摘 要：針對(duì)復(fù)雜地形上存在急流、激波或急緩流交替等問(wèn)題的一維明渠水動(dòng)力模擬，基于Ｇｏｄｕｎｏｖ 格式的有限體積法離散Ｓａｉｎｔ－Ｖｅｎａｎｔ 方程組，建立了復(fù)雜明渠水動(dòng)力模型。采用ＨＬＬ 近似Ｒｉｅｍａｎｎ 解計(jì)算界面通量，通過(guò)ＭＵＳＣＬ 格式和Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ 方法將時(shí)空精度提高至二階，同時(shí)將流量替換為連續(xù)性方程中的通量形式以保證流量守恒。采用水面梯度整體作為源項(xiàng)的方程形式，并引入底坡通量法對(duì)其求解，摩阻源項(xiàng)則使用無(wú)須迭代的顯隱式方法進(jìn)行處理。通過(guò)４ 個(gè)典型算例驗(yàn)證了該模型可很好地模擬潰壩、激波和急緩流交替等復(fù)雜水流運(yùn)動(dòng)過(guò)程，具有良好的守恒性和適應(yīng)性。

關(guān)鍵詞：明渠水流；Ｇｏｄｕｎｏｖ；有限體積法；數(shù)值模擬

中圖分類號(hào)：ＴＶ１２２＋ ．１ 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９／ ｊ．ｉｓｓｎ．１０００－１３７９．２０２５．０４．０１０

引用格式：梁鑫，侯精明，李東來(lái)，等．基于Ｇｏｄｕｎｏｖ 格式的一維明渠水流運(yùn)動(dòng)數(shù)值模擬［Ｊ］．人民黃河，２０２５，４７（４）：５８－６３．

０ 引言

具有自由表面的淺水?dāng)?shù)值模擬是水力學(xué)與河流工程的核心課題之一，自然地形坡度變化較大，在復(fù)雜明渠水流運(yùn)動(dòng)中會(huì)同時(shí)存在急流、緩流和臨界流，并且各流態(tài)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)換，水流運(yùn)動(dòng)過(guò)程極其復(fù)雜［１－３］ 。近年來(lái)，隨著計(jì)算方法的改進(jìn)與加速計(jì)算技術(shù)的完善，二維、三維水動(dòng)力數(shù)學(xué)模型得到了長(zhǎng)足的發(fā)展［４］ 。但自然流域尺度下河道狹長(zhǎng)，城市流域中一些河道或排水明渠斷面尺寸較小，水下地形采集困難，高精度數(shù)據(jù)難以獲取，若使用二維、三維模型勢(shì)必增加計(jì)算量、影響計(jì)算效率，綜合考慮計(jì)算效率與參數(shù)取值的可行性，應(yīng)用一維水動(dòng)力模型對(duì)明渠與河道進(jìn)行數(shù)值模擬是最佳選擇［１，４］ 。

通過(guò)求解一維Ｓａｉｎｔ－Ｖｅｎａｎｔ 方程組來(lái)模擬明渠水流運(yùn)動(dòng)是目前最常用的方法，其中將水面坡度項(xiàng)作為源項(xiàng)處理的方程形式較為常用，主要原因是水面的變化通常比水深和底坡平滑得多，并且該形式消除了底坡源項(xiàng)與通量項(xiàng)不協(xié)調(diào)的問(wèn)題［３，５］ 。在計(jì)算格式方面，Ｇｏｄｕｎｏｖ 格式非常適用于雙曲方程組求解，并具備大梯度流動(dòng)模擬和自動(dòng)捕捉激波的能力，近年來(lái)該格式在復(fù)雜明渠、地表薄層水流、管網(wǎng)排水、水錘計(jì)算等復(fù)雜水流運(yùn)動(dòng)模擬計(jì)算中得到了廣泛的應(yīng)用［６－１１］ 。

界面通量計(jì)算多采用近似Ｒｉｅｍａｎｎ 解，目前主要的求解格式為Ｒｏｅ、ＨＬＬ 和ＨＬＬＣ 等。Ｒｏｅ 線性化Ｒｉｅ?行額外修正［２］ ，相比之下ＨＬＬ 格式更受國(guó)內(nèi)外學(xué)者的青睞，如：張大偉等［３，８］ 基于ＨＬＬ 格式的有限體積法離散Ｓａｉｎｔ－Ｖｅｎａｎｔ 方程組，先后模擬了明渠與復(fù)雜河網(wǎng)水動(dòng)力過(guò)程；Ｙｉｎｇ 等［５］ 基于ＨＬＬ 格式模擬了理想干、濕河床狀態(tài)的潰壩流，波浪相互作用，明渠潮汐流和波浪傳播等復(fù)雜水動(dòng)力過(guò)程；Ｘｉｎ 等［１２］ 以水面高程為原始變量，基于ＨＬＬ 格式一維淺水模型對(duì)自然不規(guī)則河道的淺水流動(dòng)進(jìn)行了模擬；孫萬(wàn)光等［１３］ 基于ＨＬＬＣ 格式對(duì)天然河道水流過(guò)程進(jìn)行了模擬，并證明了一維水動(dòng)力計(jì)算中ＨＬＬＣ 法和ＨＬＬ 法計(jì)算結(jié)果完全一致。

本文將水面坡度整體為源項(xiàng)形式的一維淺水方程作為明渠非恒定流控制方程，采用Ｇｏｄｕｎｏｖ 格式的有限體積法進(jìn)行數(shù)值求解；采用基于ＨＬＬ 格式的近似Ｒｉｅｍａｎｎ 解計(jì)算界面通量，通過(guò)ＭＵＳＣＬ 重構(gòu)和Ｒｕｎｇｅ?Ｋｕｔｔａ 方法獲得時(shí)空的二階精度；引入底坡通量法對(duì)整體水面坡度源項(xiàng)進(jìn)行數(shù)值求解以保證通量項(xiàng)與水面坡度源項(xiàng)的協(xié)調(diào)；采用顯隱式方法計(jì)算摩阻源項(xiàng)，該方法可避免隱式迭代，可在幾乎不影響計(jì)算精度的同時(shí)提高計(jì)算效率；最終通過(guò)潰壩算例、急緩流交替算例、激波算例和三角形擋水建筑潰壩算例對(duì)模型進(jìn)行測(cè)試，以驗(yàn)證本模型能否準(zhǔn)確模擬急流或存在水面間斷的復(fù)雜明渠水流。

１ 控制方程

對(duì)平底梯形明渠中的潰壩過(guò)程進(jìn)行模擬，以驗(yàn)證本模型在潰壩波捕捉方面的性能。梯形斷面底寬為１ ｍ，邊坡系數(shù)為２，垂直深度為１．５ ｍ，如圖１（ａ）所示；平底渠道總長(zhǎng)１ ０００ ｍ，渠道前５００ ｍ 初始水深為１ ｍ，后５００ ｍ 初始水深為０．１ ｍ，左右邊界為閉邊界，初始水深分布如圖１（ｂ）所示［１６］ 。因考慮模型計(jì)算效率，將全域劃分為４００ 個(gè)計(jì)算單元，時(shí)間步長(zhǎng)固定為０．５ｓ，不考慮摩擦影響。在ｔ ＝１０３．１ ｓ 時(shí)，水深及流量對(duì)比見圖２，可見本模型數(shù)值解與精確解吻合較好。

３．２ 急緩流態(tài)交替的陡坡渠道算例

該算例渠道全長(zhǎng)Ｌ ＝１ ０００ ｍ，渠底寬１．００ ｍ，上游固定流量２０ ｍ３ ／ ｓ，下邊界固定水深１．３５ ｍ，曼寧糙率為０．０２，渠道入流和出流均為緩流，取空間步長(zhǎng)為１０ ｍ。該河段流態(tài)屬于漸變過(guò)渡流態(tài)，先從緩流過(guò)渡到急流，然后又從急流過(guò)渡到緩流，形成存在水跌和水躍的急緩流交替流態(tài)。圖３ 為本模型數(shù)值解與精確解對(duì)比，由水面線可看出，本模型模擬結(jié)果與精確解基本一致，在水躍處存在明顯間斷，其他區(qū)域?yàn)楣饣^(guò)渡。從沿程流量可以看出，在水躍位置采用近似Ｒｉｅｍａｎｎ 解時(shí)流量出現(xiàn)了不守恒現(xiàn)象，而本文采用的通量替換方法很好地保持了流量穩(wěn)定無(wú)波動(dòng)的狀態(tài)，滿足了計(jì)算格式流量守恒的要求。模型合理模擬了水跌及水躍形態(tài)，并嚴(yán)格保證流量守恒，可用于具有急緩流態(tài)交替的山區(qū)陡坡河道水流模擬。

３．３ 激波算例

采用具有拋物型地形的混合流算例對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，計(jì)算區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)２５ ｍ、寬１ ｍ 的矩形河道，河底地形在８～１２ ｍ 區(qū)域有一拋物型的突起，河底地形（突起高度）的表達(dá)式為

網(wǎng)格尺寸?。埃?ｍ，初始河道水深設(shè)為０．３３ ｍ，初始流量為０．０ ｍ３ ／ ｓ，不考慮摩阻影響，曼寧系數(shù)取０．０。在入口處給定流量Ｑ ＝ ０．１８ ｍ３ ／ ｓ ，下游邊界為固定水位，穩(wěn)定后下游水深ｚ ＝ ０．３３ ｍ 時(shí)，在河道地形變化處會(huì)出現(xiàn)流態(tài)過(guò)渡，并存在激波。該過(guò)程模擬較為困難，常被用于測(cè)試計(jì)算方法的適應(yīng)性。模擬結(jié)果對(duì)比如圖４ 所示，本模型能夠很好地模擬出水面間斷，水深數(shù)值解與精確解吻合較好，如１０．０～１２．５ ｍ 激波出現(xiàn)的地方，流量過(guò)程依然保持恒定狀態(tài)，數(shù)值守恒性較好。

３．４ 三角形擋水建筑物潰壩算例

該算例原型為歐盟ＩＭＰＡＣＴ 項(xiàng)目的基準(zhǔn)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停ㄒ妶D５），旨在了解河床存在邊坡情況下潰壩波傳播過(guò)程。試驗(yàn)區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)５．６ ｍ、寬０．５ ｍ 的矩形水槽。上游蓄水池長(zhǎng)為２．３９ ｍ，初始水深為０．１１１ ｍ。在靠近下游邊界處有一等腰三角形障礙物，長(zhǎng)０．９ ｍ，高０．０６５ｍ，底坡為±０．１４，障礙物末端距離下游邊界０．７ ｍ。蓄水池至障礙物處為干渠道，障礙物下游至出口水池段水深０．０２ ｍ。試驗(yàn)過(guò)程中四周均為閉邊界，渠道糙率為０．０１１。在障礙物周邊共布設(shè)有３ 個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)位：Ｇ１，ｘ ＝５．５７５ ｍ；Ｇ２，ｘ ＝４．９２５ ｍ；Ｇ３，ｘ ＝ ３．９３５ ｍ［１７］ 。計(jì)算時(shí)采用網(wǎng)格尺寸（邊長(zhǎng)）為０．０１ ｍ。

各測(cè)點(diǎn)模擬水深與試驗(yàn)監(jiān)測(cè)結(jié)果對(duì)比見圖６，３ 個(gè)測(cè)點(diǎn)計(jì)算水深與實(shí)測(cè)水深吻合較好，潰壩洪水到達(dá)時(shí)間與實(shí)測(cè)情況基本一致。由于末端存在擋水堰，計(jì)算區(qū)域封閉，因此３ 個(gè)測(cè)點(diǎn)均受到了反射波的影響，其中Ｇ１ 和Ｇ２ 較為明顯，因障礙物不高而Ｇ３ 也受到影響。模擬結(jié)果再次印證了本模型的計(jì)算精度與穩(wěn)定性。

４ 結(jié)論

針對(duì)復(fù)雜地形上存在激波、急緩流交替等復(fù)雜水流模擬難題，基于Ｇｏｄｕｎｏｖ 有限體積格式構(gòu)建了一維復(fù)雜明渠水動(dòng)力模型，經(jīng)多個(gè)算例驗(yàn)證，得到以下主要結(jié)論：

１） 模型采用具有激波捕捉能力ＨＬＬ 格式Ｒｉｅｍａｎｎ 計(jì)算界面通量，采用ＭＵＳＣＬ 格式和Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ 方法將整體時(shí)空計(jì)算精度提高至二階，同時(shí)采用通量替換的方法保證了流量計(jì)算的守恒性。

２）引入以通量項(xiàng)保持協(xié)調(diào)的底坡通量法處理水面坡度項(xiàng)，并采用顯隱式方法處理摩阻源項(xiàng)，可消除冗余迭代，保證對(duì)復(fù)雜流態(tài)的高精度模擬，實(shí)現(xiàn)源項(xiàng)的穩(wěn)健高效計(jì)算。

３）通過(guò)將本文模型的數(shù)值解與經(jīng)典算例、試驗(yàn)過(guò)程等４ 個(gè)算例的精確解或觀測(cè)值進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，表明模型具有良好的穩(wěn)定性和計(jì)算精度，能夠成功模擬潰壩、急緩流交替、激波流動(dòng)等各種復(fù)雜流態(tài)。

綜上所述，本文模型可準(zhǔn)確穩(wěn)健地模擬一維復(fù)雜明渠水動(dòng)力過(guò)程，可為工程應(yīng)用、水利規(guī)劃決策等提供參考。

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【責(zé)任編輯 許立新】

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（５２０７９１０６，５２００９１０４）