摘"要：三角函數(shù)問題也是函數(shù)問題的一種拓展與應(yīng)用，兩者之間的交匯與融合更是高考中比較常見的基本題型之一.本文結(jié)合一道三角函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定，從不同思維視角切入，通過不同技巧方法來解決，合理拓展變式，歸納總結(jié)規(guī)律，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考．

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；零點(diǎn)；方程；圖象

三角函數(shù)模塊知識作為高中數(shù)學(xué)教材中的一大主干知識，是歷年高考中的重點(diǎn)之一.回歸三角函數(shù)中的函數(shù)本質(zhì)，合理交匯與融合三角函數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系，一直是高考中數(shù)學(xué)試卷命題的一個(gè)熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題，備受各方關(guān)注．

1"問題呈現(xiàn)

問題"（2024年廣東省

六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷第8題）函數(shù)f（x）=sin3x－sin2x在開區(qū)間（－π，2π）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（""）.

A. 5"""B. 6"""C. 7

D. 8

分析：此題簡捷明了，以三角函數(shù)在給定開區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定來創(chuàng)設(shè)問題，巧妙將三角函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)這兩個(gè)不同知識點(diǎn)加以合理交匯與融合，全面考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)等相關(guān)知識．

在實(shí)際解題過程中，問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)的挖掘，可以從三角函數(shù)方程的視角切入，以代數(shù)思維來處理；可以從三角恒等變換公式的視角切入，以方程思維來處理；可以從三角函數(shù)圖象的視角切入，以直觀思維來處理；還可以從三角恒等變換公式的視角切入，利用變換思維來處理.這些數(shù)學(xué)思維視角都是解決該問題中比較契合的思想方法．

2"問題破解

方法1（三角方程法）：令f（x）=0，可得sin3x=sin2x，則有3x=kπ+（－1）^k·2x，k∈Z，即x=k3-2×（-1）^k·π，k∈Z．

則當(dāng)k=－3，－1，0，1，3，5，7，9時(shí)，x=－3π5，－π5，0，π5，3π5，π，7π5，9π5，即函數(shù)f（x）在開區(qū)間（－π，2π）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8個(gè)，故選擇答案D．

點(diǎn)評：三角方程sinα=sinβ中，滿足α=kπ+（－1）^k·β，k∈Z.其實(shí)質(zhì)是當(dāng)k=2n時(shí)，α=2nπ+β，n∈Z；當(dāng)k=2n+1時(shí)，α=（2n+1）π－β，n∈Z.這也為代數(shù)思維解決三角方程問題提供條件，也是該方法解決問題的理論依據(jù).要特別注意的是，在處理對應(yīng)的三角方程的解時(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算量比較繁雜，要細(xì)致認(rèn)真．

方法2（三倍角公式轉(zhuǎn)化法）：利用三倍角公式可得f（x）=sin3x－sin2x=3sinx－4sin³x－2sinxcosx=sinx（3－4sin²x－2cosx）=sinx·（4cos²x－2cosx－1）．

令f（x）=0，可得sinx=0或4cos²x－2cosx－1=0．

由sinx=0，可得x=0，π；由4cos²x－2cosx－1=0，可得cosx=1±54，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象可知cosx=1±54在開區(qū)間（－π，2π）內(nèi)有6個(gè)解．

函數(shù)f（x）在開區(qū)間（－π，2π）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8個(gè)，故選擇答案D．

點(diǎn)評：三角關(guān)系式中，倍角公式（這里涉及二倍角公式、三倍角公式）的應(yīng)用，為三角函數(shù)關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化提供條件，其根本目標(biāo)就是化“同角”，為三角方程的求解指明方向.特別是三倍角正弦公式sin3α=3sinα－4sin³α，是基于二倍角公式的深入與拓展，為此類問題的解決拓展思路．

方法3（圖象直觀法）：結(jié)合三角函數(shù)y=sin3x與y=sin2x的周期與在區(qū)間（0，π）的圖象，如圖1所示，直觀分析可知這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間（0，π）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)．

結(jié)合周期性可知三角函數(shù)y=sin3x與y=sin2x的圖象在區(qū)間（－π，0）和（π，2π）內(nèi)分別有2個(gè)交點(diǎn)．

又三角函數(shù)y=sin3x與y=sin2x的圖象同時(shí)交于點(diǎn)（0，0）和（π，0）．

綜上分析，所以函數(shù)f（x）在開區(qū)間（－π，2π）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8個(gè)，故選擇答案D．

點(diǎn)評：回歸三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)本質(zhì)，利用正弦型函數(shù)圖象的直觀性來分析與處理，也是處理此類問題中比較常用的一種技巧方法.要注意的是，數(shù)形結(jié)合直觀解決此類問題時(shí)，畫圖要從“小（區(qū)間）”到“大（范圍）”，特別是區(qū)間端點(diǎn)處的取值情況與交點(diǎn)情況，大體要準(zhǔn)確，才能為進(jìn)一步的分析與應(yīng)用奠定基礎(chǔ)．

方法4（和差化積公式法）：結(jié)合三角函數(shù)的和差化積公式可得f（x）=sin3x－sin2x=2cos5x2·sinx2.令f（x）=0，可得cos5x2=0或sinx2=0．

當(dāng)cos5x2=0時(shí)，可得5x2=π2+kπ，k∈Z，即x=2k+15π，k∈Z，由于x∈（－π，2π），則當(dāng)k=－2，－1，0，1，2，3，4時(shí)，x=－3π5，－π5，π5，3π5，π，7π5，9π5.

當(dāng)sinx2=0時(shí)，可得x2=kπ，k∈Z，即x=2kπ，k∈Z，由于x∈（－π，2π），則當(dāng)k=0時(shí)，x=0.

綜上分析，所以函數(shù)f（x）在開區(qū)間（－π，2π）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8個(gè)，故選擇答案D．

點(diǎn)評：從三角關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征入手，借助三角函數(shù)的和差化積公式進(jìn)行恒等變形與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而利用方程的求解來分析.新教材中，積化和差公式、和差化積公式等見于課本例題、習(xí)題等.因此，在三角恒等變換的教學(xué)中要十分重視角的變換，從而認(rèn)識這些公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，把這些三角恒等公式編織成網(wǎng)絡(luò)，使得學(xué)生更加深刻認(rèn)識和理解三角函數(shù)知識的內(nèi)涵．

3"變式拓展

3.1"類比變式

變式 "函數(shù)f（x）=cos3x－cos2x在開區(qū)間（－π，2π）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（""）.

A. 6"""B. 7"""C. 8"""D. 9

解析：令f（x）=0，可得cos3x=cos2x，則有3x=2kπ±2x，k∈Z，即x=2kπ或x=25kπ，k∈Z．

則當(dāng)k=－2，－1，0，1，2，3，4時(shí)，x=－4π5，－2π5，0，2π5，4π5，6π5，8π5，即函數(shù)f（x）在開區(qū)間（－π，2π）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7個(gè)，故選擇答案B．

點(diǎn)評：三角方程cosα=cosβ中，滿足α=2kπ±β，k∈Z.當(dāng)然，該變式問題除了利用該三角方程法直接求解外，還可以借助三倍角公式轉(zhuǎn)化法、圖象直觀法、和差化積公式等方法來處理，其方法類似于原問題的求解過程，這里不多加以展開．

3.2"綜合變式

變式1"函數(shù)f（x）=sin3x－cos2x在開區(qū)間（－π，2π）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（""）.

A. 6"""B. 7"""C. 8"""D. 9

答案：B．

變式2"函數(shù)f（x）=cos3x－sin2x在開區(qū)間（－π，2π）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（""）.

A. 6B. 7C. 8D. 9

解析：結(jié)合三角函數(shù)y=cos3x與y=sin2x的周期與在區(qū)間（0，π）的圖象，直觀分析可知這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間（0，π）內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn)．

結(jié)合周期性可知三角函數(shù)y=cos3x與y=sin2x的圖象在區(qū)間（－π，0）和（π，2π）內(nèi)分別有3個(gè)交點(diǎn)．

綜上分析，函數(shù)f（x）在開區(qū)間（－π，2π）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9個(gè)，故選擇答案D．

點(diǎn)評：以上這兩個(gè)變式問題，可以借助三角函數(shù)圖象直觀法或其他方法加以分析，這里也不加以展開.

正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象之間的混合，其解題思路與方法與原問題的解析方法基本相當(dāng)．

4"教學(xué)啟示

在三角函數(shù)模塊知識的課堂學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)備考過程中，一定要不忘初心，方得始終.解決三角函數(shù)問題都是萬變不離其宗，好好“吃透”教材中重點(diǎn)的例（習(xí)）題.基于此，筆者借助一些典型問題加以探究與拓展，充分挖掘典型問題的內(nèi)涵與底蘊(yùn)，融會貫通，進(jìn)而有效避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，真正做到開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，拓展學(xué)生的思維寬度，提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升學(xué)生優(yōu)良的數(shù)學(xué)品質(zhì)．