摘要：數(shù)學的學科特點決定了數(shù)學成績與數(shù)學能力是成正相關(guān)的.研究中考試題對學生數(shù)學能力的考查方式，并以此為目標來培養(yǎng)學生，有利于教師準確把握教學方向，提高初中數(shù)學教學效率.只有在教學中有意識地培養(yǎng)學生的數(shù)學能力，才能夠達到“授人以漁”的教學效果，讓學生成為數(shù)學的研究者，從而提高學生分析問題和解決問題的能力，促使學生全面發(fā)展.

關(guān)鍵詞：中考試題；數(shù)學能力；考查方式

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）08-0041-03

收稿日期：2024-12-15

作者簡介：袁舜，本科，一級教師，從事初中數(shù)學教學研究.

在中考數(shù)學試題中，對學生數(shù)學能力的考查大致有六個方面，即數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模、數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理.在中考試題注重學生數(shù)學能力考查的背景下，傳統(tǒng)的“題海戰(zhàn)術(shù)”“模式化解題”已不能滿足初中數(shù)學教學需求.從教師的角度來說，研究中考試題不但能夠準確把握不同知識點的考查方式，而且還能夠了解其對不同能力的具體要求，從而在教學中做到有的放矢.筆者對近幾年南京市中考試題展開研究，分析中考試題對不同數(shù)學能力的考查方式及常見題型，供讀者參考.

1中考試題對不同能力的考查方式

1.1對數(shù)學運算的考查方式

在初中數(shù)學教學中，學生需掌握的數(shù)學運算包括實數(shù)的運算、整式的運算、解方程（組）或解不等式（組）.數(shù)學運算能力屬于數(shù)學的基礎(chǔ)能力之一，在中考中的考查方式通常為直接考查，其題型為選擇題、填空題以及計算題.

例1（2023年南京）整數(shù)a滿足19lt;alt;29，則a的值為（）.

A.3B.4C.5D.6

例2（2021年南京）解不等式組2x-1lt;0，

x-14lt;x3，并寫出它的整數(shù)解.

由以上兩例可以看出，中考對數(shù)學基本計算能力的要求較為基礎(chǔ).為此，在初中數(shù)學教學中，教師應注意嚴格訓練，讓學生形成“能算”“會算”“算準”的能力，從而使其能夠準確地解答這些基礎(chǔ)性計算題目，避免因疏忽而造成計算失誤.

1.2對數(shù)據(jù)分析能力的考查方式

在歷年中考中，以直接命題的方式考查學生的數(shù)據(jù)分析能力.通常給出一組數(shù)據(jù)，考查學生的數(shù)據(jù)整理能力.對于數(shù)據(jù)分析能力的考查，一般圍繞簡單的統(tǒng)計學概念進行考查，題型一般為解答題.

例3（2022年南京）某企業(yè)想要評估A、B兩家送餐公司，分別連續(xù)選擇A、B公司各10日，記錄送餐用時（單位：min）如表1所示：

根據(jù)上表數(shù)據(jù)繪制的折線統(tǒng)計圖如圖1所示：

（1）根據(jù)上述信息，請你幫該企業(yè)選擇合適的公司訂餐，并簡述理由；

（2）如果某工作日該企業(yè)希望送餐用時不超過20 min，應選擇哪家公司？請簡述理由．

本題以表格的形式給出數(shù)據(jù)，可直接利用統(tǒng)計學知識分析數(shù)據(jù).對于問題（1），可從平均水平或穩(wěn)定性兩個角度去分析，以此選擇合適的訂餐公司，答案不唯一；對于問題（2），可從圖表信息中找出送餐用時不超過20 min的次數(shù)更多的訂餐公司.也就是說，只要清楚統(tǒng)計的相關(guān)概念，掌握簡單的數(shù)據(jù)整理和分析方法，此題便可以得到滿分.不過，中考對于數(shù)據(jù)分析能力的考查不僅僅局限在統(tǒng)計上，方程、不等式及函數(shù)的應用，幾何證明題、直角三角形中的三角函數(shù)都有可能給出較多數(shù)據(jù)，考查學生對于數(shù)量數(shù)據(jù)、圖形數(shù)據(jù)的整理和分析能力.

1.3對數(shù)學建模的考查方式

在歷年中考中，主要通過解決問題考查學生的數(shù)學建模能力，其考查范圍比較廣泛，實數(shù)、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)，都有與之對應的應用問題.

例4（2022年南京）某蔬菜基地有甲、乙兩個用于灌溉的水池，分別有水1 200 m3、300 m3.現(xiàn)向甲、乙同時注水至注滿，已知兩水池的最大儲水量均為3 000 m3，水管出水量恒定為100 m3，其中某一水池注滿，則停止向該水池注水，改為向另一水池單獨注水，直至兩水池均注滿為止.設(shè)注水第x min時，甲、乙水池的水量分別為y1 m3、y2 m3.

（1）若每分鐘向甲水池注水40 m3，分別寫出y1、y2與x之間的函數(shù)表達式；

（2）若每分鐘向甲水池注水50 m3，畫出y2與x之間的函數(shù)圖象；

（3）若每分鐘向甲水池注水a(chǎn) m3，則甲水池比乙水池提前3 min注滿，求a的值．

本題是一道經(jīng)典的“水池放水”問題.在解決問題過程中，學生需要先處理數(shù)據(jù)，并梳理數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，但許多學生經(jīng)常容易忽略這個問題，通常是“問什么，設(shè)什么”.因此，在初中數(shù)學教學中，教師要重視培養(yǎng)學生選擇參數(shù)的謹慎性.本題已經(jīng)給出相關(guān)的自變量和因變量，可以把重點放在確定自變量范圍以及兩者的數(shù)量關(guān)系上.已知“其中某一水池注滿，則停止向該水池注水，改為向另一水池單獨注水”，這需要學生能夠敏銳捕捉并提出問題：甲乙兩個水池哪個先注滿水？即先確定x的范圍，然后再尋找兩個函數(shù)的表達式.通過計算得知，在（1）問中兩個水池同時注滿，所以兩水池的注水速度始終不變，y1、y2與x的函數(shù)表達式唯一.但在（2）問中，甲先注滿水，則向乙池中注水的速度就分為兩段，y2是關(guān)于x的分段函數(shù).

由此可以看出，中考重點考查學生是否能從題干中篩選有效信息，并提出對解決問題起到關(guān)鍵作用的小問題.也就是說，中考著重考查轉(zhuǎn)化問題的能力或?qū)⒋髥栴}拆分成幾個小問題的能力.在初中數(shù)學教學中，教師應注意在情境中訓練學生的建模能力，只有引領(lǐng)學生走進情境之中，才能讓學生的綜合能力得到提升，并逐漸形成解決生活實際問題的數(shù)學思維.在問題解決過程中，逐漸獲得成就感，增強學生解答數(shù)學問題的自信心，進而全面發(fā)展其核心素養(yǎng)，讓數(shù)學真正走進學生的生活[1].

1.4對數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象的考查方式

在初中數(shù)學學科中，數(shù)學抽象是一項至關(guān)重要的核心素養(yǎng)，對學生的數(shù)學學習和解題能力具有重要作用[2].對于此能力的考查，經(jīng)常與邏輯推理和直觀想象相結(jié)合，以綜合性幾何題的形式出現(xiàn).

例5（2021年南京）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？

（1）如圖2，A點在圓錐的地面圓周上，B點為母線OC的中點.已知母線長為12 cm，弧AC=4 πcm.請求出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑的長（結(jié)果保留根號）．

（2）圖3是將母線長為l的圓錐正放在高為h圓柱上組合成的幾何體，圓錐與圓柱的底面半徑相同.O是圓錐的頂點，點A在圓柱的底面圓周上.

①螞蟻從點A爬行到點O的最短路徑的長為（用含l，h的代數(shù)式表示）．

②在母線OC上有一點B，則螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑如何？如果設(shè)弧AC=a，OB=b，請寫出求最短路徑的長的思路．

本題首先考查學生對空間圖形的直觀想象能力，其次考查抽象問題的能力，即從題干給出“兩點之間線段最短”的簡單問題，抽象并轉(zhuǎn)化成具體要解決的問題.以問題（1）為例，顯然是要求A、B兩點的最短距離，A為動點，B為定點.據(jù)此提出問題：定直線外一個有固定運動軌跡的動點，何時到該定直線上某一定點的距離最?。窟@便將兩點之間距離的問題轉(zhuǎn)化成了點與直線的距離問題，顯然只需要過定點作垂線，與固定軌跡相交即可.這一步驟既包含了問題轉(zhuǎn)化的數(shù)學抽象能力，也包含了從“兩點距離”到“點與直線距離”之間的推理能力.問題（2）更加復雜，在（1）問的基礎(chǔ)上又添加了一個幾何體，進一步考查直觀想象能力.不但要求想象圖形，還要求能夠較為精確地作出圖形，如圖4所示.

顯然，當A、B之間的距離最短時，A、B、G三點共線.根據(jù)題干信息，易聯(lián)想到能夠在幾何圖形中定量計算的相關(guān)定理和概念有弧長公式、直角三角形中的銳角三角函數(shù)及勾股定理.在解決本題時，需要選擇一個合適的線段作為未知數(shù)，通過列方程求解.可以發(fā)現(xiàn)，弧GC與線段GC是關(guān)鍵量，可以設(shè)GC=x，根據(jù)弧長公式可表示出∠COG，再在△ABH中利用勾股定理即可得到關(guān)于x的方程，進而求解.

顯然，此題有以下幾個關(guān)鍵點：一是想到展開前的弧與展開后的線段長度相等，這主要考查學生的直觀想象能力；二是提出問題：哪一條線段的長度可以和已知條件給出的量聯(lián)系起來，并能夠根據(jù)三角函數(shù)或勾股定理建立起定量關(guān)系？這主要考查學生的直觀想象和數(shù)學抽象思維能力；三是作出相關(guān)輔助線，把各個量放到圖形中，并思考用什么概念或定理列方程，這主要考查學生的邏輯推理能力.可以發(fā)現(xiàn)，中考對學生的數(shù)學抽象邏輯推理、直觀想象能力要求較高.在初中數(shù)學教學中，教師應適當“放手”，才能讓學生逐漸形成獨立解答問題的能力.

2結(jié)束語

通過分析發(fā)現(xiàn)，中考對不同數(shù)學能力的考查方式和要求難度有所不同.不同數(shù)學能力并不能完全割裂開去看待，對不同數(shù)學能力的考查也是“你中有我，我中有你”.因此，中考考查的數(shù)學能力是一種學科綜合能力.在初中數(shù)學教學中，教師應注意不同數(shù)學能力之間的聯(lián)系，讓學生形成較為完整的數(shù)學眼光和思想，做到用數(shù)學的眼光看世界.

參考文獻：

［1］ 張延娥.新課標理念下初中數(shù)學單元作業(yè)設(shè)計：以《二元一次方程組》為例[J].山東教育，2023（14）：52-54.

[2] 盛茜.立足基本環(huán)節(jié)提升核心素養(yǎng)：以培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)為例[J].高中數(shù)學教與學，2023（13）：1-4.

［責任編輯：李慧嬌］