16]。不同溫度下，電池放電電壓和放電電流曲線如圖4所示。

為了驗證聯合估計算法的可靠性，在靜態(tài)工況中對2號電池進行驗證，常溫下（25 ℃）的放電電壓與放電電流曲線如圖5所示。

4.2 DST工況驗證

在DST工況下，參數辨識設置了2個對照試驗：

a. 為了驗證遺忘因子處理數據飽和的能力，在FFRLS算法中，將遺忘因子Fff分別設為0.95和1。

b. 為了對比AFFRLS算法與FFRLS算法辨識的實時效果，同時探究AFFRLS算法中初始因子對辨識準確性的影響，將自適應遺忘因子的初始值Fff，initial分別設為0.95和1。

根據電池參數解析式、開路電壓-SOC-溫度關系式以及辨識算法進行電池參數辨識，不同溫度下，電池的歐姆內阻、極化內阻、極化電容的辨識結果如圖6～圖8所示。

由歐姆內阻和極化內阻辨識結果可知：受初始值影響，在電池放電初期，辨識結果出現較大波動；放電中期辨識結果趨于穩(wěn)定狀態(tài)；在放電末期，由于電池內部反應物質的活性降低，歐姆內阻和極化內阻均增大，導致辨識結果出現波動。結合圖6～圖8結果可知，在不同溫度下，使用無遺忘因子的遞推最小二乘法，電池歐姆內阻、極化內阻和極化電容的辨識結果均出現了數據飽和現象，相反，帶遺忘因子的遞推最小二乘算法未出現該現象，說明在遞推最小二乘算法中加入遺忘因子能夠有效避免數據飽和。

辨識電壓的誤差能夠反映電池參數辨識的準確性，不同溫度下的端電壓誤差結果如圖9所示。

由圖9可知，Fff=0.95、Fff，initial=0.95和Fff，initial=1時電壓辨識誤差均有較高的精度，但Fff，initial=0.95和Fff，initial=1時最大絕對誤差和平均絕對誤差均小于Fff=0.95時的誤差；在AFFRLS算法中，初始因子為0.95和1時，電池的電壓辨識誤差相近，表明AFFRLS算法的辨識結果受初始因子的影響較小，在不同溫度下均能夠有效提高電池參數辨識精度。

為了驗證AFFRLS-AEKF算法的有效性，對比自適應遺忘因子遞推最小二乘法聯合擴展卡爾曼濾波（AFFRLS-EKF）算法、定遺忘因子遞推最小二乘法聯合自適應擴展卡爾曼濾波（FFRLS-AEKF）算法及定遺忘因子遞推最小二乘法聯合擴展卡爾曼濾波（FFRLS-EKF）算法。本文試驗用計算機的處理器為英特爾酷睿i3-9100F，主頻為3.60 GHz，算法基于MATLAB運行。

將電池測試平臺中容量變化作為SOC參考值，不同溫度下，各算法的SOC估計結果及其最大絕對誤差、平均誤差及均方根誤差對比結果如圖10～圖11所示，運行時間如表2所示。結果顯示：各算法在工況前期，SOC估計的絕對誤差相近；但在整個工況下，AFFRLS-AEKF算法通過實時更新遺忘因子和噪聲協方差確保SOC的絕對誤差最小，估計結果更加穩(wěn)定。4種算法的運行時間相近，但在不同溫度下，AFFRLS-AEKF算法的最大絕對誤差低于2%、平均誤差低于0.21%、均方根誤差低于0.1%，各項誤差指標均最小，具有明顯優(yōu)勢。

為了驗證多約束條件下電池功率估計的有效性，將其與雙約束條件進行對比試驗。其中，雙約束條件基于模型端電壓以及電池放電電流限制，模型端電壓僅考慮歐姆內阻的影響。兩種方法持續(xù)峰值放電電流結果如圖12～圖14所示。由于電池放電電流與持續(xù)放電時間相關，為了模擬車輛持續(xù)放電工況，將持續(xù)放電時間分別設置為5 s、30 s及120 s。

由圖12～圖14可知：在多約束條件下，5 s持續(xù)輸出電流主要受模型端電壓和電池最大放電電流限制，其最小輸出電流為5.11 A；持續(xù)放電時間為30 s和120 s時，在放電前、中期的持續(xù)輸出電流受模型端電壓和電池最大放電電流約束，在放電后期受電池SOC約束，電池最小輸出電流分別為3.94 A和2.15 A。在雙約束條件下，5 s、30 s和120 s的持續(xù)輸出電流均受模型端電壓和最大放電電流限制，最小輸出電流分別為6.13 A、4.51 A及2.31 A。隨著持續(xù)放電時間增加，電池持續(xù)放電能力逐漸降低，該結果符合實際情況。

兩種方法功率估計結果如圖15所示，5 s、30 s和120 s的持續(xù)輸出電流下：基于多約束條件的最大功率誤差分別為0.159 W、0.178 W和0.135 W，平均功率誤差分別為5.6×10-3 W、6.5×10-3 W和8.0×10-3 W；基于雙約束條件的最大功率誤差分別為2.89 W、2.74 W和2.66 W，平均功率誤差分別為0.21 W、0.25 W和0.27 W?；陔p約束的功率估計由于未考慮極化內阻和SOC約束，放電末期功率估計結果高于基于多約束條件的功率估計，該工況下基于多約束條件的功率估計效果更好。

4.3 靜態(tài)工況驗證

靜態(tài)工況下，2號電池電壓辨識結果與狀態(tài)聯合估計的結果如圖16所示。端電壓最大絕對誤差為1.75×10-3 V，平均絕對誤差為1.20×10-4 V。

對比不同算法的SOC估計結果及其誤差、計算時間分別如圖17和表3所示。4種算法的計算時間相近，基于AFFRLS-AEKF算法估計SOC的結果更加穩(wěn)定、精度更高，且誤差估計結果均最小，表明該算法更加有效、可靠。

功率估計結果見圖18，放電末期，基于雙約束條件的功率估計結果高于基于多約束條件的功率估計結果。5 s、30 s和120 s的持續(xù)輸出電流下，基于多約束條件的最大功率誤差分別為0.72 W、0.54 W和0.52 W，平均功率誤差分別為0.24 W、0.21 W和0.22 W；基于雙約束條件的最大功率誤差分別為19.69 W、47.72 W和58.47 W，平均功率誤差分別為0.64 W、2.05 W和6.26 W。在不同工況下，基于多約束條件的功率估計仍能保持較高的精度，證明了該方法的有效性和可靠性；同時，進一步驗證聯合估計算法可有效提高參數辨識和SOC估計的估計精度。

5 結束語

本文通過溫度對鋰離子電池狀態(tài)的影響，建立了開路電壓-SOC-溫度曲線，并基于AFFRLS-AEKF聯合估計算法進行了鋰離子參數辨識和SOC估計展開研究，完成了電池歐姆內阻、極化內阻、極化電容和端電壓的準確辨識。同時，以模型端電壓辨識結果、SOC估計結果及電池最大放電電流為約束，實現了電池持續(xù)峰值功率的準確估計，提高了估計結果的精度與可靠性，為確保鋰離子電池安全提供了科學依據。

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（責任編輯 瑞 秋）

修改稿收到日期為2024年3月11日。