摘要基于兩曲線的公切線創(chuàng)設場景，本文就共切點與異切點的公切線問題，公切線條數(shù)與公切點個數(shù)等問題，結合實例挖掘此類問題的內(nèi)涵與實質(zhì)，歸納此類問題的技巧與方法，引領并指導數(shù)學教學與復習備考．

關鍵詞異切點；共切點；公切線問題

在近幾年高考函數(shù)與導數(shù)的應用試題的命制過程中，求解與曲線的公切線有關的問題成為高考的熱點題型之一．學生在做題過程中，單一曲線的切線問題相對來說，比較容易理解與掌握，但是解決多條曲線（主要是兩條曲線）的公切線問題，顯然比單一曲線的切線問題要復雜得多，難度也較大多．本文通過一些典型例題分析一下常見的四類公切線問題．

1．共切點的公切線問題

基于兩曲線具有相同切點的公切線為問題場景，合理創(chuàng)設相應的公切線問題，用來解決涉及參數(shù)值的求解，公切線的方程特征與概念，以及公切線的基本性質(zhì)與相關應用等方面的綜合問題．

例1（2024年重慶市高考數(shù)學模擬試卷）已知函數(shù)fx=ex－ax+ba，b∈R，gx=x2+x，若這兩個函數(shù)的圖象在公共點A1，2處有相同的切線，則a+b=．

解析因為fx=ex－ax+ba，b∈R，gx=x2+x，所以f'x=ex－a，g'x=2x+1．因為fx，gx在公共點A1，2 處有相同的切線，所以f′1=g′1，f1=2， 得a=e－3，b=－1， 所以a+b=e－4．

點評"解決此類涉及共切點的公切線問題，往往是通過兩個不同曲線進行求導處理，結合公切點的應用場景，利用“該切點處的兩個函數(shù)的導數(shù)相等”這一關系建立方程（組），通過方程（組）的求解來深入研究共切點的公切線問題的分析與求解．

2．異切點的公切線問題

基于兩曲線具有不同切點的公切線為問題場景，合理創(chuàng)設異切點的公切線應用條件，結合含參曲線或對應含參公切線問題的創(chuàng)設，用來解決相應的參數(shù)求值，代數(shù)式求解等相關的綜合應用問題．

例2（2024年黑龍江省哈爾濱市高考數(shù)學模擬試卷）已知函數(shù)fx=lnx+1，gx=lne2x，若直線y=kx+b為曲線y=fx和y=gx的公切線，則b=（）.

A．12B．1－ln2C．2－ln2D．－ln2

解析設直線l：y=kx+b 與fx=lnx+1 相切于點Ax1，y1，與gx=lne2x 相切于點Bx2，y2．由fx=lnx+1得f'x=1x+1.由f'x1=1x1+1=k 得x1=1－kk，則y1=fx1=lnx1+1=ln1－kk+1=ln1k=－lnk，即點A（1－kk，－lnk）．代入直線l 中得－lnk=k·1－kk+b，即b=k－lnk－1①．

因為gx=lne2x=lne2+lnx=2+lnx，所以g'x=1x，由g'x2=1x2=k 得x2=1k，則y2=gx2=2+lnx2=2+ln1k=2－lnk，即點B（1k，2－lnk）．代入直線l 中得2－lnk=k·1k+b，即b=1－lnk②．

聯(lián)立①②，得k=2，所以b=1－ln2．故選B．

點評解決涉及異切點的公切線問題，需分別設出公切線與對應不同曲線所對應的兩個不同切點，借助導數(shù)的幾何意義，確定對應切點的坐標表達式，代入對應的公切線方程，構建相應的表達式，進而利用“公切線”這一特征，合理建立相應的方程（組）來分析與求解．

3．公切線條數(shù)的判斷問題

基于兩條曲線具有相同公切線為問題場景，借助兩個確定的函數(shù)解析式，用來確定公切線應用場景下的公切線條數(shù)的確定問題，或通過某個確定的點向兩曲線引切線來確定公切線的條數(shù)等．

例3（2024年河南省許昌市高考數(shù)學模擬試卷）已知函數(shù)fx=x3－x+a的圖象關于原點對稱，則與曲線y=fx和y=x2+14均相切的直線l有（ ）.

A．1條B．2條C．3條D．4條

解析由函數(shù)fx=x3－x+a 的圖象關于原點對稱得f－x=－fx，即－x3－－x+a=－x3－x+a，解得a=0，所以fx=x3－x，f'x=3x2－1．

設直線l 與y=fx 相切于點x1，fx1，所以切線方程為y－x31－x1=3x21－1x－x1，整理得y=3x21－1x－2x31．設gx=x2+14，直線l 與y=gx 相切于點x2，gx2，因為g'x=2x，所以切線方程為y－x22+14=2x2x－x2，整理得y=2x2x－x22+14．則3x21－1=2x2，－2x31=－x22+14， 整理得3x212－122－2x31－14=94x41－2x31－32x21=x2149x21－8x1－6=0．

當9x21－8x1－6=0 時，Δ=－82+4×9×6gt;0，方程有兩個非零實數(shù)根，x1=0也滿足方程，故x1 有3個值．

所以方程組 有3組解，故滿足題中條件的直線l 有3條，故選C．

點評解決涉及公切線條數(shù)的判斷問題，往往根據(jù)兩個不同曲線在切點處的斜率相等，同時滿足切點既在切線上又在曲線上，列出有關切點的橫坐標的方程（組），通過解方程（組）或恒等變形等來分析，合理構建對應的含參方程等，進而轉化為對應方程的根的個數(shù)問題，也就是對應的公切線條數(shù)，實現(xiàn)問題的求解．

4．公切點個數(shù)的判斷問題

基于兩條曲線具有相同公切線為問題場景，依托兩個確定的函數(shù)解析式，用來確定公切線應用場景下的公切點個數(shù)的確定問題，或者是滿足某種條件的公切點的結構特征或個數(shù)信息等問題．

例4（2024年甘肅省張掖市民樂一中高三（上）第一次診斷數(shù)學試卷）已知曲線fx=lnx在點Px0，fx0處的切線l與曲線gx=ex也相切，則滿足條件的切點P有個．

解析因為fx=lnx，所以f'x=1x，所以f'x0=1x0，fx0=lnx0，所以切線l 的方程為y－lnx0=1x0x－x0，即y=1x0x+lnx0－1①．

設切線l 與曲線y=gx 相切于點x1，ex1，因為g'x=ex，所以ex1=1x0，所以x1=－lnx0，所以切線l 與曲線y=gx 相切于點（－lnx0，1x0）．所以切線l 的方程也為y－1x0=1x0x+lnx0，即y=1x0x+lnx0x0+1x0②．

由①②可得lnx0－1=lnx0x0+1x0，整理可得lnx0=x0+1x0－1．③

如圖1所示，在同一平面直角坐標系中畫出y=lnx，y=x+1x－1 的圖象，兩函數(shù)圖象有兩個交點，即方程③有兩解，故切點P 有2個，故填2．

點評"解決涉及公切點個數(shù)的判斷問題往往是先結合其中一條曲線來確定對應的切線方程；在此基礎上，借助公切線與另一條曲線相切的性質(zhì)確定有前面條件下對應的另一種形式的切線方程．結合兩者之間是相同的公切線場景，合理構建含參的關系式，將問題加以合理轉化，借助函數(shù)與方程思維，數(shù)形結合理，實現(xiàn)公切點個數(shù)的判斷．

解決對應的兩條曲線的公切線問題，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，我們可從幾何視角加以切入，從代數(shù)視角加以應用，巧妙突破問題．求解具體問題時，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，綜合利用代數(shù)思維和幾何思維．