摘 要：為了提高在復(fù)雜電磁環(huán)境中對(duì)電力系統(tǒng)諧波幅值的檢測(cè)靈敏度，本文以保守型混沌系統(tǒng)為理論基礎(chǔ)，提出Van der Pol-Duffing保守型強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)。當(dāng)檢測(cè)超弱電力信號(hào)時(shí)，先對(duì)混沌系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)試，使其達(dá)到混沌相態(tài)與大周期相態(tài)的臨界值，再將待檢測(cè)信號(hào)輸入混沌系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定的大周期相態(tài)時(shí)，可以獲得被檢測(cè)信號(hào)的時(shí)域、頻譜信息，檢測(cè)各個(gè)諧波分量的幅值。通過(guò)仿真試驗(yàn)，對(duì)Van der Pol-Duffing保守型強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)與單振子Duffing保守型混沌系統(tǒng)的檢測(cè)誤差和靈敏度進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，前者的檢測(cè)誤差為0，靈敏度為10-8，比后者誤差更低，靈敏度更高。根據(jù)研究?jī)?nèi)容得出結(jié)論：對(duì)Duffing振子和Van der Pol振子進(jìn)行耦合，能明顯提升保守型混沌系統(tǒng)對(duì)超弱諧波信號(hào)的檢測(cè)靈敏度，并增強(qiáng)檢測(cè)方法的抗噪能力。

關(guān)鍵詞：保守型混沌系統(tǒng)；Duffing振子；Van der Pol振子；諧波幅值檢測(cè)方法

中圖分類號(hào)：TM 711；TP 18" " " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

電力諧波會(huì)導(dǎo)致設(shè)備出現(xiàn)老化、電能損耗及電網(wǎng)諧振等問(wèn)題，因此諧波檢測(cè)與抑制至關(guān)重要。陳蓉等[1]分析了多孔分?jǐn)?shù)階小波變換方法的應(yīng)用要點(diǎn)，并采用該方法檢測(cè)電力諧波。苗長(zhǎng)新等[2]利用正弦幅值積分器建立了一種新型的諧波幅值檢測(cè)方法。孫名揚(yáng)等[3]以改進(jìn)的頻譜疊加算法為基礎(chǔ)開(kāi)發(fā)了多間諧波檢測(cè)技術(shù)。由于復(fù)雜電磁環(huán)境增加了諧波幅值的檢測(cè)難度，因此本文以微弱電力信號(hào)和白噪聲干擾為背景，利用保守型混沌系統(tǒng)檢測(cè)諧波幅值。為了進(jìn)一步提高檢測(cè)方法的靈敏度和抗噪性能，本文對(duì)杜芬（Duffing）、范德波爾（Van der Pol）系統(tǒng)進(jìn)行耦合，建立了新型的Van der Pol-Duffing保守型強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)，達(dá)到了預(yù)期的設(shè)計(jì)目標(biāo)。

1 基于保守型混沌系統(tǒng)的諧波幅值檢測(cè)方法構(gòu)建

1.1 基于保守型混沌系統(tǒng)的諧波幅值檢測(cè)流程

基于保守型混沌系統(tǒng)的電力諧波幅值檢測(cè)流程如圖1所示。在信號(hào)檢測(cè)前，應(yīng)根據(jù)混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征確定各個(gè)參數(shù)的具體取值。保守型混沌系統(tǒng)利用振子檢測(cè)微弱的電力信號(hào)，振子對(duì)電磁噪聲具有良好的抵御能力[4]。先計(jì)算混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程，再根據(jù)計(jì)算結(jié)果繪制混沌態(tài)相圖。改變混沌系統(tǒng)的參數(shù)，對(duì)其狀態(tài)進(jìn)行調(diào)試，直至相圖達(dá)到臨界狀態(tài)。此時(shí)，將待檢測(cè)的電力信號(hào)輸入混沌系統(tǒng)，進(jìn)行諧波幅值檢測(cè)。

1.2 強(qiáng)耦合保守型混沌系統(tǒng)構(gòu)建

1.2.1 保守型混沌系統(tǒng)振子選取

振子是影響微弱電力信號(hào)檢測(cè)的關(guān)鍵因素，是混沌系統(tǒng)的核心組成部分。根據(jù)振子的不同，典型的保守型混沌系統(tǒng)可分為Duffing系統(tǒng)和Van der Pol系統(tǒng)。Duffing振子用于描述強(qiáng)迫振動(dòng)現(xiàn)象，而Van der Pol振子則用于描述極限環(huán)振蕩現(xiàn)象。本文基于Duffing振子和Van der Pol振子，構(gòu)建了一個(gè)具有強(qiáng)耦合特性的保守型混沌系統(tǒng)，以用于檢測(cè)電力系統(tǒng)的諧波幅值。

1.2.2 Van der Pol-Duffing強(qiáng)耦合型混沌系統(tǒng)構(gòu)建

Van der Pol-Duffing強(qiáng)耦合型混沌系統(tǒng)融合了Duffing系統(tǒng)和Van der Pol系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)，增強(qiáng)了混沌系統(tǒng)對(duì)信號(hào)檢測(cè)的靈敏度及檢測(cè)結(jié)果的收斂性。該系統(tǒng)具備2個(gè)耦合特性。1）將Van der Pol系統(tǒng)的位移與Duffing系統(tǒng)的非線性恢復(fù)力進(jìn)行耦合。2）將Duffing系統(tǒng)的位移與Van der Pol系統(tǒng)的阻尼力進(jìn)行耦合[5]。Van der Pol-Duffing強(qiáng)耦合型混沌系統(tǒng)的特征方程如公式（1）所示。

（1）

式中：x1為表征Duffing系統(tǒng)位移的狀態(tài)變量；t為系統(tǒng)演化的物理時(shí)間；k為Duffing系統(tǒng)的阻尼特征參數(shù)；p為2種系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度系數(shù)；x2為表征Van der Pol系統(tǒng)位移的狀態(tài)變量；f為Duffing系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)力；ω為驅(qū)動(dòng)力的頻率；s（t）為被檢測(cè)的電力信號(hào)；n（t）為信號(hào)中混雜的噪聲；u為Van der Pol系統(tǒng)的阻尼特征參數(shù)；ε為Van der Pol系統(tǒng)的剛度特征參數(shù)。

1.3 保守型強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)電力信號(hào)檢測(cè)初步驗(yàn)證

1.3.1 設(shè)置系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)

保守型強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)具有多個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)，不同的參數(shù)取值會(huì)影響電力信號(hào)的檢測(cè)結(jié)果。為了初步驗(yàn)證該系統(tǒng)對(duì)電力信號(hào)的檢測(cè)效果，本文設(shè)定了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的參數(shù)，見(jiàn)表1。

1.3.2 Van der Pol-Duffing強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)臨界態(tài)調(diào)試

將表1中的參數(shù)代入公式（1）中，同時(shí)調(diào)整驅(qū)動(dòng)力f的取值。龍格-庫(kù)塔法（Runge-Kutta）是計(jì)算復(fù)雜非線性常微分方程的有效工具，MATLAB軟件支持龍格-庫(kù)塔法，本文利用該軟件對(duì)強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)試，使其達(dá)到臨界狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的相態(tài)如圖2所示。

系統(tǒng)狀態(tài)變量y=dx/dt，x對(duì)應(yīng)公式（1）中的x1或x2。根據(jù)計(jì)算過(guò)程可知，當(dāng)f=12.563 100 192時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)與大周期的臨界相態(tài)。

1.3.3 保守型強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)大周期相態(tài)驗(yàn)證

根據(jù)檢測(cè)流程，當(dāng)Van der Pol-Duffing保守型強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)達(dá)到臨界相態(tài)時(shí)，即可輸入待檢測(cè)信號(hào)。設(shè)輸入信號(hào)s（t）=10-9×sinωt，忽略系統(tǒng)的暫態(tài)過(guò)程，根據(jù)MATLAB的計(jì)算結(jié)果繪制系統(tǒng)的大周期相態(tài)，如圖3所示。當(dāng)驗(yàn)證大周期相態(tài)時(shí)，對(duì)電力信號(hào)sinωt進(jìn)行衰減處理，原信號(hào)的最大幅值為1.0 dB。s（t）信號(hào)的最大幅值為10-9 dB，屬于微弱電力信號(hào)。大周期相態(tài)是在特定參數(shù)條件下出現(xiàn)的一種周期性振蕩現(xiàn)象，表明混沌系統(tǒng)已脫離混沌狀態(tài)。因此，在將微弱信號(hào)10-9×sinωt輸入系統(tǒng)后，Van der Pol-Duffing保守型強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)能夠穩(wěn)定地呈現(xiàn)大周期相態(tài)，并進(jìn)行諧波檢測(cè)。在無(wú)噪聲干擾的情況下，該系統(tǒng)對(duì)微弱信號(hào)的檢測(cè)靈敏度極高[6]。

2 保守型混沌系統(tǒng)電力諧波幅值檢測(cè)仿真

2.1 仿真條件設(shè)置

2.1.1 對(duì)照組設(shè)置

Van der Pol-Duffing保守型強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)是對(duì)單振子型混沌系統(tǒng)的改進(jìn)，旨在提升混沌系統(tǒng)對(duì)微弱信號(hào)的檢測(cè)靈敏度以及抗干擾性能。在電力諧波幅值檢測(cè)試驗(yàn)中，將單振子型的Duffing混沌系統(tǒng)作為對(duì)照組，比較2種混沌系統(tǒng)對(duì)諧波幅值的檢測(cè)靈敏度和抗噪性能。

2.1.2 混沌系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

將f設(shè)置為12.563 100 192。Duffing混沌系統(tǒng)的參數(shù)包括阻尼特征參數(shù)k1、線性驅(qū)動(dòng)力f1以及非線性恢復(fù)力系數(shù)a和b。在仿真過(guò)程中，設(shè)k1=0.5，f1=0.827 608，a=b=1.0。

2.1.3 待檢測(cè)諧波信號(hào)設(shè)置

待檢測(cè)的電力信號(hào)由多個(gè)三角函數(shù)項(xiàng)疊加組成，包括基波sinωt和高次諧波sin3ωt、sin5ωt、sin7ωt以及間諧波sin2.2ωt。其中，ω為信號(hào)的角頻率，f0為信號(hào)基頻，其值為50 Hz，各項(xiàng)信號(hào)的系數(shù)分別為0.10、0.15、0.20以及0.25，表示不同頻率成分的幅值。經(jīng)過(guò)仿真處理后，該信號(hào)作為待檢測(cè)信號(hào)。在仿真過(guò)程中，向信號(hào)中加入高斯白噪聲，并設(shè)置2種信噪比，分別為-20和-60，以驗(yàn)證混沌系統(tǒng)的抗噪性能[7]。

待檢測(cè)電力信號(hào)頻譜如圖4所示。由圖4可知，信號(hào)包含4個(gè)不同頻率成分的諧波，其最大幅值為1.0 p.u.，反映了信號(hào)的復(fù)雜性和在不同噪聲水平下的表現(xiàn)。

將信號(hào)x（t）賦予極小的系數(shù)值，使其成為超微弱信號(hào)，以測(cè)試混沌系統(tǒng)的靈敏度。計(jì)算過(guò)程如公式（2）所示。

x（t）=sinωt+0.15sin2.2ωt+0.25sin3ωt+0.2sin5ωt+0.1sin7ωt （2）

式中：sinωt為信號(hào)的基波；sin2.2ωt為2.2次間諧波；sin3ωt、sin5ωt和sin7ωt分別為三次諧波、五次諧波和七次諧波。

2.2 諧波幅值檢測(cè)結(jié)果分析

2.2.1 Duffing保守型混沌系統(tǒng)諧波檢測(cè)結(jié)果

利用單振子的Duffing保守型混沌系統(tǒng)檢測(cè)諧波信號(hào)幅值，得到的結(jié)果見(jiàn)表2。由表2中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)被檢測(cè)信號(hào)的信噪比為-20 時(shí)，檢測(cè)誤差整體較小，最大誤差為0.08%。當(dāng)信噪比為-60 時(shí)，Duffing混沌系統(tǒng)對(duì)各次諧波的檢測(cè)誤差增加，最大誤差為11.27%。

2.2.2 Van der Pol-Duffing保守型混沌系統(tǒng)諧波檢測(cè)結(jié)果

采用Van der Pol-Duffing保守型強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)對(duì)諧波信號(hào)幅值進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果見(jiàn)表3。由表3可知，無(wú)論信噪比是-20還是-60，Van der Pol-Duffing保守型強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)對(duì)各次諧波幅值的檢測(cè)誤差均為0，其檢測(cè)精度比單陣子Duffing混沌系統(tǒng)更高。此外，比較Duffing混沌系統(tǒng)和Van der Pol-Duffing混沌系統(tǒng)對(duì)超弱信號(hào)的靈敏度，分別為10-6和10-8。

3 結(jié)論

針對(duì)在復(fù)雜電磁環(huán)境中不能檢測(cè)微弱電力諧波的問(wèn)題，本文以保守型混沌系統(tǒng)為理論基礎(chǔ)，將2種典型混沌系統(tǒng)進(jìn)行耦合，建立了Van der Pol-Duffing保守型強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)，并對(duì)其性能進(jìn)行了驗(yàn)證。根據(jù)本文研究?jī)?nèi)容，得到以下3個(gè)結(jié)論。1）Van der Pol-Duffing保守型強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)融合了Van der Pol混沌系統(tǒng)和Duffing混沌系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)。該系統(tǒng)不僅將Van der Pol系統(tǒng)的位移與Duffing系統(tǒng)的非線性恢復(fù)力相耦合，還將Duffing系統(tǒng)的位移與Van der Pol系統(tǒng)的阻尼力相耦合。2）當(dāng)檢測(cè)電力諧波信號(hào)時(shí)，須先對(duì)Van der Pol-Duffing保守型強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)節(jié)，使其處于混沌態(tài)與大周期相態(tài)的臨界狀態(tài)，然后將被檢測(cè)信號(hào)輸入系統(tǒng)。采用龍格-庫(kù)塔法求解系統(tǒng)特征方程，通過(guò)調(diào)整參數(shù)，使系統(tǒng)達(dá)到大周期穩(wěn)定狀態(tài)。此時(shí)，利用時(shí)域-頻域信息提取諧波幅值。3）Van der Pol-Duffing保守型強(qiáng)耦合混沌系統(tǒng)的檢測(cè)靈敏度為10-6。當(dāng)信號(hào)中存在噪聲時(shí)，Van der Pol-Duffing混沌系統(tǒng)的抗噪性能優(yōu)于Duffing系統(tǒng)。

參考文獻(xiàn)

[1]陳蓉，楊勇.基于多孔分?jǐn)?shù)階小波變換的諧波檢測(cè)新方法[J].電測(cè)與儀表，2023，60（11）：142-150，157.

[2]苗長(zhǎng)新，祝宇航，趙文鵬，等.基于一種新型正弦幅值積分器的諧波檢測(cè)方法[J].電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2024，52（2）：39-47.

[3]孫名揚(yáng)，王艷，顧叮咚，等.基于改進(jìn)頻譜疊加算法的多間諧波檢測(cè)方法[J].電網(wǎng)與清潔能源，2022，38（3）：1-7，15.

[4]孫淑琴，祁鑫，袁正海，等.基于混沌理論的電力系統(tǒng)微弱諧波檢測(cè)方法研究[J].電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2023，51（15）：76-86.

[5]李國(guó)欣，費(fèi)駿韜，朱堂宇，等.基于自適應(yīng)變分模態(tài)分解的諧波檢測(cè)算法[J].供用電，2021，38（11）：1-8，13.

[6]竇嘉銘，馬鴻雁.基于復(fù)調(diào)制細(xì)化和Adaline網(wǎng)絡(luò)的諧波檢測(cè)方法[J].中國(guó)測(cè)試，2022，48（5）：43-50.

[7]崔京楷，王雅靜，張涵瑞，等.RO-SBM的希爾伯特—黃變換諧波檢測(cè)方法[J].水電能源科學(xué)，2020，38（3）：190-194.