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        由一個(gè)不規(guī)則圖形所引發(fā)的思考

        2025-04-17 00:00:00楊舒涵
        初中生世界·八年級(jí) 2025年4期
        關(guān)鍵詞:蒙特卡羅估計(jì)值石子

        在一次體育課后,我和同學(xué)在操場(chǎng)上發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇特的不規(guī)則圖形ABC(如圖1),大家都十分好奇它的面積是多少。經(jīng)過(guò)熱烈討論后,我們結(jié)合本章所學(xué)知識(shí)想出了一種方法:在圖形內(nèi)畫(huà)出一個(gè)半徑為1米的圓(如圖2),然后與同學(xué)在不遠(yuǎn)處向圓內(nèi)隨機(jī)擲石子。

        數(shù)據(jù)記錄如下:

        根據(jù)統(tǒng)計(jì)表,我們“掐指一算”,得出石子落在圓中的頻率在0.33這一常數(shù)附近,也就是說(shuō)我們可以認(rèn)為圓的面積占整個(gè)圖形的33%左右。再結(jié)合圓的面積,我們便成功算出了不規(guī)則圖形的面積:因?yàn)閳A的面積為πr2=π×12=π(m2),所以不規(guī)則圖形面積為π÷0.33=[10033]π(m2)。

        在此之后,一名同學(xué)提出:“反過(guò)來(lái)想,如果我們已知圖形ABC的面積,那么是不是可以利用概率算出圓的面積,而半徑1米的圓面積恰好是π,從而得出π的近似值?”

        于是,我回家查閱了相關(guān)資料,驚喜地發(fā)現(xiàn),歷史上真有這種求法。第二天,我便向同學(xué)們介紹了此法——蒙特卡羅法。

        現(xiàn)將討論后的過(guò)程摘錄如下:

        定義區(qū)域:首先,定義一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形,其中心位于原點(diǎn)(0,0),并覆蓋整個(gè)單位圓(半徑為1的圓)。正方形的面積是2×2=4。

        生成隨機(jī)點(diǎn):然后,在正方形內(nèi)隨機(jī)生成大量的點(diǎn)。每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y)都是隨機(jī)選擇的,且滿足?1≤x≤1和?1≤y≤1。

        判斷點(diǎn)是否在圓內(nèi):對(duì)于每個(gè)生成的點(diǎn),使用距離公式[x2+y2]計(jì)算它到原點(diǎn)(0,0)的距離。如果這個(gè)距離小于或等于1,那么該點(diǎn)就在單位圓內(nèi);否則,它就在圓外。

        計(jì)算頻率:統(tǒng)計(jì)落在圓內(nèi)的點(diǎn)的數(shù)量,并計(jì)算其頻率。這個(gè)數(shù)值大致等于單位圓的面積與正方形面積的比例,即[π×124]=[π4]。

        估算π值:最后,將上述比例乘4,以估算π的值。例如,若落在圓內(nèi)的點(diǎn)的比例是p,那么π≈4p。

        之后,我們利用課間時(shí)間來(lái)到操場(chǎng)上,粗略算出了π值:

        我們前后共拋出1000塊石子(隨機(jī)點(diǎn)),并統(tǒng)計(jì)得出785個(gè)點(diǎn)落在圓內(nèi)。那么,落在圓內(nèi)的點(diǎn)的頻率是[7851000]=0.785。由此,我們可以估算出π≈4×0.785=3.14。

        探究過(guò)后,我們結(jié)合概率的有關(guān)知識(shí)得出了以下結(jié)論:

        1.蒙特卡羅法的精度取決于生成隨機(jī)點(diǎn)的數(shù)量。點(diǎn)越多,估算的π值通常越準(zhǔn)確。

        2.因?yàn)檫@種方法基于隨機(jī)性,所以每次得到的π的估計(jì)值可能會(huì)有所不同。但當(dāng)試驗(yàn)被大量重復(fù)時(shí),此估計(jì)值將趨于穩(wěn)定。

        生活中的小發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)我們更深入的思考也許會(huì)生成新的結(jié)論。我們?nèi)裟茉谌粘I钪杏脭?shù)學(xué)的眼光觀察世界,勤于探索,樂(lè)于交流,并保持這種思維習(xí)慣,便一定能收獲豐碩的成果。

        教師點(diǎn)評(píng)

        小作者由一個(gè)不規(guī)則圖形引發(fā)有深度的思考:巧用概率計(jì)算面積的近似值,從而求π的近似值。她善于觀察生活,樂(lè)于用數(shù)學(xué)思維思考,并積極與同伴合作交流。這些都是值得同學(xué)們學(xué)習(xí)的地方。生活從來(lái)不缺少美,只是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼光。希望同學(xué)們將課堂所學(xué)融入生活,將一個(gè)個(gè)冰冷的數(shù)字符號(hào)撞擊出火熱的思維火花,在一步步的探索中感受數(shù)學(xué)之美。

        (指導(dǎo)教師:張衛(wèi)明)

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