摘要本文以一道涉及最值問(wèn)題的模考題的解法教學(xué)為例，闡述了解題從問(wèn)題表征入手的基本原理和利用基本不等式解題的教學(xué)過(guò)程.

關(guān)鍵詞一題多解；基本不等式

基本不等式是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.利用基本不等式求最值的方法眾多如減元、換元、湊配等，這類題經(jīng)常出現(xiàn)在單選題和填空題，難度較大，學(xué)生在實(shí)際求解時(shí)不知如何下手.章建躍博士一再指出數(shù)學(xué)教學(xué)要基于“三個(gè)理解”，即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué).它是數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的基石，也是數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的根本保證.理解數(shù)學(xué)就要理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).下面以一道2025屆南通市九月調(diào)研試題第14題為例談?wù)劵静坏仁角笞钪档谋举|(zhì)特征及常用的方法.

1.問(wèn)題呈現(xiàn)

題目已知3a=2+3b，則2a－b的最小值為.

題中式子結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，是兩個(gè)正實(shí)數(shù)通過(guò)加、減、乘、除和開方四種基本運(yùn)算，產(chǎn)生了算數(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的內(nèi)在關(guān)系.基本不等式的本質(zhì)是什么？它是研究?jī)蓚€(gè)正數(shù)的和a+b與積ab的不等關(guān)系，利用基本不等式解決問(wèn)題，實(shí)際上就是兩個(gè)正數(shù)和與積的轉(zhuǎn)化過(guò)程，即“積化和”或者“和化積”的轉(zhuǎn)化過(guò)程.

2.解法探究

交流 先請(qǐng)大家說(shuō)說(shuō)，你初次見到此題一些想法和思考.

先讓幾個(gè)學(xué)生交流一下自己一些不成熟的思考和想法，然后在教師引導(dǎo)下逐步深入，需要關(guān)注學(xué)生的思維起點(diǎn)和知識(shí)結(jié)構(gòu)，再通過(guò)教師的逐步引導(dǎo)，深入探究出自然合理的解法.學(xué)生都表示知道要用基本不等式，中間需要一些變形和知識(shí)鋪墊，結(jié)合基本不等式求最值的一些常用方法，由此得到以下6種解法：

解法1因?yàn)?a=2+3b，所以32a－b=3a23b=2+3b23b=32b+4·3b+43b=3b+43b+4≥23b·43b+4=8，當(dāng)且僅當(dāng)3b=43b，即b = log3 2時(shí)取等號(hào)，所以2a－b≥log38，所以2a－b的最小值為log38.

解法2因?yàn)?a=2+3b，由基本不等式得3a=2+3b≥22·3b，當(dāng)且僅當(dāng)2=3b，即b=log32時(shí)取等號(hào)，所以3a2≥4·2·3b=8·3b，所以32a3b≥8，所以32a－b≥8，所以2a－b≥log38，所以2a－b的最小值為log38.

解法3因?yàn)?a=2+3b，令3a=λ3bλgt;1，所以λ3b=2+3b，所以3b=2λ－1，3a=2λλ－1，所以32a－b=3a23b=2λ2λ－1=2λ－1+2λ－1+4≥24+4=8，當(dāng)且僅當(dāng)λ=2時(shí)取等號(hào)，所以2a－b≥log38，所以2a－b的最小值為log38.

解法4因?yàn)?a=2+3b，所以3a－3b=2，令3a+3b=tt≥2，所以3a=t+22，3b=t－22，所以32a－b=32a3b=t2+4t+42t－2=t－22+8t－2+162t－2=t－22+8t－2+4≥8，當(dāng)且僅當(dāng)t－22=8t－2，即t=6時(shí)取等號(hào)，所以2a－b≥log38，故2a－b的最小值為log38.

解法5因?yàn)?a=2+3b，所以3a－3b=2，兩邊平方得3a－3b2=4，所以32a－2·3a·3b+32b=4，所以32a－2·3a·3b+32b3b=43b，所以32a－b=43b+3a－3b+3a=43b+3a+2=43b+3b+4≥8，當(dāng)且僅當(dāng)3b=43b，即b=b=log32時(shí)取等號(hào)，所以2a－b的最小值為log38.

解法6因?yàn)?a+（－3b）=2，所以3a、1、－3b成等差數(shù)列.設(shè)公差為d（dlt;－1），所以3a=1－d，－3b=1+d，所以a=log3（1－d），b=log3（－1－d ），所以

2a－b=2log3（1－d）－log3（－1－d）=log3（1－d）2－1－d=log3（（－1－d）+4－1－d+4）≥log38，當(dāng)且僅當(dāng)d=－3時(shí)等號(hào)成立，所以2a－b的最小值為log38.

追問(wèn)1以上我們是利用基本不等式求最值常用的方法求出結(jié)果，還有其它解法嗎？

“還有其它解法？”這不經(jīng)意的一問(wèn)，學(xué)生感到很驚訝，這也引起大家探究問(wèn)題的興趣，大家你一言我一語(yǔ)討論起來(lái)，一致認(rèn)為，借助二次函數(shù)，利用二次函數(shù)最值的方法.

解法7因?yàn)?a=2+3b，所以3a2－3b2=1，即3b－2a=3b32a=3b3a2=3b3a2×3a2－3b2=12·3b－a－12·3b－a2.令3b－a=ttgt;0，所以32a－b=13b－2a=2t－t2=2－t－122+14≥8，當(dāng)且僅當(dāng)t=12時(shí)取等號(hào)，所以2a－b≥log38，所以2a－b的最小值為log38.

解法8令2a－b=t，即b=2a－t，因?yàn)?a=2+3b，所以3a=2+32a3t，所以13t=13a－2·（13a）2，所以3t=113a－2·（13a）2=1－2（13a－14）2+18≥8，所以t≥log38，即2a－b≥log38，所以2a－b的最小值為log38.

追問(wèn)2還有其它解法嗎？聽到這一句，多數(shù)學(xué)生很吃驚，連忙讓大家想一想，在講求最值專題時(shí)說(shuō)過(guò)這樣一句話：“沒(méi)有辦法的辦法是 ”.請(qǐng)大家把補(bǔ)充完整，哦！大家齊聲說(shuō)是“求導(dǎo)??！”

解法9由3a=2+3b得a=log3（2+3b），所以2a－b=2log3（2+3b）－b=2·ln（2+3b）ln3－b.令f（x）=2ln3·ln（3x+2）－x，求導(dǎo)f′（x）=2ln3·3x·ln33x+2－1=2·3x－3x－23x+2，令f′（x）=0，解得x=b=log32，所以f（x）在（－∞，b=log32）上單調(diào)遞減，在（b=log32，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）有最小值為f（b=log32）=2ln3·ln4－b=log32=log38，所以2a－b的最小值為log38.

到此，以為解題結(jié)束，突然一個(gè)學(xué)生急忙站了起來(lái)說(shuō)：“老師，我還有一種方法”，我是利用換元，結(jié)合三角函數(shù)的有界限，由此得到：

解法10因?yàn)?a=2+3b，所以3a2－3b2=1.令3a=x2（x≠0），3b=y2（y≠0），則x22－y22=1（x≠0，y≠0）.令x=2cosθ，y=2sinθcosθ（θ≠kπ+π且θ≠kπ+π2，k∈Z），則3a=2cos2θ，3b=2sin2θcos2θ，所以32a－b=4cos4θ×cos2θ2sin2θ=8sin22θ≥8，當(dāng)且僅當(dāng)sin22θ=1時(shí)取等號(hào)，所以2a－b≥log38，.所以2a－b的最小值為log38

你真是太棒了，想到如此巧妙方法！

3.變式訓(xùn)練

（1）若ex－ey=e，x，y∈R，則2x－y的最小值為 .

（2）已知agt;1，bgt;1，aa－1=2a，bb－1=log2b，則以下結(jié)論中正確的是（ ）.

A.a+2a=b+log2bB.12a+1log2b=1

C.a－blt;－2 "D.a+bgt;4

4.教學(xué)啟示

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，解題是主旋律.但教師很容易陷入“就題論題”的教學(xué)誤區(qū)，僅僅停留在把題目的答案求解出來(lái)，從而使課堂變得枯燥乏味，缺乏新知的生成，學(xué)生思維能力的靈活性和深刻性很難得以進(jìn)一步提升，所以要讓學(xué)生理解問(wèn)題的本質(zhì)，關(guān)注解題基本模型，聚焦問(wèn)題表征.學(xué)生的知識(shí)表征可以是語(yǔ)言、文字、圖像、公式、概念圖、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖等.同一知識(shí)可以用多種方式來(lái)表征，教師要引導(dǎo)學(xué)生選擇最佳的方式獲取表征知識(shí)，幫助學(xué)生更好地探索解決問(wèn)題的思路，猜想結(jié)果，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).教師在此過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生思考解決思路的異同，通過(guò)類比歸納，尋找解題模型，搭建問(wèn)題線索，立足從問(wèn)題表征的角度去比較問(wèn)題解決思路的異同，形成解題程序.再次，抓住通解通法，形成解題程序.通解通法是解決某類問(wèn)題最合理的想法、最基本的思路、也是最普遍的操作程序.通過(guò)一題多解、多解歸一，讓學(xué)生掌握處理一個(gè)基本模型的方法，理解方法背后所隱含的數(shù)學(xué)思想方法，知道如何應(yīng)用到其他情境中去，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).變式訓(xùn)練變化的是題目，不變的是通解通法，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的變式的探究和原問(wèn)題的推廣，幫助學(xué)生掌握一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法，從而形成解題模塊，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).