摘 要：拱壩等效處理后的主應(yīng)力是拱壩應(yīng)力重要的控制指標。針對常用的有限元等效應(yīng)力法計算得到的主應(yīng)力和大型有限元軟件計算輸出主拉應(yīng)力、主壓應(yīng)力后直接等效處理的主應(yīng)力是否一致的問題，結(jié)合實際工程開展某高拱壩基本組合工況應(yīng)力變形計算，進而探討了二者的可換性。研究結(jié)果表明：壩踵和壩趾應(yīng)力依賴網(wǎng)格尺寸，等效處理后，應(yīng)力集中能較好地消減；采用傳統(tǒng)的有限元等效應(yīng)力法等效步驟計算得到的主應(yīng)力和由大型有限元軟件輸出的主應(yīng)力直接進行等效處理的主應(yīng)力較接近，誤差基本在5%以內(nèi)，2種等效步驟具有可換性。

關(guān)鍵詞：拱壩；等效應(yīng)力；有限元法；主應(yīng)力；應(yīng)力集中

中圖分類號：TV315 文獻標識碼：A 文章編號：1001-9235（2025）03-0009-07

Convertibility of Stress Equivalence Steps for Finite Element Calculations of Arch Dam

FU Yuchen1， WANG Yajun2， YU Jin1

（1. College of Hydraulic and Environmental Engineering， Three Gorges University， Yichang 443002， China; 2. School of Marine"Engineering Equipment， Zhejiang Ocean University， Zhoushan 316100， China）

Abstract： The principal stress of an arch dam after the equivalent treatment is an important control index of arch dam stress. To explore whether the principal stress calculated by the common finite element equivalent stress method is consistent with the principal stress obtained from direct equivalent treatment of the output principal tensile stress and principal compressive stress calculated by the large finite element software， this paper carried out the stress and deformation calculations of a high-arched dam under the basic combination of conditions through the actual project and then explore the convertibility between the two steps. The results show that the stresses in the heel and toe of the dam are dependent on the mesh size， and the stress concentration can be better reduced after the equivalent treatment; the principal stress calculated by the traditional equivalence step of the finite element equivalent stress method is closer to the principal stress obtained from direct equivalent treatment of the principal stress output by the large finite element software， and the error is basically within 5%， two equivalence steps are convertible.

Keywords： arch dam; equivalent stress; finite element method; principle stress; stress concentration

有限元等效應(yīng)力法是在有限元計算結(jié)果的基礎(chǔ)上，應(yīng)用材料力學(xué)的方法對其進行線性化處理的拱壩應(yīng)力計算方法，即通過將整體坐標系下的應(yīng)力轉(zhuǎn)換為局部坐標系，然后沿拱壩厚度方向積分得到拱向內(nèi)力和梁向內(nèi)力，并采用材料力學(xué)法計算壩內(nèi)應(yīng)力，可有效消除有限元法計算拱壩應(yīng)力時的顯著應(yīng)力集中和應(yīng)力數(shù)值對網(wǎng)格尺寸的依賴性，因此該方法是當前拱壩應(yīng)力設(shè)計中最常用的應(yīng)力分析方法。

自從朱伯芳［1］和傅作新［2］提出了有限元等效理念以來，廣大科技工作者結(jié)合國內(nèi)不同類型的拱壩開展了大量研究，如朱穎儒等［3］以天花板雙曲拱壩為依托，針對其應(yīng)力集中問題采用ADINA軟件計算應(yīng)力并進行等效應(yīng)力處理；程宏遠等［4］通過等效應(yīng)力分析，有效解決東南某高壩應(yīng)力集中現(xiàn)象。與此同時，在有限元等效應(yīng)力法的基礎(chǔ)上，楊強等［5］提出了一種適合分析拱壩建基面等效正應(yīng)力的直接內(nèi)力法，并沿高程將每段建基面曲面采用等效矩形求解其內(nèi)力，最后根據(jù)材料力學(xué)公式得到建基面任意點的線性化等效正應(yīng)力；李同春等［6］改進了傳統(tǒng)的有限元內(nèi)立法求解拱壩等效應(yīng)力的方法，并以溪洛渡拱壩為背景，計算了水壓、自重以及溫度荷載作用下不同網(wǎng)格尺寸對等效應(yīng)力的影響；傅作新等［7］提出在壩基面布置一層薄層單元，單元厚度一般取壩高1/200～1/100；鄧宇軒等［8］利用ANASYS并借助surfer實現(xiàn)有限元等效應(yīng)力分析，探究了不同拱壩加固方案對其壩體應(yīng)力分布影響；孫林松等［9］基于最小二乘法采用三次多項式對拱壩主要應(yīng)力分量，提出拱壩三次等效應(yīng)力計算方法，并以小灣拱壩為例進行了網(wǎng)格敏感性分析。由此可見，有限元等效應(yīng)力法在拱壩應(yīng)力計算和分析中發(fā)揮了重要的作用。

由于大型有限元軟件具有強大的建模能力、多物理場耦合能力以及豐富的單元庫和材料模型庫等優(yōu)勢，同時還可以考慮復(fù)雜基礎(chǔ)、孔口以及不規(guī)則外形等多種因素的影響，近年來廣泛應(yīng)用于各類水工結(jié)構(gòu)數(shù)值計算分析中。當采用大型有限元軟件進行拱壩結(jié)構(gòu)數(shù)值計算時，能快速準確地計算獲得整體坐標系下的應(yīng)力分量和主應(yīng)力分量。然而由于大型有限元軟件計算輸出的應(yīng)力分量沒有進行等效處理，仍然存在應(yīng)力集中和應(yīng)力數(shù)值網(wǎng)格尺寸依賴性。此時，需要采用上述常用的有限元等效應(yīng)力法對大型有限元軟件計算輸出的應(yīng)力分量進行二次等效處理。由于等效后的主拉應(yīng)力和主壓應(yīng)力是拱壩應(yīng)力的控制指標，若能直接對大型有限元軟件計算輸出的主拉應(yīng)力和主壓應(yīng)力進行等效處理，可以大大減小計算的工作量，然而直接由計算輸出的主拉應(yīng)力和主壓應(yīng)力進行等效處理的主應(yīng)力和由常用的有限元等效應(yīng)力法等效步驟計算的主應(yīng)力是否一致的問題，目前尚未見有關(guān)文獻進行報道。為此，本文依托某運行期高拱壩實際工程，探討拱壩有限元計算應(yīng)力等效步驟的可換性。

1 拱壩有限元應(yīng)力等效計算原理

1. 1 常用有限元等效應(yīng)力法等效步驟

通常用有限元法計算［10-12］得到的是整體坐標系（x'，y'，z'）的應(yīng)力，在圖1所示拱圈中圍繞O點建立局部坐標系（x，y，z）。在整體坐標系下x軸平行于拱中線的切線方向，指向右岸為正；y軸平行于半徑方向，指向上游為正；z軸鉛直豎直向上；r為拱截面半徑；t為厚度。

圖中局部坐標系和整體坐標系中的應(yīng)力可以按照方向余弦進行相互轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

ìxü??él1m1n1ùìx'ü??

??????êêúú??????

式中：li、mi、ni分別為x、y、z的方向余弦，在坐標系轉(zhuǎn)換中z與z'同軸，x'轉(zhuǎn)至x角度為α，且逆時針為正。通過有限元計算得到整體坐標系中應(yīng)力，{σ'}=

σy'

σz' τx'y'τy'z']T ，則局部坐標系下應(yīng)力根據(jù)應(yīng)力轉(zhuǎn)換可得：

[σ]=[T]{σ'}

其中：

在某一節(jié)點處，梁的水平截面在拱中心線上選取單位寬度，則在y點處的寬度為1+y/r， r為中心線的半徑，沿厚度方向?qū)α旱膽?yīng)力及其距離進行積分，則可得到梁在水平截面上的內(nèi)力，同時在單位高度拱圈的徑向鉛直截面，對拱應(yīng)力和力矩積分，可得到拱截面上的內(nèi)力表達式。根據(jù)剪應(yīng)力對稱原則，拱的豎向剪力和扭矩一般不必計算，經(jīng)上述公式可計算出拱與梁的內(nèi)力，再根據(jù)朱伯芳院士等［13］提出的材料力學(xué)公式計算拱梁截面上的等效應(yīng)力。根據(jù)彈性力學(xué)原理，進一步求得壩面的主應(yīng)力。根據(jù)材料力學(xué)知識，假設(shè)在壩體表面存在一個只有正應(yīng)力作用、切應(yīng)力等于零的面，該面上的全應(yīng)力等于該面上的正應(yīng)力，即主應(yīng)力σ。根據(jù)空間微元體平衡方程，推導(dǎo)出各應(yīng)力分量與主應(yīng)力方向的余弦公式［14］見式（4）：

lσ+mxτyx+nτzx=lσü

同時，方向余弦的關(guān)系式見式（5）：l2+m2+n2= 1

將式（4）改寫成式（6）：

由于式（5）的存在，因此，l、m、n不可能同時為零，即式（6）應(yīng)有非零解。此時非零解的條件是其系數(shù)矩陣行列式應(yīng)為零，即：

展開式（7）可得特征方程為：

σ3-I1σ2+I2σ-I3=0（8）根據(jù)上述方程，可解出3個特征根σ1、σ2、σ3，即

l1n3+l3n1?

可知拱壩上下游面的最大主應(yīng)力σ1和最小主應(yīng)力σ3。

1. 2 大型有限元軟件計算輸出主應(yīng)力等效步驟

由于現(xiàn)行拱壩設(shè)計規(guī)范中的等效應(yīng)力法在計算時，需要考慮各個截面的應(yīng)力分布和相互之間的相互作用，以及拱壩的復(fù)雜性，導(dǎo)致等效處理的計算量較大。本文提出用有限元軟件計算輸出的主拉應(yīng)力和主壓應(yīng)力直接進行等效處理。

步驟一 建立拱壩三維有限元模型，施加相應(yīng)的本構(gòu)模型、參數(shù)、荷載和邊界條件，計算拱壩的變形和應(yīng)力。

步驟二 提取不同高程處的左右拱端節(jié)點的應(yīng)力分量以及主應(yīng)力分量，由提取的應(yīng)力分量沿路徑進行積分處理，求出合力和合力矩；與此同時，由提取的主應(yīng)力分量，沿路徑進行積分處理，求得相應(yīng)的主應(yīng)力合力和主應(yīng)力合力矩。

步驟三 根據(jù)求出的合力和合力矩，對其進行等效處理，即合力∫σdx和合力矩∫σxdx，之后將合力和合力矩二式聯(lián)立，即可計算等效后上下游面的最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力；與此同時，由步驟二計算的主應(yīng)力合力和主應(yīng)力合力矩，直接進行線性等效得到上下游面的等效主應(yīng)力。

2 實例分析

2. 1 工程簡介

某高拱壩工程位于中國華中地區(qū)，壩高91 m，壩頂高程589. 00 m，壩底高程498 m。正常蓄水位585. 00 m，設(shè)計洪水位585. 20 m，校核洪水位588. 11 m；年平均氣溫為15. 4 ℃，氣溫年變幅為11. 8 ℃，庫水表面年均水溫為19. 2 ℃，庫水表面水溫年變幅為11. 3 ℃，上游庫底水溫為10 ℃，其混凝土設(shè)計標號為R90200，拉應(yīng)力基本工況下不得超過控制標準1. 5 MPa。

2. 2 三維有限元模型建立

a））有限元模型。本文采用大型有限元軟件MSC. Marc進行計算仿真分析，根據(jù)拱壩體型參數(shù)和基礎(chǔ)情況，采用六面體八節(jié)點單元等參單元進行壩體和地基網(wǎng)格剖分。左右岸巖體取以拱壩兩端為基準沿X方向各延伸約2倍壩高范圍，上下游巖體以壩基上下游面為基準各延伸約2倍壩高范圍，基礎(chǔ)巖體深為1. 5倍壩高范圍。模型坐標系統(tǒng)順河向Y軸指向拱壩下游為正，橫河向X軸指向拱壩左岸為正。整體模型網(wǎng)格剖分基本采用8節(jié)點六面體單元，局部采用四面體單元過渡。計算網(wǎng)絡(luò)單元數(shù)為8 756，節(jié)點數(shù)為3 525，計算時，根據(jù)具體工況進行加載。為提高模型計算壩體應(yīng)力精度，本次計算模型壩體沿厚度方向分為6層單元，拱壩整體及壩體三維有限元模型見圖2。

b））材料參數(shù)。計算參數(shù)依據(jù)設(shè)計資料確定，其中壩體混凝土容重為24 kN/m3，彈性模量取18. 87 GPa，線脹系數(shù)為0. 7×10-5/℃，壩體泊松比為0. 167；基巖變形模量取8 ～ 10 GPa，泊松比為0. 27。

c））邊界條件。在邊界條件處理時，為了既保證有限元計算結(jié)果的可靠性和精度，又能簡化計算過程中的繁瑣性，對結(jié)構(gòu)邊界條件進行適當且符合實際情況的簡化。計算時，模型底部施加三向位移約束，限制X、Y、Z三軸方向的自由度，地基順河向上、下游面以及橫河向左右面均施加法向約束。

2. 3 計算荷載與計算工況

自重是壩體的主要荷載之一，它直接影響壩體的穩(wěn)定性。壩體自重會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)下部的壓力增大，從而影響整體穩(wěn)定性和變形。通過準確計算自重，可以確保壩體在承受自身重力時不會發(fā)生過度的沉降或傾斜。靜水壓力是水體對壩體施加的主要荷載，通常隨著水位的升高而增加。靜水壓力不僅影響壩體的穩(wěn)定性，還會影響壩體的變形、滑移和抗?jié)B性能。因此，準確計算靜水壓力對于確保壩體在正常操作和極端情況下的安全性至關(guān)重要。壩體材料的熱膨脹和收縮會導(dǎo)致溫度荷載。這種荷載可能會引起壩體的內(nèi)部應(yīng)力變化，從而影響結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和耐久性。特別是在溫度變化劇烈的地區(qū)，忽視溫度荷載可能會導(dǎo)致壩體出現(xiàn)裂縫等關(guān)鍵結(jié)構(gòu)性問題。所以，在本文計算過程中，重點考慮壩體自重、靜水壓力和溫度荷載。由于拱壩上游泥沙淤積不明顯，且在拱壩設(shè)計過程中，泥沙荷載影響相對較小，加上設(shè)計的保守性，故本次計算忽略泥沙荷載影響。計算荷載組合選取了正常高水位+整體自重+溫度荷載（溫升）荷載組合進行計算。溫度荷載主要采用朱伯芳院士［15］提出的計算方法并參照SL 282—2018《混凝土拱壩設(shè)計規(guī)范》［16］，主要求出Tm和Td，拱壩溫度荷載計算［7，17-24］按式（10）、（11）求解：

Tm＝Tm1－Tm0＋Tm2 Td＝Td1－Td0＋Td2

式中：Tm0

為封拱時平均溫度；Td0為封拱時的等效溫差，由于在實際工程中常采取雙向?qū)ΨQ通水冷卻的方法，致使封拱溫度場的等效線性溫差為0；Tm1、Td1分別為與壩體多年年平均溫度場確定的截面平均溫度和等效線性溫差；Tm2、Td2分別為與壩體多年平均溫度場確定的截面平均溫度和等效線性溫差。不同高程處設(shè)計封拱溫度及溫升荷載見表1。

在計算工況的選取上，共選取了2種工況進行對比分析：工況一，采用常用的拱壩有限元等效應(yīng)力法等效步驟計算，獲得上下游面主應(yīng)力；工況二，由大型軟件計算主應(yīng)力直接進行等效處理計算，獲得上下游面主應(yīng)力。

3 有限元計算結(jié)果分析

3. 1 大型有限元軟件計算拱壩主應(yīng)力

規(guī)定拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負，應(yīng)力輸出單位為MPa。計算時，直接計算獲得不同高程拱圈左右拱端沿順河向的應(yīng)力分量和主應(yīng)力分量，之后通過VBA編程對計算得出的主應(yīng)力進行等效處理，得出拱壩不同高程左右拱端的最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力。壩體上下游面最大和最小主應(yīng)力等值線見圖3。

由圖3計算結(jié)果可知：有限元軟件計算后得出的拱壩最大主拉應(yīng)力和最大主壓應(yīng)力均有存在應(yīng)力集中的區(qū)域，從等直線圖來看，最大主拉應(yīng)力出現(xiàn)在拱壩上游面526 m拱端以及壩基-壩體交界處，最大主拉應(yīng)力值為1. 8 MPa，超過混凝土允許抗拉強度［16］。最大主壓應(yīng)力出現(xiàn)在下游面左右拱端510 m高程處，其值并未超過壩體抗壓標準［16］。主要由于從壩頂?shù)綁位?，拉?yīng)力呈逐漸增大趨勢。從主應(yīng)力等值線圖可知，拱壩主應(yīng)力基本呈現(xiàn)關(guān)于拱冠梁左右對稱，拱壩左、右岸坡壩段兩拱端以及壩基-壩基交界處拉應(yīng)力明顯大于中間河床壩段拱冠處。主要由于該部位幾何及材料呈高度非線性，網(wǎng)格單元較中間河床壩段密集，存在一定應(yīng)力集中現(xiàn)象。此外，拱壩高高程處應(yīng)力小，而低高程處應(yīng)力相對較大。這是由于拱壩受到水壓及自重等荷載共同作用，水壓力隨深度增加而增加，低高程處上游面受到更大的水壓力。而溫度的變化也會引起結(jié)構(gòu)的熱膨脹或收縮，從而產(chǎn)生額外的內(nèi)力和應(yīng)力，并且還可能引起結(jié)構(gòu)的非均勻變形，從而導(dǎo)致應(yīng)力的集中。所以，大型有限元軟件計算輸出的應(yīng)力分量如果沒有進行等效處理，仍然存在應(yīng)力集中和應(yīng)力數(shù)值網(wǎng)格尺寸依賴性等問題，所以有必要對有限元計算結(jié)果進行二次等效處理。

3. 2 拱壩應(yīng)力等效處理與分析

重點對比了常用的有限元等效應(yīng)力法等效步驟計算得到的主應(yīng)力，和由大型有限元軟件計算輸出的主應(yīng)力直接進行等效處理的主應(yīng)力結(jié)果。計算過程中，重點關(guān)注了壩體角緣處上、下游左右拱端以及壩基面的應(yīng)力情況，等效后的結(jié)果見圖4、5。

由圖4、5可以看出：①將有限元計算結(jié)果等效處理后，各高程左右拱端最大主應(yīng)力及最小主應(yīng)力均有一定程度的減小，其中壩體542、510 m高程等效前的拉應(yīng)力超過控制標準1. 5 MPa的區(qū)域，在等效處理后，拉應(yīng)力分別由1. 62、1. 85 MPa下降到1. 35、1. 40 MPa左右，經(jīng)過等效應(yīng)力計算后，應(yīng)力峰值明顯降低且分布均勻，等效后消除了應(yīng)力集中的影響，所求得的最大主應(yīng)力均小于有限元直接計算的主應(yīng)力；②常規(guī)的有限元等效應(yīng)力法等效結(jié)果和大型有限元計算輸出的主應(yīng)力進行等效后結(jié)果較接近，誤差基本在5%以內(nèi)，說明2種等效方式可換性較好，可以大大提高計算速度。

為了更加直觀體現(xiàn)等效處理后對壩體主應(yīng)力的消減效果，選取了拱壩不同高程處上下游面7個網(wǎng)格點進行計算。圖6為拱壩第一主應(yīng)力等效后沿路徑分布，由圖可以看到，二次等效處理前的拱壩最大主拉應(yīng)力和最大主壓應(yīng)力分別發(fā)生于拱壩中上部角緣處和壩址部位，同時有限元計算的應(yīng)力結(jié)果在兩端有應(yīng)力集中的現(xiàn)象，經(jīng)過應(yīng)力等效后消除了兩端的應(yīng)力集中現(xiàn)象。其中以542高程和510高程為例，應(yīng)用常規(guī)的等效應(yīng)力法所求得上游面最大主應(yīng)力，分別從等效前的1. 62、1. 85 MPa下降到1. 40、1. 38 MPa；利用大型有限元計算后，所求得的上游面最大主應(yīng)力則分別從等效前的1. 62、1. 85 MPa下降到1. 35、1. 40 MPa，誤差在5%以內(nèi)，結(jié)果較為接近，表現(xiàn)出2種等效方式可換性較高。

4 結(jié)論

a））研究結(jié)果來看，應(yīng)用常用的有限元等效應(yīng)力法等效步驟計算得到的主應(yīng)力和由大型有限元軟件計算輸出的主應(yīng)力直接進行等效處理的主應(yīng)力結(jié)果來看，可以有效降低拱壩局部出現(xiàn)的應(yīng)力集中現(xiàn)象，應(yīng)力集中基本上由等效前的1. 5 MPa下降到安全裕度內(nèi)。

b））傳統(tǒng)的有限元等效應(yīng)力法等效步驟計算得到的主應(yīng)力和由大型有限元軟件輸出的主應(yīng)力直接進行等效處理的主應(yīng)力較接近，誤差在5%以內(nèi)，2種等效步驟具有可換性。

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