摘 要：圖濾波器設(shè)計是圖信號處理領(lǐng)域中一個備受關(guān)注且富有挑戰(zhàn)性的課題。隨著圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的迅速發(fā)展，圖濾波器的設(shè)計變得尤為重要，由于它們能夠有效捕捉圖中節(jié)點之間的復(fù)雜關(guān)系和局部模式，生成更具信息量的節(jié)點從而提升節(jié)點表示的能力，因此在圖數(shù)據(jù)的分析與學(xué)習(xí)中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。圖傅里葉變換和圖小波變換已被嵌入到圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中：圖傅里葉變換能夠提供頻域信息，而圖小波變換則引入了多尺度分析的思想，使濾波器能夠更靈活地適應(yīng)不同尺度上的圖信號特征。研究圖小波變換濾波器，并對Heat kernel、Mexican-hat和Meyer三種濾波器的性能進(jìn)行對比與分析，為基于圖小波變換的圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)濾波器的選擇提供參考依據(jù)。

關(guān)鍵詞：譜圖小波變換；圖濾波器；圖信號處理；圖拉普拉斯矩陣；圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；多尺度分析

中圖分類號：TP391.4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：2095-1302（2025）08-00-05

0 引 言

圖濾波研究已在多個領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，例如多智能體系統(tǒng)[1]、腦網(wǎng)絡(luò)連接分析[2]以及圖像去噪[3-4]等。在圖信號處理中，圖濾波器被定義為對給定圖信號的頻譜中各頻率分量進(jìn)行增強(qiáng)或衰減的操作。圖濾波器主要分為空間域濾波和譜域濾波兩類，本文研究的譜圖小波變換圖濾波器屬于譜域濾波器。隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的快速發(fā)展，研究者們開始將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于圖這一特殊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因此備受關(guān)注。在此背景下，許多研究者致力于探索圖卷積濾波器的研究，而圖的時域卷積通常通過轉(zhuǎn)化為頻域計算來實現(xiàn)。因此，頻域濾波器的選擇尤為重要。

譜圖理論是微分幾何的一個分支，其起源可以追溯到古希臘時期的等周問題（Isoperimetric Problems）。1997年，文獻(xiàn)[5]首次系統(tǒng)性地提出了譜圖理論，使其成為一個相對獨(dú)立的理論領(lǐng)域。該理論的核心思想是通過研究圖的鄰接矩陣、拉普拉斯矩陣等的譜性質(zhì)，深入挖掘圖結(jié)構(gòu)中所蘊(yùn)含的信息。譜圖理論結(jié)合了微分幾何、矩陣分析和線性代數(shù)等方法，在離散與連續(xù)空間之間建立了橋梁。2012年，文獻(xiàn)[6]將雙通道小波濾波器組應(yīng)用于分析任意有限加權(quán)無向圖頂點上定義的函數(shù)。2013年，文獻(xiàn)[7]將傳統(tǒng)離散信號理論推廣到圖信號上，并首次引入了圖濾波器的概念。2015年，文獻(xiàn)[8]提出了自回歸移動平均（ARMA）濾波器。2016年，文獻(xiàn)[9]設(shè)計了一種在譜域中定義的三邊濾波器，這是一種與數(shù)據(jù)相關(guān)的濾波器，用于圖信號去噪。同年，文獻(xiàn)[10]通過引入對離散圖差異的L1范數(shù)懲罰，擴(kuò)展了趨勢濾波器的思想，提出了一系列自適應(yīng)估計器。2017年，Gavili和Zhang定義了一組能量守恒的圖移位算子，并證明了圖的鄰接矩陣相對于這些移位算子是線性移位不變（LSI）的。在此基礎(chǔ)上，他們引入了圖有限脈沖響應(yīng)（GFIR）濾波器和圖無限脈沖響應(yīng)（GIIR）濾波器。此外，文獻(xiàn)[11]利用經(jīng)典的正交鏡像濾波器和線性相位、臨界/過采樣濾波器組構(gòu)造了幾乎緊致的譜圖小波，其濾波函數(shù)為多項式形式，無需進(jìn)行特征分解，適用于大規(guī)模圖濾波。2018年，文獻(xiàn)[12]提出了熱核局部擴(kuò)散方法。2019年，文獻(xiàn)[13]使用圖小波基替代圖傅里葉基，提出了圖小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并利用熱核構(gòu)造了圖數(shù)據(jù)上的低通濾波器。同年，文獻(xiàn)[14]設(shè)計了邊變圖濾波器，該濾波器擴(kuò)展了分布式圖濾波器的功能，允許每個節(jié)點以不同的權(quán)重對鄰居信號進(jìn)行加權(quán)。2020年，文獻(xiàn)[15]提出了一種從多信號/數(shù)據(jù)觀測中聯(lián)合識別圖及基于圖濾波器（圖拉普拉斯矩陣的函數(shù)）的方法，該方法可用于學(xué)習(xí)擴(kuò)散（熱）核。同年，文獻(xiàn)[3]將圖濾波器應(yīng)用于圖像去噪，顯著提升了去噪效果。2021年，文獻(xiàn)[16]提出了頻率濾波嵌入（Frequency Filtering Embedding， FFE）算法，該算法通過濾波函數(shù)對選定頻率進(jìn)行放大或衰減，并利用圖傅里葉變換將圖信號轉(zhuǎn)換到譜域進(jìn)行頻率濾波，以提取圖的特征。同年，文獻(xiàn)[17]對雙通道臨界采樣樣條圖濾波器組（SGFB）進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種基于多項式濾波器的算法，避免了計算圖拉普拉斯矩陣的特征分解，優(yōu)化了分析濾波器在頻譜域中的形狀，降低了計算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[18]提出了分布式非線性多項式圖濾波器（Distributed Nonlinear Polynomial Graph Filter， NPGF），該濾波器基于Hadamard乘積多項式來刻畫系統(tǒng)的非線性輸入輸出關(guān)系，并通過繪制頻率響應(yīng)系數(shù)圖研究了濾波器結(jié)構(gòu)因素對輸出圖譜的影響。2022年，文獻(xiàn)[19]提出了一種基于擴(kuò)展圖的濾波模型，該模型包含兩個并行圖濾波操作：一個操作在原始圖上，其中有向邊指向節(jié)點；另一個操作在擴(kuò)展圖上，其中有向邊從節(jié)點離開。與單一圖濾波器相比，這種設(shè)計能夠更靈活地控制信息在擴(kuò)展圖上的流動，并具有更強(qiáng)的數(shù)學(xué)可處理性。同年，文獻(xiàn)[20]提出了基于環(huán)分解濾波器（Ring-Decomposition-based Filter， RDF）框架，其基本原理是通過添加路徑從環(huán)構(gòu)建2連通圖。實驗表明，該濾波器在去噪和異常值檢測任務(wù)中表現(xiàn)優(yōu)越。2023年，文獻(xiàn)[21]提出了一種新的圖濾波器和基于高階二分圖的多視圖聚類方法。該方法首先對原始數(shù)據(jù)特征空間進(jìn)行圖濾波，然后采用兩步隨機(jī)游走方法構(gòu)建每個視圖的二部圖結(jié)構(gòu)關(guān)系，全面考慮了噪聲特征和復(fù)雜圖結(jié)構(gòu)對結(jié)果的影響，降低了權(quán)重參數(shù)選擇的復(fù)雜性。同年，文獻(xiàn)[22]提出了非線性圖濾波器—中值自回歸圖濾波器（Median Autoregressive Graph Filter， MAF），該濾波器是一階ARMA圖濾波器的擴(kuò)展，具有與線性濾波器類似的局部化特性，并且能夠以分布式方式實現(xiàn)。

在前述研究的啟發(fā)下，本文研究基于譜圖小波變換（Spectral Graph Wavelet Transform， SGWT）的圖濾波器，對Heat kernel、Mexican-hat、Meyer三種濾波器進(jìn)行研究，并對濾波結(jié)果進(jìn)行分析。

1 圖小波變換原理

1.1 圖的定義

首先，定義N個節(jié)點的無向圖G（V， E， X），包括一個節(jié)點集合V，一個節(jié)點集合E和一個節(jié)點屬性集合X。其中X也是圖信號，即圖節(jié)點上信號的值集，屬性矩陣X=[xl]N×k由節(jié)點屬性向量組成。其中xl是第l-th節(jié)點的屬性向量，k為向量的維度（“屬性”和“特征”可以互換使用）。

1.2 圖傅里葉變換

1.3 譜圖小波變換

在給定小波變換的情況下，譜圖小波變換的步驟如下：

（1）通過傅里葉變換將定點域上的圖信號和小波基函數(shù)轉(zhuǎn)換到頻譜域。

（2）利用小波函數(shù)在頻域上的濾波性質(zhì)，對圖傅里葉頻譜域上的圖信號進(jìn)行濾波。

（3）利用圖傅里葉逆變換[23]將濾波結(jié)果重投影回空間域。

2 基于圖小波變換的濾波器

2.1 Heat kernel

2.2 Mexican-hat

2.3 Meyer

3 實驗結(jié)果

Heat kernel 是一種基于熱核函數(shù)的小波濾波器，具有指數(shù)衰減特性。尺度參數(shù)s越大，衰減速度越快，同時 Heat kernel具有低通濾波特性，如圖1所示。通過調(diào)整 Heat kernel的尺度參數(shù)s，可以在不同尺度上捕捉圖中的局部結(jié)構(gòu)，在平滑和去噪任務(wù)中表現(xiàn)出較好的效果。

如圖2所示，Mexican-hat 小波濾波器具有尖峰和谷的小波形狀，在頻域上表現(xiàn)出明顯的帶阻特性。它適用于突出高頻部分，能夠有效捕捉圖中的局部極值和尖峰。Mexican-hat小波濾波器的尺度參數(shù)s的計算公式如下：

Mexican-hat和 Meyer小波濾波器在頻域上具有明顯的帶阻特性，適用于高頻信息的提取。Heat kernel小波濾波器主要用于頻譜平滑的圖結(jié)構(gòu)，能夠較好地保留低頻信息。Meyer小波濾波器和Mexican-hat小波濾波器具有多尺度適應(yīng)性，能夠處理不同尺度上的圖結(jié)構(gòu)。相比之下，Mexican-hat小波濾波器更加局部化。Mexican-hat適用于高頻信息的提取，Heat kernel適用于平滑和去噪，而Meyer則適用于包含多尺度信息的復(fù)雜圖結(jié)構(gòu)。Meyer小波濾波器濾波結(jié)果如圖3所示。

4 結(jié) 語

圖濾波器在圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GCN）中被用于學(xué)習(xí)圖結(jié)構(gòu)中的節(jié)點特征。通過卷積操作，圖濾波器能夠有效捕捉圖中節(jié)點之間的關(guān)系和局部模式，從而生成更具信息量的節(jié)點表示，這對于圖結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的特征學(xué)習(xí)至關(guān)重要。本文專注于圖小波變換濾波器的研究，并對三種不同濾波器的性能進(jìn)行了對比。通過深入分析這些濾波器的特性和效果，我們旨在為基于圖小波變換的圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提供選擇濾波器的參考。這不僅有助于理解圖濾波器的設(shè)計原理，還為未來在圖信號處理領(lǐng)域的進(jìn)一步研究奠定了基礎(chǔ)。這一工作有望為提升圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在復(fù)雜圖結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)中的性能做出重要貢獻(xiàn)[23]。

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