摘" 要：空間目標軌道與環(huán)境課程教學(xué)是拓寬空軍預(yù)警學(xué)院反導(dǎo)預(yù)警技術(shù)保障專業(yè)學(xué)員知識視野、提升學(xué)員專業(yè)素養(yǎng)的重要途徑。該課程教學(xué)涉及航天軌道動力學(xué)的一些難點知識，傳統(tǒng)教學(xué)方式過于抽象，不利于學(xué)員理解掌握。曾有學(xué)者引入Mathematica等仿真軟件輔助教學(xué)，但課件制作難度大，表現(xiàn)力不夠理想。為此，針對開普勒方程這一教學(xué)難點，提出采用GeoGebra進行輔助教學(xué)的方法。研究發(fā)現(xiàn)，GeoGebra具有制作簡單、操作便捷、動態(tài)演示等諸多優(yōu)點，可直觀形象地展示難點知識；同時，對比使用GeoGebra前后的教學(xué)效果，使用GeoGebra可顯著提高學(xué)員對開普勒方程的理解和掌握能力。

關(guān)鍵詞：空間目標軌道與環(huán)境；開普勒方程；GeoGebra；動態(tài)演示課件

文章編號：1671-489X（2025）02-00-04

DOI：10.3969/j.issn.1671-489X.2025.02.0

0" 引言

空間目標軌道與環(huán)境課程是空軍預(yù)警學(xué)院反導(dǎo)預(yù)警技術(shù)保障專業(yè)的選修課程，這門課程的學(xué)習對培養(yǎng)學(xué)員科學(xué)素養(yǎng)具有重要意義。該課程主要講授時間與坐標系統(tǒng)、軌道運動原理、軌道攝動原理、軌道機動原理、軌道預(yù)報與確定、衛(wèi)星星座等內(nèi)容，對學(xué)員的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和空間想象力要求較高。目前，采用動態(tài)可視化的方法研究、分析復(fù)雜的軌道力學(xué)問題，幫助學(xué)員深刻理解教學(xué)內(nèi)容的重難點成為主流趨勢。

張漢清等[1]引入Mathematica進行航天器軌道理論可視化教學(xué)，構(gòu)建立體且直觀的CAI課件，成功激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣；楊洪偉等[2]探討如何運用MATLAB進行軌道力學(xué)教學(xué)，充分鍛煉學(xué)生的實踐能力；王衛(wèi)杰等[3]研究基于STK的航天器軌道動力學(xué)仿真教學(xué)方法，有效提升學(xué)生的空間邏輯思維能力。Mathematica和MATLAB兩款軟件在數(shù)值計算和符號演算方面表現(xiàn)出色且操作簡便易行，但若要展示動態(tài)演示效果，則需要編寫額外的程

序[4-5]。雖然STK在動態(tài)演示方面表現(xiàn)出色，但由于其使用過程較為復(fù)雜，需要經(jīng)過二次開發(fā)才能充分發(fā)揮其潛能[6]。因此，這無疑對教師開發(fā)動態(tài)可視化的多媒體課件提出更高的要求。

GeoGebra是一款非常出色的教學(xué)仿真軟件，它操作簡單，無須具備編程經(jīng)驗即可制作動態(tài)演示和交互性卓越的教學(xué)多媒體課件[7]。因此，在教學(xué)中針對開普勒方程這一難點問題引入GeoGebra并制作相應(yīng)的教學(xué)課件，通過對比使用該軟件前后的教學(xué)效果，可以發(fā)現(xiàn)使用GeoGebra后，學(xué)員能夠更加直觀地理解和掌握開普勒方程的原理與計算方法，并且通過交互式操作，能夠更加深入地探索這一難點問題。該經(jīng)驗對于在空間目標軌道與環(huán)境課程和其他數(shù)理課程的教學(xué)中全面推廣應(yīng)用GeoGebra

具有重要的借鑒意義。

1" GeoGebra軟件簡介

GeoGebra是由亞特蘭大大學(xué)數(shù)學(xué)系教授Markus

Hohenwarter設(shè)計的一款開源數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，它的名稱由“Geometry”（幾何）和“Algebra”（代數(shù)）兩個詞匯組合而成，通常被縮寫為GGB。該軟件是一個跨平臺的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，包含幾何、代數(shù)、表格、圖形、統(tǒng)計和微積分等，適用于教學(xué)和學(xué)習。由于其強大的功能和開源特性，GeoGebra已經(jīng)在全球范圍內(nèi)受到廣大師生的青睞。GeoGebra的工作界面如圖1所示，從左至右可以清晰地劃分成若干個區(qū)域[8]，以下為各區(qū)域的簡要說明。

1）代數(shù)區(qū)：該區(qū)域包括指令輸入欄和工具欄，供用戶輸入指令和進行相應(yīng)的操作，不同功能模塊對應(yīng)不同的工具欄，如在二維繪圖區(qū)功能模塊的工具欄上可以進行畫圖和編輯等操作。

2）CAS運算區(qū)：用戶可以在該區(qū)域進行復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算和代數(shù)運算，CAS是Computer Algebra System（計算機代數(shù)系統(tǒng)）的縮寫。

3）二維繪圖區(qū)：用戶可以在該區(qū)域創(chuàng)建和編輯二維圖形，如點、線、圓等圖形元素。

4）三維繪圖區(qū)：用于繪制和編輯三維圖形。

5）表格區(qū)：用戶可以在該區(qū)域創(chuàng)建和管理數(shù)據(jù)表。

6）概率運算器：用于進行概率統(tǒng)計和計算。

2" 開普勒方程

開普勒方程是航天軌道動力學(xué)中二體問題的基本方程之一，具有重要的地位，它給出了衛(wèi)星運動位置與時間的關(guān)系，基本原理如下。

如圖2所示，建立軌道平面坐標系，其原點為地球質(zhì)心，X軸指向近地點方向，Y軸在軌道平面內(nèi)與X軸垂直；引入輔助變量偏近點角E。經(jīng)推導(dǎo)可得[9]：

E（t）-esinE（t）=M（t）" " " "（1）

式（1）即為開普勒方程。t為當前時間；M（t）=

n（t-τ）為平近點角，τ是衛(wèi)星最近一次經(jīng)過近地點的時間；n=（μ/a3）1/2為平均角速度，μ為地球引力常數(shù)。

開普勒方程通過偏近點角E將時間t與衛(wèi)星的真近點角f聯(lián)系到一起。為了得到t時刻衛(wèi)星的位置，必須先知道衛(wèi)星最近一次過近地點的時間τ和軌道的偏心率e，再利用軌道半長軸a來計算平均角速度n，進而計算平近點角M（t），再根據(jù)開普勒方程計算偏近點角E（t），最后求得真近點角f。

開普勒方程是軌道運動原理中的一大難點。在傳統(tǒng)的教學(xué)過程中，教師先給出如圖2所示的衛(wèi)星運動靜態(tài)示意圖，然后推導(dǎo)相應(yīng)計算公式。然而，這種方法存在兩個缺陷：1）平近點角M無法在圖2中利用開普勒方程所確定的精確幾何關(guān)系呈現(xiàn)出來；2）無法動態(tài)演示角度E、M和f按照開普勒方程的關(guān)系變化。這給學(xué)員深刻理解開普勒方程的物理意義帶來困難。為解決上述問題，運用GeoGebra開發(fā)開普勒方程動態(tài)演示課件。

3" GeoGebra動態(tài)演示課件制作與應(yīng)用

使用GeoGebra制作開普勒方程教學(xué)課件的詳細步驟如表1所示，可以按照表格中的信息，輕松地以GeoGebra指令或交互式操作的形式實現(xiàn)每一步。對于更具體的操作細節(jié)，建議查閱參考文獻[8]。

開普勒方程GeoGebra動態(tài)演示課件效果圖如圖3所示，E、M和f三個角度均嚴格按照開普勒方程進行繪制。其中，“衛(wèi)星”被設(shè)定為動點，當點擊左下角的運行按鈕時，將動態(tài)演示三個角度和衛(wèi)星位置矢量r隨時間的變化情況。有關(guān)該課件的詳細信息可參考文獻[10]。

由表1的GeoGebra動態(tài)演示課件制作過程可見，每一步操作都簡單明了，并且可以通過交互方式快速實現(xiàn)。與Mathematica、MATLAB和STK等軟件相比，這種方式不僅可以極大地節(jié)省制作時間，還能更準確、直觀地呈現(xiàn)教學(xué)知識點。通過課件的動態(tài)演示和關(guān)鍵公式的物理含義解釋，學(xué)員更容易地理解難點內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上再去理解公式的詳細推導(dǎo)過程會變得水到渠成。

在2023年春季學(xué)期的反導(dǎo)預(yù)警技術(shù)保障專業(yè)兩個期班的教學(xué)過程中，筆者采用GeoGebra動態(tài)演示課件開展開普勒方程知識點授課試點，課后問卷調(diào)查和期末結(jié)業(yè)考試發(fā)現(xiàn)，相比以往未采用該課件教學(xué)的期班而言，采用該課件的期班在知識點掌握程度和考核得分情況方面均有明顯提升。

4" 結(jié)束語

本文探討GeoGebra在空間目標軌道與環(huán)境課程中的教學(xué)應(yīng)用，結(jié)合開普勒方程這一核心知識點，詳細闡述制作課件及其實踐操作的步驟。教學(xué)應(yīng)用結(jié)果表明，GeoGebra的運用能夠以直觀、生動的方式展示課程中的重點和難點，同時有效激發(fā)學(xué)員的學(xué)習興趣和探索精神，進而提高教學(xué)質(zhì)量，增強教學(xué)效果。在接下來的工作中，將進一步推廣Geo-

Gebra在空間目標軌道與環(huán)境課程其他知識點教學(xué)中的應(yīng)用，為優(yōu)化該課程的教學(xué)效果作出貢獻。

5" 參考文獻

[1] 張漢清，周芳.基于Mathematica的航天器軌道理論可視化教學(xué)[J].大學(xué)教育，2019（5）：107-109.

[2] 楊洪偉，李爽.軌道力學(xué)問題導(dǎo)向式教學(xué)培養(yǎng)軌道設(shè)計能力的實踐[J].力學(xué)與實踐，2021，43（2）：268-272.

[3] 王衛(wèi)杰，張雅聲，任元，等.基于STK的航天器軌道動力學(xué)仿真教學(xué)方法研究[J].實驗技術(shù)與管理，2020，37（5）：181-185.

[4] 于巾荔，叢亞軒，李嘉懿，等.基于Mathematica的天體運動模擬[J].大學(xué)物理，2024，43（3）：67-73，78.

[5] 高有濤，張漢清.航天器軌道動力學(xué)實踐教程[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2022：31-37.

[6] 刁華飛，張雅聲，程文華.掌握與精通STK（專業(yè)篇）[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2021.

[7] SOLVANG L， HAGLUND J .How can GeoGebra support physics education in upper-secondary school： a review[J].Physics Education，2021，56（5）：055011（13pp）.

[8] International GeoGebra Institute. GeoGebra經(jīng)典版使用手冊[EB/OL].[2024-05-09].https：//geogebra.github.io/docs/manual/en/.

[9] 劉林.衛(wèi)星軌道力學(xué)算法[M].南京：南京大學(xué)出版社，2019：17-18.

[10] 黃曉斌.開普勒方程GeoGebra動態(tài)演示課件[EB/OL].（2023-04-10）（2023-09-15）.https：//pan.baidu.com/s/1XZNna8IQ4oHY-9MKrGF_-w？pwd=1111.