摘要：裂縫型儲(chǔ)層是一種含流體的裂縫-孔隙介質(zhì)，其裂縫參數(shù)的定量表征對非常規(guī)油氣藏的勘探與開發(fā)具有重要意義。然而，傳統(tǒng)以振幅信息為主的儲(chǔ)層預(yù)測方法存在局限性，難以全面揭示裂縫型儲(chǔ)層的復(fù)雜特性。本文針對含飽和流體的正交裂縫型儲(chǔ)層，深入分析了含水平和垂直正交裂縫介質(zhì)的速度頻散與衰減特性，并采用各向異性反射率法模擬了單界面頻散砂巖儲(chǔ)層振幅隨偏移距變化（amplitude variation with offset， AVO）的頻變響應(yīng)特征。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建了以水平和垂直正交裂縫模型響應(yīng)為驅(qū)動(dòng)的貝葉斯反演框架，實(shí)現(xiàn)了對裂縫型儲(chǔ)層中孔隙度、裂縫密度及裂縫半徑的多參數(shù)定量反演。研究結(jié)果表明，孔隙度、裂縫密度及裂縫半徑對速度頻散表現(xiàn)出高度敏感性，且在低頻時(shí)PP波頻變反射系數(shù)隨頻率和入射角發(fā)生顯著變化，振幅隨入射角的增大線性增加，揭示了裂縫參數(shù)對頻變AVO響應(yīng)有重要影響。反演結(jié)果表明，所提出的反演方法在不同裂縫參數(shù)條件下，后驗(yàn)概率分布都具有較高精度，尤其在小尺度裂縫型儲(chǔ)層中，對裂縫半徑預(yù)測表現(xiàn)出更好的適用性和可靠性。

關(guān)鍵詞：裂縫型儲(chǔ)層；水平-垂直正交裂縫；裂縫參數(shù)；頻變AVO；貝葉斯反演方法

doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20240221

中圖分類號：P631.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Based on Bayesian Frequency-Dependent AVO Inversion for Multiple Fracture Parameters Prediction in Fractured Reservoirs

Xing Huiting^"1， Feng Xuan¹， Liu Cai¹， Guo Zhiqi¹， Pang Shuo²， Qiao Hanqing^1，3

1. College of GeoExploration Science and Technology， Jilin University， Changchun 130026， China

2. "College of Marine Geosciences， Ocean University of China， Qingdao 266100， Shandong， China

3. Institute of Geophysical and Geochemical Exploration， CAGS，Langfang 065000， Hebei， China

Abstract：

Fractured reservoir is a kind of fluid-bearing fracture-porous medium， and the quantitative characterization of fracture parameters plays a critical role in the exploration and development of unconventional hydrocarbon reservoirs. However， conventional reservoir prediction methods primarily based on amplitude information are limited in revealing the complex characteristics of fractured reservoirs. This paper focuses on fluid-saturated orthogonal fractured reservoirs and thoroughly analyzes the velocity dispersion and attenuation characteristics of media containing both horizontal and vertical orthogonal fractures. An anisotropic reflectivity method is employed to simulate the frequency-dependent "amplitude variation with offset "（AVO） response of a single-interface dispersive sandstone reservoir. Based on this， a Bayesian inversion framework driven by the responses of horizontal and vertical orthogonal fracture models is developed to achieve multi-parameter quantitative inversion of porosity， fracture density， and fracture radius in fractured reservoirs. The results demonstrate that porosity， fracture density， and fracture radius are highly sensitive to velocity dispersion. At low frequencies， the frequency-dependent PP wave reflection coefficient exhibits significant variations with both frequency and incidence angle， and the "amplitude increases linearly with the incidence angle. This highlights the substantial influence of fracture parameters on the frequency-dependent AVO response. Inversion results show that the proposed method achieves high accuracy in posterior probability distributions under varying fracture parameter conditions， with particularly improved applicability and reliability in predicting fracture radius in small-scale fractured reservoirs.

Key words：

fractured reservoirs; horizontally and vertically orthogonal fractures; fracture parameters; frequency-dependent AVO; Bayesian inversion method

0"引言

隨著我國油氣勘探開發(fā)逐步由常規(guī)構(gòu)造型油氣藏向非常規(guī)、裂縫型油氣藏轉(zhuǎn)變，裂縫作為地質(zhì)構(gòu)造中普遍存在的現(xiàn)象，對地層的力學(xué)性質(zhì)及滲透性具有決定性作用^[1-5]。裂縫的表征和識別在油氣資源勘探與開發(fā)、二氧化碳埋藏監(jiān)測、核廢料處理以及地下工程等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用^[6-7]。裂縫系統(tǒng)作為儲(chǔ)層油氣聚集與儲(chǔ)存的空間，如何準(zhǔn)確有效地定量描述儲(chǔ)層裂縫參數(shù)，不僅有助于巖石儲(chǔ)集空間的評估，提高油氣儲(chǔ)層的估測精度，而且對油氣儲(chǔ)層中裂縫發(fā)育情況及儲(chǔ)層油氣產(chǎn)能評估和開發(fā)具有重要意義。

當(dāng)?shù)卣鸩▊鞑ソ?jīng)過含有流體的裂縫-孔隙介質(zhì)時(shí)，地震波在不同方向上的彈性參數(shù)會(huì)發(fā)生變化^[8-11]。因此，通過構(gòu)建等效介質(zhì)模型，建立各向異性參數(shù)與裂縫參數(shù)之間的關(guān)系，可以有效描述裂縫型儲(chǔ)層的特性^[12-14]。常用的靜態(tài)等效介質(zhì)模型無法獲取裂縫長度、裂縫密度等裂縫參數(shù)信息，也不能預(yù)測出儲(chǔ)層的孔隙度、含水飽和度等物性信息。而且，這類模型在解釋實(shí)際裂縫型儲(chǔ)層巖石中地震波的速度頻散和衰減現(xiàn)象時(shí)存在一定的局限性^[15]。相較之下，基于流體在裂縫與孔隙之間流動(dòng)的動(dòng)態(tài)等效介質(zhì)理論模型能夠更為全面地描述實(shí)際裂縫儲(chǔ)層中的頻變各向異性特征。Chapman等^[16]考慮了中觀尺度（裂縫）和微觀尺度（微裂隙和孔隙）下的流體流動(dòng)，提出了一種用于描述裂縫-孔隙介質(zhì)彈性性質(zhì)的動(dòng)態(tài)等效介質(zhì)模型，推導(dǎo)了該模型的等效剛度張量，并分析了地震各向異性與頻率之間的關(guān)系。Chapman^[17]將模型擴(kuò)展為兩組或者多組裂縫的情況，研究了兩組具有不同方向、尺寸、密度和連通性的中觀尺度裂縫對裂縫-孔隙介質(zhì)速度頻散與衰減特征的影響。Galvin等^[18]描述了單一硬幣狀中尺度裂縫與孔隙之間流體流動(dòng)作用引起的速度頻散和能量衰減，并將計(jì)算結(jié)果與Chapman^[17]模型做了對比。Gurevich等^[19]給出了全頻帶縱波速度頻散與衰減的近似解析解?；谠撃Ｐ停珿uo等^[20-21]研究了孔隙介質(zhì)中含兩組正交中觀尺度裂縫時(shí)地震波的速度頻散與衰減特征。Shuai等^[22]在Chapman的基礎(chǔ)上進(jìn)一步擴(kuò)展了裂縫方向，構(gòu)建了一個(gè)包含兩組正交裂縫的巖石物理模型，推導(dǎo)了含兩組正交裂縫模型的各向異性彈性參數(shù)表達(dá)式，模擬了地震波在這種介質(zhì)中的傳播并討論了裂縫參數(shù)對模型各向異性特性的影響。

利用反射振幅隨炮檢距變化（amplitude variation with offset， AVO）特征的疊前地震數(shù)據(jù)進(jìn)行裂縫系統(tǒng)識別、裂縫參數(shù)預(yù)測和流體類型識別，已被廣泛應(yīng)用于儲(chǔ)層裂縫預(yù)測研究中，成為關(guān)鍵手段之一。在裂縫型儲(chǔ)層中，由于速度頻散和能量衰減的影響，巖石的彈性參數(shù)會(huì)隨頻率變化，導(dǎo)致反射系數(shù)也隨頻率變化。這種反射系數(shù)隨入射角和頻率的變化現(xiàn)象被稱為頻變AVO特征。基于頻散介質(zhì)巖石物理模型，對裂縫型儲(chǔ)層頻變AVO響應(yīng)的計(jì)算與參數(shù)敏感性進(jìn)行分析，構(gòu)成了利用頻變AVO反演進(jìn)行儲(chǔ)層參數(shù)預(yù)測的理論基礎(chǔ)^[23-24]。目前，頻變AVO反演主要分為兩類：基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的反演和基于模型驅(qū)動(dòng)的反演^[25]。在基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的頻變AVO反演方面的研究中，Wilson等^[26]提出將Smith-Gidlow兩項(xiàng)AVO近似公式擴(kuò)展到與頻率相關(guān)，并推導(dǎo)出具有縱波速度頻散特征的流體指示因子。Chapman等^{[17， 27]}在宏觀尺度模型的基礎(chǔ)上，圍繞頻變AVO對物性參數(shù)進(jìn)行分析預(yù)測。Wilson^[28]基于Chapman模型分析了因含流體引起介質(zhì)的頻散特征，并結(jié)合譜分解和譜平衡手段進(jìn)行頻散屬性的反演研究。吳小羊^[29]在Wilson的基礎(chǔ)上通過提高時(shí)頻分解的精度，將頻變AVO反演應(yīng)用到實(shí)際數(shù)據(jù)中。

上述基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的頻變AVO反演理論被廣泛應(yīng)用到頁巖氣儲(chǔ)層、碳酸鹽巖儲(chǔ)層、致密砂巖儲(chǔ)層和天然氣水合物儲(chǔ)層等，取得了較好的效果。然而，這類方法的理論基礎(chǔ)是AVO近似公式，只考慮了單界面反射的情況，沒有考慮地層的層狀結(jié)構(gòu)和復(fù)雜的巖性信息，而基于模型驅(qū)動(dòng)的頻變AVO反演能夠考慮裂縫儲(chǔ)層中的一種或多種頻散機(jī)制和復(fù)雜的地層結(jié)構(gòu)。Wu等^[30]提出了一種基于頻散介質(zhì)巖石物理模型的頻變AVO反演框架，利用貝葉斯反演方法實(shí)現(xiàn)了砂巖儲(chǔ)層的含氣飽和度預(yù)測。Liu等^[31]基于Chapman模型，提出了在貝葉斯框架下裂縫儲(chǔ)層的流體識別流程。在此基礎(chǔ)上，Jin等^[32]考慮了儲(chǔ)層中薄層結(jié)構(gòu)的影響，實(shí)現(xiàn)了基于貝葉斯框架同時(shí)預(yù)測儲(chǔ)層厚度和含氣飽和度。進(jìn)一步地，Jin等^[33]基于部分飽和Chapman模型，給出了含垂直裂縫儲(chǔ)層含氣飽和度、裂縫長度和裂縫密度的反演理論。He等^[34]應(yīng)用改進(jìn)的蒙特卡羅算法建立了貝葉斯頻變AVO反演理論并進(jìn)行部分飽和薄儲(chǔ)層的含氣性定量預(yù)測。以上研究表明，基于模型驅(qū)動(dòng)的頻變AVO反演方法在預(yù)測復(fù)雜裂縫型儲(chǔ)層和含多種頻散機(jī)制方面具有顯著優(yōu)勢。但上述研究均僅針對單組裂縫模型進(jìn)行反演估計(jì)，基于Chapman多組裂縫模型，引入貝葉斯反演方法，不僅可以提高預(yù)測儲(chǔ)層參數(shù)的精度，還能夠量化不確定性，為儲(chǔ)層評價(jià)提供更加全面的信息。

本文提出了一種基于貝葉斯反演框架的頻變AVO反演方法，首先，以含飽和流體的正交裂縫介質(zhì)巖石物理模型為驅(qū)動(dòng)，建立基于各向異性反射率法的貝葉斯反演框架；其次，對含飽和流體的兩組正交裂縫儲(chǔ)層的孔隙度、裂縫密度和裂縫半徑進(jìn)行定量計(jì)算分析；最后，通過單反射界面模型進(jìn)行反演，驗(yàn)證該反演方法的準(zhǔn)確性和抗噪性。

旨在定量描述含流體多組正交裂縫型儲(chǔ)層的裂縫參數(shù)，

為裂縫型儲(chǔ)層的精細(xì)描述與預(yù)測提供新方法和新手段。

1"方法原理

1.1"含多組正交裂縫的等效介質(zhì)巖石物理模型

在Chapman^[17]模型中，考慮了兩種裂縫尺度：微觀尺度的球形孔隙和中觀尺度的裂縫。本文將兩組任意分布的裂縫方向限定為相互正交，裂縫流體選為含油的飽和模型。根據(jù)Chapman^[17]模型，含多尺度裂縫多孔等效介質(zhì)頻率相關(guān)的等效彈性張量可表示為

C（ω）=C⁰-C^p（ω）-∑2m=1C^m（ω）。 （1）

式中：ω為角頻率；C⁰為巖石基質(zhì)的各向同性張量；C^p為孔隙相關(guān)的各向同性彈性修正項(xiàng)；C^m為多組裂縫引起的彈性修正項(xiàng)。

巖石基質(zhì)的各向同性張量由彈性參數(shù)拉梅系數(shù)λ和μ表示：

C⁰=λ+2μλλλλ+2μλλλλ+2μ000000000000000000μ000μ000μ。 （2）

孔隙彈性張量的標(biāo)準(zhǔn)矩陣形式為

C^p=d+43ed-23ed-23ed-23ed+43ed-23ed-23ed-23ed+43e000000000000000000e000e000e。 （3）

根據(jù)文獻(xiàn)[17]和文獻(xiàn)[23]，式（3）中的彈性參數(shù)d和e的表達(dá)式為：

d=φ_p3λ+4μ12μ1-υ1+υσ⁵_ij-p^*-13p^*； （4）

e=φ_p15μ1-υ7-5υ。（5）

其中：

σ⁵=3λ+2μ0003λ+2μ0003λ+2μ。

p^*=（3λ+2μ）∑2m=1φ_mσ^m_c11+iωτ_m+9φ_p（1-υ）4μ（1+υ）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）；

K^m_c=σ^m_ck_f；

σ^m_c=πμr_m2（1-υ）；

K_p=4μ3k_f。

式中：φ_p為孔隙度；υ為泊松比；σ⁵_ij為應(yīng)力；p^*為孔隙的流體壓力；φ_m為裂縫孔隙度；τ_m為裂縫弛豫時(shí)間；k_f為流體體積模量；r_m為裂縫縱橫比。

模型中采用極化角θ_m和方位角a_m兩個(gè)角度表征裂縫的分布，將m=1設(shè)置為水平方向分布的裂縫，即θ₁=0°，a₁=0°；將m=2設(shè)置為垂直方向分布的裂縫，即θ₂=90°，a₂=0°。

兩組正交裂縫的彈性張量的矩陣形式可表示為：

C¹=a¹₃₃a¹₁₃a¹₁₃

000

a¹₁₃a¹₁₁a¹₁₂000

a¹₁₃a¹₁₂a¹₁₁000

000a¹₅₅

00

000000 ;（6）

C²=a²₁₁a²₁₃a²₁₂000

a²₁₃a²₃₃a²₁₃000

a²₁₂a²₁₃a²₃₃000

000000

0000a²₅₅0

00000a²₅₅。 （7）

式中，a^m_ij為裂縫彈性參數(shù)，可通過裂縫中的流體壓力表征：

a^m₁₁=φ_mλσ^m_c（λ-f¹_m）-f¹_m； （8）

a^m₃₃=φ_mλ+2μσ^m_c（λ+2μ-f²_m）-f²_m； "（9）

a^m₁₂=φ_mλσ^m_c（2λ-f³_m）-f³_m-12（a^m₁₁+a^m₃₃）；（10）

a^m₁₃=φ_mλ+μσ^m_c（2λ+2μ-f⁴_m）-f⁴_m-12（a^m₁₁+a^m₃₃）；（11）

a^m₅₅=φ_m4μ（1-υ）π（2-υ）r_m。（12）

其中：

f¹₁=

11+iωτ₂·

λφ₁σ¹_c（1+iωτ₁）+（λ+2μ）φ₂σ²_c（1+iωτ₂）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+（3λ+2μ）3φ_p（1-υ）4μ（1+υ）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+

λiωτ₁（1+K¹_c）；

f²₁=11+iωτ₁·（λ+2μ）φ₁σ¹_c（1+iωτ₁）+λφ₂σ²_c（1+iωτ₂）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+（3λ+2μ）3φ_p（1-υ）4μ（1+υ）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+

（λ+2μ）iωτ₁1+K¹_c

f³₁=11+iωτ₁·

2λφ₁σ¹_c（1+iωτ₁）+（λ+2μ）φ₂σ²_c（1+iωτ₂）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+

（3λ+2μ）3φ_p（1-υ）4μ（1+υ）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+

2λiωτ₁1+K¹_c；

f⁴₁=11+iωτ₁·

λ（λ+2μ）φ₁σ¹_c（1+iωτ₁）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+

（λ+2μ）φ₂σ²_c（1+iωτ₂）+2（3λ+2μ）3φ_p（1-υ）4μ（1+υ）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+

2（λ+2μ）iωτ₁1+K¹_c。

f¹₂=11+iωτ₂·

（λ+2μ）φ₂σ²_c（1+iωτ₂）+λφ₂σ²_c（1+iωτ₂）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+

2（3λ+2μ）3φ_p（1-υ）4μ（1+υ）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+

λiωτ₂1+K²_c；

f²₂=11+iωτ₂·

λφ₁σ¹_c（1+iωτ₁）+（λ+2μ）φ₂σ²_c（1+iωτ₂）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+

（3λ+2μ）3φ_p（1-υ）4μ（1+υ）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+

（λ+2μ）iωτ₂1+K²_c

f³₂=11+iωτ₂·

2（λ+2μ）φ₁σ¹_c（1+iωτ₁）+（λ+2μ）φ₂σ²_c（1+iωτ₂）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+

（3λ+2μ）3φ_p（1-υ）4μ（1+υ）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+2λiωτ₂1+K²_c；

f⁴₂=11+iωτ₂·

2（λ+2μ）φ₁σ¹_c（1+iωτ₁）+2（λ+2μ）φ₂σ²_c（1+iωτ₂）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+

2（3λ+2μ）3φ_p（1-υ）4μ（1+υ）∑2m=1φ_m（1+K^m_c）σ^m_c（1+iωτ_m）+3φ_p4μ（1+K_p）+

2（λ+μ）iωτ₂1+K²_c。

計(jì)算可得到含流體正交裂縫的多孔介質(zhì)頻率相關(guān)有效彈性張量C（ω）。

根據(jù)式（1），可得到含正交裂縫飽和流體多孔巖石隨頻率變化的垂直方向上的縱、橫波速度和衰減因子：

v_P（ω）="C₃₃（ω）ρ="λ+2μ-d-4e3-a¹₃₃-a²₁₁ρ；（13）

v_S（ω）="C₅₅（ω）ρ="μ-e-a¹₅₅-a²₅₅ρ；（14）

1Q（ω）=Im[C₃₃（ω）]Re[C₃₃（ω）]；（15）

式中：v_P（ω）、v_S（ω）、1Q（ω）分別為含正交裂縫飽和流體多孔巖石隨頻率變化的垂直方向上的縱、橫波速度和衰減因子；ρ為密度。

1.2"各向異性反射率法

當(dāng)?shù)卣鸩ㄔ诤辛黧w的復(fù)雜裂縫介質(zhì)中傳播時(shí)，會(huì)引起地震頻帶內(nèi)速度的頻散和能量衰減，導(dǎo)致地震波的反射系數(shù)和透射系數(shù)隨頻率變化。本文構(gòu)建的水平-垂直正交裂縫介質(zhì)巖石物理模型可以推導(dǎo)出與頻率有關(guān)的各向異性彈性參數(shù)，基于該模型和各向異性反射率法可計(jì)算儲(chǔ)層的頻變反射系數(shù)。各向異性反射率法基于微分方程系統(tǒng)的表達(dá)式^[35]為

_zb（z）=iωA（z）b（z）。（16）

式中：b為應(yīng)力位移矢量；z為深度；A為6×6的系統(tǒng)矩陣，可由對應(yīng)層中的彈性參數(shù)C_ij（ω）、密度以及x、y方向的水平慢度分量來表示。由于不同介質(zhì)的彈性參數(shù)不同，A的特征值和特征向量會(huì)隨介質(zhì)的不同而變化。為求解式（16），根據(jù)Fryer等^[36]提出的計(jì)算地震各向異性反射率的方法，計(jì)算上、下行波反射和透射系數(shù)矩陣R^[37]：

R=T_UR_DR_UT_D。（17）

式中，R_U、R_D、T_U、T_D分別為上行波和下行波的反射系數(shù)矩陣和透射系數(shù)矩陣。利用這些特征，依據(jù)位移和應(yīng)力在任何平面上連續(xù)的條件，F(xiàn)ryer等^[36]引入散射算子和散射矩陣并通過遞歸方程計(jì)算反射與透射系數(shù)矩陣。計(jì)算并整理?？梢杂傻趇層遞歸關(guān)系計(jì)算得到第i+1層的反射、透射系數(shù)矩陣。遞歸關(guān)系方程^[38]為

Tⁱ⁺¹_U=Tⁱ_U（I-E^-1_Ur_DE_DRⁱ_U）^-1E^-1_Ut_U；Tⁱ⁺¹_D=t_DE_D（I-Rⁱ_UE^-1_Ur_DE_D）^-1Tⁱ_U；Rⁱ⁺¹_U="r_U+t_DE_DRⁱ_U（I-E^-1_Ur_DE_DRⁱ_U）^-1E^-1_Ut_U；Rⁱ⁺¹_D="Rⁱ_D+Tⁱ_UE^-1_Ur_DE_D（I-Rⁱ_UE^-1_Ur_DE_D）^-1Tⁱ_D。 （18）

式中：I為單位矩陣；r_D、r_U和t_D、t_U分別為界面深度z=z_i+1處的反射和透射矩陣；E_U為上行波反射系數(shù)特征向量；E_D為下行波反射系數(shù)特征向量。E_U、E_D表達(dá)式分別為：

E_U=e^iωhλ₁000e^iωhλ₂000e^iωhλ₃；（19）

E_D=e^iωhλ₄000e^iωhλ₅000e^iωhλ₆。 "（20）

式中：h為第i層和第i+1層之間的厚度；λ_i（i=1，2，...，6）為對應(yīng)系統(tǒng)矩陣的特征值。

由式（18）進(jìn)行迭代計(jì)算得到整個(gè)層狀介質(zhì)中的頻變反射系數(shù)R_PP。計(jì)算得到的反射矩陣包含了入射縱（P）波反射、透射、轉(zhuǎn)換波和多次波等的影響。對頻變AVO反射系數(shù)與子波頻譜F（ω）作反傅里葉變換可計(jì)算得到疊前地震數(shù)據(jù)：

f_PP=12π∫⁺_-R_PP（ω，θ）·F（ω）e^iωtdω。（21）

1.3"基于貝葉斯理論的多組裂縫儲(chǔ)層參數(shù)反演方法

統(tǒng)計(jì)學(xué)反演是一種從地震數(shù)據(jù)推斷巖石性質(zhì)的常用方法^[39-40]。本文基于疊前地震數(shù)據(jù)構(gòu)建了聯(lián)合估計(jì)裂縫儲(chǔ)層模型多組裂縫參數(shù)的貝葉斯反演框架，其中，模型中所有其他參數(shù)均被視為已知。在貝葉斯反演框架中，疊前地震觀測數(shù)據(jù)對儲(chǔ)層裂縫參數(shù)的貝葉斯后驗(yàn)概率公式為

P（X|D）=P（D|X）·P（X）∫P（D|X）·P（X）dX。（22）

式中：X為儲(chǔ)層模型中未知的裂縫參數(shù)；D為模型觀測數(shù)據(jù)；P（X）為儲(chǔ)層裂縫參數(shù)的先驗(yàn)概率；P（D|X）為似然函數(shù)；∫P（D|X）·P（X）dX為概率歸一化因子；P（X|D）為后驗(yàn)概率。

本文提出的基于各向異性反射率法的貝葉斯框架反演框架流程如下。

1）輸入模型參數(shù)，統(tǒng)計(jì)模型先驗(yàn)信息和模型觀測數(shù)據(jù)；

2）假設(shè)其他模型參數(shù)已知，輸入不同的裂縫參數(shù)，由各向異性反射率法正演計(jì)算模型的頻變AVO合成地震記錄f（D）；

3）通過計(jì)算模型觀測數(shù)據(jù)與正演合成地震記錄之間的誤差，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)：

ΔE=∑D-f（D）₂。（23）

4）通過對誤差函數(shù)做指數(shù)變換，計(jì)算似然函數(shù)^[41]：

P（D|X）∝a·exp（-b，ΔE）。（24）

式中：a為歸一化系數(shù)；b=30^[32]。

5）觀測數(shù)據(jù)的反演裂縫參數(shù)（孔隙度、裂縫密度和裂縫半徑）的后驗(yàn)概率可由式（22）計(jì)算得到。

2"理論模型分析

2.1"裂縫參數(shù)對含水平-垂直正交裂縫模型的頻散和衰減

水平-垂直正交裂縫理論模型參數(shù)見表1。基于多尺度Chapman動(dòng)態(tài)等效介質(zhì)模型計(jì)算的水平-垂直正交裂縫介質(zhì)模型垂直速度頻散和衰減因子變化曲線見圖1。圖1表明，在地震頻帶內(nèi)，垂直縱波速度表現(xiàn)出明顯的頻散和衰減特征，而垂直橫波速度由于受頻率非相關(guān)參數(shù)C₅₅的影響，未表現(xiàn)出隨頻率變化的趨勢。

為研究裂縫參數(shù)對模型頻散特征的影響，本文計(jì)算了不同裂縫參數(shù)情況下正交裂縫介質(zhì)模型的縱波速度頻散和衰減因子隨頻率的變化情況，結(jié)果如圖2所示。圖2a、c、e顯示，當(dāng)模型的孔隙度、裂縫密度和裂縫半徑分別變化時(shí)，模型的頻散現(xiàn)象顯著，垂直縱波速度隨頻率的增加先增大，當(dāng)頻率達(dá)到100 Hz后逐漸趨于平緩，并達(dá)到最大值。圖2d、e、f顯示，隨著裂縫參數(shù)的變化，模型衰減峰值的頻帶位置發(fā)生移動(dòng)。

由于在不同裂縫參數(shù)條件下，正交裂縫縱波速度頻散與衰減存在明顯差異，因此可以利用這些差異對應(yīng)的地震頻散屬性進(jìn)行儲(chǔ)層裂縫參數(shù)的預(yù)測。

2.2"裂縫參數(shù)對正交裂縫儲(chǔ)層的頻變AVO響應(yīng)

在驗(yàn)證反演方法有效性之前，需要研究正交裂縫儲(chǔ)層中待反演裂縫參數(shù)變化對PP波頻變反射系數(shù)的影響，并分析PP波頻變AVO響應(yīng)的敏感性。根據(jù)圖2a、c、e所示的含不同裂縫參數(shù)情況下的縱波速度頻散曲線，本文構(gòu)建了一個(gè)上層為各向同性頁巖、下層為含水平垂直正交裂縫頻散砂巖的單界面儲(chǔ)層模型，頁巖層的彈性參數(shù)為：v_P=4.3 km/s，v_S=2.3 km/s，ρ=2.65 g/cm³，ε=0.2，δ=0.15，γ=0.1（ε、δ、γ為各向異性參數(shù)）。進(jìn)一步，采用各向異性反射率法對單界面儲(chǔ)層模型進(jìn)行模擬計(jì)算。假設(shè)入射地震波主頻為25 Hz的雷克子波，將方位角設(shè)置為30°，入射角范圍設(shè)定為0°～30°，根據(jù)式（21）計(jì)算PP波反射系數(shù)隨頻率和入射角的變化，并得到相應(yīng)的地震合成記錄，結(jié)果分別如圖3和圖4所示。結(jié)果顯示，在單界面儲(chǔ)層模型中，由于不同孔隙度、裂縫密度和裂縫半徑對應(yīng)的速度頻散與衰減特征不同（圖2），頻變反射系數(shù)隨頻率變化的特征也有所差異，在不同裂縫參數(shù)的情況下，PP波反射系數(shù)在地震頻帶內(nèi)均有顯著的頻變響應(yīng)（圖3），反射振幅隨著入射角的增大而增加（圖4）。因此，通過建立更精細(xì)的裂縫儲(chǔ)層模型計(jì)算頻變AVO響應(yīng)，同時(shí)反演儲(chǔ)層多組裂縫參數(shù)的方案是可行的。

2.3"基于貝葉斯理論的正交裂縫儲(chǔ)層裂縫參數(shù)反演

根據(jù)上述對儲(chǔ)層裂縫參數(shù)的敏感性分析，選取水平-垂直正交儲(chǔ)層裂縫密度分別為ε_f1=0.05、ε_f2=0.02，其他背景參數(shù)保持不變，對其進(jìn)行單界面儲(chǔ)層的正演計(jì)算，結(jié)果如圖5a所示。為模擬實(shí)際地震情況，我們在合成地震記錄中加入了10%的高斯噪聲，計(jì)算結(jié)果如圖5b所示。隨后采用1.3小節(jié)中提出的貝葉斯反演步驟，對兩組裂縫密度的數(shù)值進(jìn)行定量反演。圖6為掃描ε_f1和ε_f2的組合計(jì)算觀測數(shù)據(jù)和模型響應(yīng)之間的失配度，從而計(jì)算得到似然函數(shù)P（D|ε_f1，ε_f2）。圖7為相應(yīng)的先驗(yàn)概率分布P（ε_f1，ε_f2），假設(shè)先驗(yàn)信息ε_f1是正態(tài)分布，ε_f2是均勻分布。最后，利用式（22）計(jì)算得到后驗(yàn)概率P（ε_f1，ε_f2|D）。圖8顯示了不含噪聲和含10%噪聲時(shí)儲(chǔ)層兩組裂縫密度（ε_f1，ε_f2）的后驗(yàn)概率分布，結(jié)果表明：在不含噪聲的情況下，反演得到的兩組裂ε_f1為正態(tài)分布；ε_f2為均勻分布。

縫密度ε_f1、ε_f2分別約為0.05和0.02；在含噪聲的情況下，反演得到的兩組裂縫密度ε_f1、ε_f2同樣約為0.05和0.02。反演結(jié)果說明，盡管數(shù)據(jù)中存在噪聲，貝葉斯反演方法依然能夠準(zhǔn)確估計(jì)兩組裂縫密度。

進(jìn)一步地，通過改變正交裂縫儲(chǔ)層的先驗(yàn)信息，重復(fù)貝葉斯反演步驟，預(yù)測儲(chǔ)層的孔隙度和裂縫半徑，從而驗(yàn)證該方法的有效性和適用性。圖9展示了在已知裂縫密度和孔隙度作為先驗(yàn)信息的條件下，當(dāng)儲(chǔ)層孔隙度分別為10%和25%時(shí)貝葉斯反演的后驗(yàn)概率。從圖9中可以看出，孔隙度較大的儲(chǔ)層反演結(jié)果的精度更高。圖10展示了在已知裂縫密度和裂縫半徑作為先驗(yàn)信息的條件下，當(dāng)儲(chǔ)層裂縫半徑分別為a_f1=0.05 m和a_f1=1.00 m時(shí)貝葉斯兩組裂縫密度的真實(shí)值ε_f1=0.05、ε_f2=0.02用白色圓圈表示。

真實(shí)值用白色圓圈表示：a. ε_f1=0.05，φ_p=10%；b. ε_f1=0.05，φ_p=25%。

真實(shí)值用白色圓圈表示：a. ε_f1=0.05，a_f1=0.05 m；b. ε_f1=0.05，a_f1=1.00 m。

反演的后驗(yàn)概率。通過比反演結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，反演方法能夠準(zhǔn)確識別較小尺度的裂縫，但對大尺度裂縫的識別精度較弱。

3"結(jié)論

針對含流體的正交裂縫儲(chǔ)層模型，本文提出了一種基于貝葉斯框架的含飽和流體正交裂縫儲(chǔ)層參數(shù)反演方法，得到以下結(jié)論：

1）基于Chapman給出的具有不同方向和尺度的頻率依賴動(dòng)態(tài)等效模型，當(dāng)兩組裂縫方向?yàn)樗胶痛怪闭粫r(shí)，裂縫參數(shù)（孔隙度、裂縫密度和裂縫半徑）的變化對速度頻散具有較強(qiáng)的敏感性。

2）不同裂縫參數(shù)對頻變AVO響應(yīng)有顯著影響，尤其在特定頻率和入射角下，反射系數(shù)的變化尤為明顯。

3）裂縫儲(chǔ)層參數(shù)反演結(jié)果顯示，該方法在孔隙度和裂縫密度的反演中具有較高的適用性和準(zhǔn)確性；對于裂縫半徑的反演結(jié)果，本方法在含小尺度裂縫儲(chǔ)層中的反演精度明顯優(yōu)于含大尺度裂縫的儲(chǔ)層。這表明，本文提出的貝葉斯反演方法在裂縫儲(chǔ)層參數(shù)估計(jì)中具有良好的應(yīng)用前景，尤其在處理小尺度裂縫時(shí)表現(xiàn)出更高的精度和可靠性。

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