摘要： 以往研究發(fā)現(xiàn)，不同金屬材料的疲勞壽命分布隨著載荷水平的變化往往有不同的分布類型，而不同壽命對(duì)應(yīng)的疲勞強(qiáng)度一般近似服從同一分布?；凇暗刃趶?qiáng)度”概念可以合并不同疲勞壽命下的數(shù)據(jù)，在假定總體樣本的疲勞強(qiáng)度服從正態(tài)分布的前提下，采用極大似然法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。一些經(jīng)典的模型如Strohmeyer模型，采用上述方法時(shí)往往在中周到高周或中周到低周的過渡段擬合效果不佳。對(duì)此，構(gòu)建了一種含兩個(gè)過渡段的中高周S N曲線并給出了適用于工程設(shè)計(jì)的P S N曲線。對(duì)ZL101A鋁合金和BSM590結(jié)構(gòu)鋼兩種材料分別開展含兩個(gè)過渡區(qū)的中高周疲勞試驗(yàn)，對(duì)比Strohmeyer等模型發(fā)現(xiàn)：新提出的“雙過渡”S N曲線在中小樣本量下的擬合優(yōu)度更好；相較采用升降法計(jì)算得到的疲勞極限，采用基于疲勞強(qiáng)度分布擬合得到的疲勞極限偏差均在3%以內(nèi)，而采用新提出的S N曲線的計(jì)算偏差均小于1%；在中周到高周區(qū)的過渡段對(duì)比Dixon mood方法計(jì)算得到的結(jié)果，采用提出的S N曲線在過渡段精度分別達(dá)到92.2%和99.9%。

關(guān)鍵詞： 應(yīng)力 壽命曲線；疲勞強(qiáng)度；極大似然法；疲勞極限

DOI： 10.3969/j.issn.1001 2222.2025.01.010

中圖分類號(hào)：TK422.4" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： B" 文章編號(hào)： 1001 2222（2025）01 0067 09

隨著航空、航天、汽車、船舶等行業(yè)向高溫、高速的使用環(huán)境快速發(fā)展，越來越多極端工況下的金屬材料部件需要考慮抗疲勞設(shè)計(jì)^［1］?！稒C(jī)械工程學(xué)科發(fā)展戰(zhàn)略報(bào)告（2021—2035）》中指出，在機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與壽命領(lǐng)域的研究前沿包含發(fā)展基于概率統(tǒng)計(jì)理論的壽命設(shè)計(jì)，以實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)的壽命預(yù)測(cè)^［2］。

通過傳統(tǒng)的大樣本統(tǒng)計(jì)方法來獲取可靠的P S N曲線成本較大，根據(jù)GB/T 24176—2009《金屬材料 疲勞試驗(yàn) 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方案與分析方法》，要得到95%置信度下包含5%～95%失效概率的P S N曲線至少需要58個(gè)試樣^［3］。針對(duì)壽命分布假設(shè)的小樣本P S N曲線，過去主要做了以下研究。一類是基于大樣本統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行改進(jìn)。凌靜等^［4］采用三參數(shù)非線性表達(dá)式和對(duì)數(shù)壽命服從正態(tài)分布的假設(shè)提出了一種基于小樣本P S N曲線的極大似然測(cè)定方法。傅惠民等^［5］基于異方差回歸分析理論實(shí)現(xiàn)了多母體聯(lián)合推斷的P S N小子樣測(cè)試方法。李洪雙等^［6］基于Bootstrap方法提出了一種估計(jì)任意置信度和任意可靠度下的C P S N曲線來改善小樣本疲勞測(cè)試數(shù)據(jù)估計(jì)方法。謝里陽等^［7］基于“疲勞失效跡線”與疲勞壽命分布的相關(guān)假設(shè)提出了樣本信息聚集原理，用于解決小樣本擬合P S N問題。此外還有基于Bootstrap方法建立的三參數(shù)P S N擬合方法和基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來構(gòu)建小樣本P S N的方法等^{［8 10］}。另一類是基于貝葉斯方法等融合歷史信息與小樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，例如呂箴等^［11］提出了一種結(jié)合歷史數(shù)據(jù)與當(dāng)前數(shù)據(jù)的加權(quán)最小二乘法統(tǒng)計(jì)壽命分布的方法。除上述兩類方法外，還有將S N曲線的參數(shù)視為隨機(jī)變量的非嵌入式多項(xiàng)式展開的小子樣方法等。以往這些方法的共性為在壽命分布形式已知的情況下外推P S N曲線，通過數(shù)據(jù)聚集的方法考慮總體概率分布，能有效擴(kuò)充數(shù)據(jù)。然而大量研究表明，不同金屬材料的疲勞壽命往往具有不同的分布類型，如對(duì)數(shù)正態(tài)分布、三參數(shù)威布爾分布，對(duì)于某些材料還可能會(huì)有混合分布等^{［12 16］}。因此這類方法在未能充分確定疲勞壽命分布類型時(shí)很難給出可靠的P S N曲線。

研究發(fā)現(xiàn)，在高周疲勞范圍內(nèi)疲勞強(qiáng)度分布基本服從正態(tài)分布^{［13 18］}。張艷斌等^［17］基于疲勞強(qiáng)度分布的統(tǒng)計(jì)方法結(jié)合線性損傷原理將中周區(qū)的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行聚集，得到了小樣本P S N曲線。S. HANAKI等^{［18 20］}基于“等效疲勞強(qiáng)度”的概念提出了對(duì)中高周區(qū)數(shù)據(jù)進(jìn)行聚集的方法，采用最小二乘法擬合JSMS標(biāo)準(zhǔn)中多種S N曲線，發(fā)現(xiàn)與常規(guī)Probit分析最接近的S N曲線為Strohmeyer模型。試驗(yàn)結(jié)果在中周到高周和低周到高周過渡區(qū)的壽命分散性增加，一方面，單純的線性模型不能直接拓展到中周到高周的過渡區(qū)，包含過渡區(qū)的線性S N曲線的斜率會(huì)更加平坦，另一方面，相關(guān)研究表明，S N曲線的擬合精度會(huì)隨著靠近過渡區(qū)而增加^［21］，因此，在獲取S N曲線時(shí)需要將低周到中周的過渡區(qū)考慮在內(nèi)。

為了進(jìn)一步提高模型精度和對(duì)材料疲勞極限的預(yù)測(cè)精度，本研究提出了一種表述包含兩個(gè)過渡區(qū)的中高周疲勞S N曲線，并基于疲勞強(qiáng)度分布假設(shè)采用極大似然法得出了適用于工程設(shè)計(jì)的小樣本高置信度P S N曲線。

1 雙過渡S N曲線提出

在國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 24176—2009《金屬材料 疲勞試驗(yàn) 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方案與分析方法》中，最常用的S N曲線是在中壽命區(qū)對(duì)數(shù)應(yīng)力與對(duì)數(shù)壽命為線性關(guān)系的冪函數(shù)^［3］：

S=aNb。（1）

式中：S為應(yīng)力；N為循環(huán)次數(shù)；a和b為與材料相關(guān)的未知參數(shù)。將兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)即為ISO 12107—2012等標(biāo)準(zhǔn)中常用的Basquin曲線^［19］：

lgN=A1+B1lgS。（2）

式中：A1和B1為與材料相關(guān)的未知參數(shù)。根據(jù)相關(guān)研究，由Basquin拓展到低周區(qū)的形式^［21］為

lg（N－D11）=A2+B2lgS。（3）

考慮到對(duì)數(shù)壽命內(nèi)取值范圍，令D1=－D11，則

lg（N+D1）=A2+B2lgS。（4）

類似的方法拓展到高周區(qū)的形式為

lgN=A3+B3lg（S－S0）。（5）

式中：S0為疲勞極限，這里拓展到高周區(qū)的形式即Strohmeyer曲線。令A(yù)31=－A3/B3，B31=1/B3，將S0視作隨機(jī)變量E，有：

lg（S－E）=A31+B31lgN。（6）

因此本研究在建立S N模型時(shí)主要考慮了3個(gè)因素（如圖1）：首先，試樣的壽命應(yīng)當(dāng)隨著應(yīng)力減少而增加，其變化過程近似服從雙對(duì)數(shù)下的線性關(guān)系；其次，在某個(gè)應(yīng)力水平下試樣壽命可以達(dá)到理論上的無限壽命；最后，在中周區(qū)域分別與低周區(qū)域和高周區(qū)域的過渡區(qū)有曲線過渡段。

由式（2）可以得到：

lgS－B*lgN=A*。（7）

式中：B=1/B，A=－A/B。由于lgS－BlgN在中周區(qū)計(jì)算結(jié)果為常數(shù)項(xiàng)，因此符合材料在中周對(duì)數(shù)應(yīng)力幅值和對(duì)數(shù)壽命為線性關(guān)系的基本規(guī)律。令B=（B1+B31）/（1－B2），A=（lgC+A2+A31）/（1－B2），代入式（7），有：

lgS－（B1+B31）（1－B2）lgN=（lgC+A2+A31）（1－B2）。（8）

改寫為

lgS－B1lgN=lgC+A2+A31+B2lgS+B31lgN。（9）

聯(lián)立式（4）、式（6）和式（9），有：

lgS－B1lgN=lgC+lg（N+D1）+lg（S－E）。（10）

根據(jù)式（10），本研究給出的雙過渡S N曲線方程如下：

1（N－D1）（S－E）exp（lgS－B1lgN）=C。（11）

式中：E為與疲勞極限相關(guān)的未知參數(shù)，E＞0；D1為與低周過渡區(qū)相關(guān)的未知位置參數(shù)，D1＞0；B1為形狀參數(shù)，B1＜0；C為未知常量。根據(jù)《航空金屬材料疲勞性能手冊(cè)》中的鋁合金LY12CZ疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)結(jié)果^［22］，按照本研究給出的方法擬合S N曲線，結(jié)果見圖2。

為了方便后續(xù)計(jì)算在“疲勞強(qiáng)度分布假設(shè)”下的應(yīng)力，在滿足E≠0的條件下求解方程（11），不妨令D=D1，B=B1，并將S改寫為N的函數(shù)：

S=E－N^－BC（N+D）+1。（12）

應(yīng)力幅值在S N曲線的分布有以下兩點(diǎn)假設(shè)：

①不同循環(huán)次數(shù)下的應(yīng)力分布近似相同；

②應(yīng)力分布服從正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布或威布爾分布。

如圖3所示，假設(shè)某次疲勞試驗(yàn)中循環(huán)次數(shù)為Ni，應(yīng)力幅值S是對(duì)應(yīng)Ni的隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布。根據(jù)“應(yīng)力分布假設(shè)”，對(duì)于不同循環(huán)次數(shù)下的疲勞試驗(yàn)有σS1=σS2=…=σSn=σS，σSi為某個(gè)循環(huán)次數(shù)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力幅值的標(biāo)準(zhǔn)差，σS為總體應(yīng)力幅值的標(biāo)準(zhǔn)差。不同壽命下的應(yīng)力分布具有相似的分位點(diǎn)，因此對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)如式（13）所示。

f（S，Ni，μi，σS）=1σS2πexp（－（Si－μi）22σ2S）。（13）

式中：μi=S（Ni）。

2 試驗(yàn)方法及結(jié)果

2.1 試驗(yàn)對(duì)象及基本力學(xué)性能

ZL101A鋁合金與BSM590結(jié)構(gòu)鋼的化學(xué)成分如表1和表2所示。由拉伸試驗(yàn)得到室溫時(shí)兩種材料的拉伸屈服強(qiáng)度Sy、抗拉強(qiáng)度Su，如表3所示。

用于疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的試樣如圖4所示，試驗(yàn)根據(jù)GB/T 3075—2021《金屬材料" 疲勞試驗(yàn) 軸向力控制方法》進(jìn)行試樣尺寸設(shè)計(jì)^［23］。由于試樣表面微小的劃痕都可能發(fā)展為裂紋擴(kuò)展源，因此在兩種試樣加工完成后均進(jìn)行了精細(xì)拋光。

2.2 試驗(yàn)方法及結(jié)果

根據(jù)GB/T 3075—2021《金屬材料 疲勞試驗(yàn) 軸向力控制方法》和GB/T 26076—2010《金屬薄板（帶） 軸向力控制疲勞試驗(yàn)方法》，進(jìn)行了在室溫環(huán)境下的疲勞試驗(yàn)^{［23 24］}。疲勞試驗(yàn)采用QBG100疲勞試驗(yàn)機(jī)（見圖5），試驗(yàn)頻率為95 Hz。試驗(yàn)分為中等樣本與小樣本兩組：ZL101A疲勞試驗(yàn)為中等樣本，共使用37個(gè)試樣，其中15個(gè)試樣用于升降法試驗(yàn)；BSM590疲勞試驗(yàn)為小樣本，共使用25個(gè)試樣，其中10個(gè)試樣用于升降法試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

不同于傳統(tǒng)的成組法試驗(yàn)流程，為了保證試驗(yàn)數(shù)據(jù)含低周到中周及中周到高周的過渡區(qū)的數(shù)據(jù)，試驗(yàn)時(shí)先采用單點(diǎn)試驗(yàn)法確定本輪試驗(yàn)的壽命分布范圍，然后從接近中周區(qū)中部的試驗(yàn)開始成組試驗(yàn)，逐步向高載荷水平（或低載荷水平）接近的同時(shí)計(jì)算該組試驗(yàn)的變異系數(shù)，根據(jù)變異系數(shù)的變化來判斷試驗(yàn)是否結(jié)束，如圖7所示。

3 參數(shù)估計(jì)方法與擬合結(jié)果

3.1 應(yīng)力分布假設(shè)下的極大似然法

假設(shè)應(yīng)力的分布形式為正態(tài)分布，采用極大似然法求解曲線中未知參數(shù)的關(guān)鍵是構(gòu)建似然函數(shù)L，使得事件發(fā)生的概率最大。根據(jù)參與擬合數(shù)據(jù)是否含有截?cái)鄶?shù)據(jù)分為兩種似然函數(shù)，其中不含截?cái)鄶?shù)據(jù)時(shí)的似然函數(shù)如下：

L（S，Ni，μi，σS）=∏ni=1f（S，Ni，μi，σS）。（14）

根據(jù)W. NELSON^［25］的工作，在擬合含截?cái)鄶?shù)據(jù)的S N曲線時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮截?cái)鄶?shù)據(jù)的影響，采用含有截?cái)鄶?shù)據(jù)時(shí)的似然函數(shù)如下：

L（S，Ni，μi，σS）=∏ni=1［f（S，Ni，μi，σS）］^δi［1－F（S，Ni，μi，σS）］^1－δi。（15）

式中：F（S，Ni，μi，σS）為對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)；S為服從正態(tài)分布的應(yīng)力幅值；Ni為疲勞試驗(yàn)的循環(huán)次數(shù)；μi為循環(huán)次數(shù)均值；σS為應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差；δi為計(jì)數(shù)量，當(dāng)試樣通過試驗(yàn)時(shí)（截?cái)鄶?shù)據(jù)）δi=1，當(dāng)試樣提前斷裂或失效時(shí)δi=0。針對(duì)所提出的模型，聯(lián)立式（12）式（13）構(gòu)建如下對(duì)數(shù)似然函數(shù)：

lg（L（S，Ni，μi，σS））=－12∑ni=1lg2π－∑ni=1lgσS－∑ni=1［SiE－Ni^－B/C（D+Ni）+1］22σS2。（16）

對(duì)式（16）中需要估計(jì)的參數(shù)求偏導(dǎo)并令其恒等于0，得出以下參數(shù)求解方程：

lg（L（S，Ni，μi，σS））σS=－nσS+∑ni=1［SiE－Ni^－B/C（D+Ni）+1］2σS2，（17）

lg（L（S，Ni，μi，σS））B=∑ni=1ENi^－BlgNi［Si－E－Ni^－B/C（D+Ni）+1］－σ2SC（D+Ni）［－Ni^－BC（D+Ni）+1］2，（18）

lg（L（S，Ni，μi，σS））C=∑ni=1ENi^－B［Si－E－Ni^－B/C（D+Ni）+1］－σ2S（D+Ni）［－Ni^－B（D+Ni）+C］2，（19）

lg（L（S，Ni，μi，σS））D=∑ni=1ENi^－B［Si－E－Ni^－B/C（D+Ni）+1］σ2SC［Ni^－B－C（D+Ni）］2，（20）

lg（L（S，Ni，μi，σS））E=∑ni=1［Si－E－Ni^－B/C（D+Ni）+1］σ2S［－Ni^－BC（D+Ni）+1］2。（21）

聯(lián)立等式（17）至式（21）并使得各偏導(dǎo)項(xiàng)等于0，可求得未知參量。需要注意的是，σS，－B，C，D，E的取值均大于0。根據(jù)ISO 12107—2012中推薦的方法，曲線的擬合優(yōu)度可以采用決定系數(shù)（coefficient of determination）R2來量化^［19］：

R2=∑ni=1（lgi－lg）2∑ni=1（lgYi－lg）2。（22）

式中：Yi為實(shí)際壽命值；i為某應(yīng)力水平對(duì)應(yīng)的壽命的預(yù)測(cè)值；為實(shí)際壽命的平均值。為了更準(zhǔn)確地評(píng)估擬合結(jié)果對(duì)異常數(shù)據(jù)的敏感性，常采用均方根誤差（root mean square error，RMSE）進(jìn)行計(jì)算：

RMSE=1n∑ni=1（i－Yi）2。（23）

3.2 引用多個(gè)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出S N曲線方程的有效性與實(shí)用性，采用前述方法對(duì)如表4中32組數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)擬合。

雙過渡S N曲線、Strohmeyer曲線和Basquin曲線對(duì)以上數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果如圖8所示。從R2計(jì)算結(jié)果來看，擬合精度由大到小依次為雙過渡S N曲線，Strohmeyer曲線，Basquin曲線。從RMSE計(jì)算結(jié)果來看，誤差由大到小依次為Basquin曲線，Strohmeyer曲線，雙過渡S N曲線，即雙過渡S N

曲線對(duì)數(shù)據(jù)的整體解釋性更好。從疲勞極限預(yù)測(cè)精度的整體計(jì)算結(jié)果來看，雙過渡S N曲線的預(yù)測(cè)精度要好于Strohmeyer曲線。從樣本數(shù)量變化來看，隨著數(shù)據(jù)樣本量的增加，數(shù)據(jù)的擬合精度結(jié)果趨于穩(wěn)定。

4 試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合及結(jié)果驗(yàn)證

4.1 不同曲線的擬合情況對(duì)比

為了驗(yàn)證所提出的S N曲線在基于應(yīng)力分布假設(shè)下的擬合方法的實(shí)用性，基于ZL101A和BSM590試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行曲線擬合。結(jié)合ISO 12107—2012中推薦使用的Basquin曲線和Strohmeyer曲線，分別基于應(yīng)力分布假設(shè)的極大似然法進(jìn)行擬合，并與新提出的曲線進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖9所示。曲線的參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表5所示，相關(guān)的擬合優(yōu)度與疲勞極限預(yù)測(cè)精度如表6所示。

對(duì)于中等樣本ZL101A試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果，從擬合曲線的趨勢(shì)來看，本研究提出的S N曲線比Basquin曲線和Strohmeyer曲線更能反映數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，其決定系數(shù)R2為0.76；從疲勞極限的預(yù)測(cè)精度來看，新提出的S N曲線對(duì)疲勞極限的預(yù)測(cè)精度要稍好于Strohmeyer曲線。對(duì)于小樣本BSM590試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果，從擬合曲線的趨勢(shì)來看，本研究提出的S N曲線比Strohmeyer曲線更能反映數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，其決定系數(shù)R2為0.88；從疲勞極限的預(yù)測(cè)精度來看，Strohmeyer模型的預(yù)測(cè)精度要稍差于新提出的S N曲線?？傮w來看，新提出的S N曲線對(duì)疲勞極限的預(yù)測(cè)精度和擬合優(yōu)度在中、小樣本的數(shù)據(jù)量上均表現(xiàn)較好，主要是因?yàn)樾绿岢龅那€參數(shù)量要多于其他模型，因而在曲線的過渡段變化更靈活。

此外，在過渡區(qū)拐點(diǎn)處的實(shí)際載荷應(yīng)當(dāng)采用Dixon mood所提出的方法進(jìn)行計(jì)算，這里截?cái)鄶?shù)據(jù)的截?cái)辔恢脼锽asquin曲線的拐點(diǎn)Nd。因此Nd所對(duì)應(yīng)的實(shí)際載荷水平可以采用如圖10所示的方式進(jìn)行計(jì)算，ZL101A數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果為Nd1=10 986 800，載荷水平Sd1=72.3 MPa；同理，BSM590數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果為Nd2=1 373 410，載荷水平Sd2=264 MPa。對(duì)于Strohmeyer模型，在ZL101A材料和BSM590材料的曲線拐點(diǎn)處的載荷計(jì)算偏差分別為7.3%和0.7%；對(duì)于本研究提出的模型，在ZL101A材料和BSM590材料的曲線拐點(diǎn)處的載荷計(jì)算偏差分別為4.8%和0.1%。上述結(jié)果表明，本研究所提出的S N曲線在過渡段的表現(xiàn)優(yōu)于Strohmeyer模型，疲勞極限的預(yù)測(cè)偏差也更?。粩M合精度在小樣本中的表現(xiàn)更好。

4.2 新S N曲線的P S N擬合結(jié)果驗(yàn)證

基于應(yīng)力分布假設(shè)采用極大似然法來擬合新提出的P S N曲線。對(duì)于中等數(shù)量試驗(yàn)的ZL101A樣本，一共有29個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)參與擬合，最佳擬合所計(jì)算出的σS=10.8。利用這一分析結(jié)果，可以根據(jù)每個(gè)給定循環(huán)次數(shù)疲勞強(qiáng)度分布的百分位數(shù)繪制P S N曲線，如圖11a所示。在參與擬合的失效數(shù)據(jù)點(diǎn)中，29個(gè)失效點(diǎn)中有21個(gè)（72.4%）位于第10和第90百分位（80%的范圍），29個(gè)失效點(diǎn)中有24個(gè)（82.8%）位于第5和第95百分位（90%的范圍），28個(gè)點(diǎn)（96.6%）位于第1和第99百分位（98%范圍）。對(duì)于小樣本試驗(yàn)的BSM590樣本，一共有15個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)參與擬合，最佳擬合所計(jì)算出的σS=7.9。利用這一分析結(jié)果，可以根據(jù)每個(gè)給定循環(huán)次數(shù)的疲勞強(qiáng)度分布的百分位數(shù)繪制P S N曲線，如圖11b所示。在參與擬合的失效數(shù)據(jù)點(diǎn)中，15個(gè)失效點(diǎn)中有12個(gè)（80%）位于第10和第90百分位（80%的范圍），15個(gè)失效點(diǎn)中有13個(gè)（86.7%）位于

第5和第95百分位（90%的范圍），14個(gè)點(diǎn)（93.3%）位于第1和第99百分位（98%范圍）。因此百分位帶與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好。

為保證疲勞強(qiáng)度分布假設(shè)的準(zhǔn)確性，國標(biāo)GB/T 4882—2001《數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理和解釋 正態(tài)性檢驗(yàn)》對(duì)于數(shù)據(jù)量在8～50時(shí)推薦采用Shapiro Wilk檢驗(yàn)^［34］。對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行正態(tài)檢驗(yàn)，殘差統(tǒng)計(jì)結(jié)果見圖12。

對(duì)于ZL101A中等樣本數(shù)據(jù)，樣本量n=29且給定α=0.05時(shí)的p分位數(shù)為0.63，由于計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量W為0.97，大于該p分位值，因此在顯著水平α=0.05時(shí)不拒絕原假設(shè)。同理，計(jì)算BSM590小樣本數(shù)據(jù)時(shí)在顯著水平α=0.05時(shí)計(jì)算得到的p分位數(shù)為0.16，且檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量W為0.87，不拒絕原假設(shè)。根據(jù)上述分析結(jié)果可知，采用本方法在中等樣本數(shù)據(jù)（ZL101A）中應(yīng)用所得到的置信度95%下的P S N曲線在失效率為5%～95%范圍所使用的試樣數(shù)僅為常規(guī)成組法的50%，而更小樣本（BSM590）使用試樣數(shù)僅為常規(guī)成組法的26%。

5 結(jié)論

a） 提出的方法在中等樣本數(shù)據(jù)（ZL101A）中應(yīng)用所得到的95%置信度下的P S N曲線在失效率為5%～95%范圍所使用的試樣數(shù)僅為常規(guī)成組法的50%；

b） 從超過30種引用數(shù)據(jù)中，雙過渡S N曲線方程計(jì)算所得到的疲勞極限偏差精度要高于Strohmeyer方程；在兩種實(shí)測(cè)驗(yàn)證數(shù)據(jù)中，兩種曲線的疲勞極限預(yù)測(cè)精度均在3%以內(nèi)，其中計(jì)算偏差最小的是本研究所提出的S N曲線，其結(jié)果偏差均小于1%；

c） 新提出的S N曲線在超過30種引用數(shù)據(jù)中的擬合精度均優(yōu)于Strohmeyer和Basquin方程；其中對(duì)于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，中樣本的R2為0.76，遠(yuǎn)大于其他兩種方程的擬合結(jié)果（0.68和0.66），而小樣本的R2為0.88，結(jié)果優(yōu)于其他兩種方程（0.85和0.83），有很好的工程應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 張金豹，胡錚，張金樂，等.疲勞S N曲線預(yù)測(cè)模型進(jìn)展綜述［J］．科學(xué)技術(shù)與工程，2023，23（13）：5390 5411.

［2］ 國家自然科學(xué)基金會(huì).機(jī)械工程學(xué)科發(fā)展戰(zhàn)略報(bào)告（2021—2035）［M］．北京：科學(xué)出版社，2021：173 184.

［3］ 中國鋼鐵工業(yè)協(xié)會(huì).金屬材料 疲勞試驗(yàn) 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方案與分析方法：GB/T 24176—2009［S］．北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，2009.

［4］ 凌靜，高鎮(zhèn)同.P S N曲線測(cè)定的最大似然法［J］．航空學(xué)報(bào)，1992（5）：247 252.

［5］ 傅惠民，劉成瑞.S N曲線和P S N曲線小子樣測(cè)試方法［J］．機(jī)械強(qiáng)度，2006（4）：552 555.

［6］ 李洪雙，呂震宙.P S N曲線的Bootstrap置信帶［J］．機(jī)械強(qiáng)度，2007，132（4）：642 646.

［7］ 謝里陽，劉建中.樣本信息聚集原理與P S N曲線擬合方法［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2013，49（15）：96 104.

［8］ 劉瀟然，孫秦.非嵌入多項(xiàng)式混沌法在P S N曲線擬合中的應(yīng)用［J］．應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2021，38（3）：1252 1257.

［9］ 趙永翔，王金諾，高慶.估計(jì)三種常用疲勞應(yīng)力 壽命模型P S N曲線的統(tǒng)一經(jīng)典極大似然法［J］．應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2001（1）：83 90.

［10］ DONG C，YAZHI L，KE L，et al.A physics informed neural network approach to fatigue life prediction using small quantity of samples［J］．International Journal of Fatigue，2023，166：107270.

［11］ 呂箴，姚衛(wèi)星.小樣本疲勞壽命分析問題研究進(jìn)展［J］．力學(xué)與實(shí)踐，2008（5）：9 15.

［12］ 趙丙峰，廖鼎，朱順鵬，等.機(jī)械結(jié)構(gòu)概率疲勞壽命預(yù)測(cè)研究進(jìn)展［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2021，57（16）：173 184.

［13］ HE L，AKEBONO H，KATO M，et al.Fatigue life prediction method for AISI 316 stainless steel under variable amplitude loading considering low amplitude loading below the endurance limit in the ultrahigh cycle regime［J］．International Journal of Fatigue，2017，101：18 26.

［14］ SAKAI T，OKADA K.Statistical fatigue properties of SCM435 steel in ultra long life regime based on JSMS database on fatigue strength of metallic materials［J］．International Journal of Fatigue，2002，28（11）：1486 1492.

［15］ MAENNIG W.Statistical planning and evaluation of fatigue tests：A survey of recent results［J］．International Journal of Fracture，1975，11（1）：123 129.

［16］ PASCUAL F G，MEEKER W Q.Estimating fatigue curves with the random fatigue limit mode［J］．Technometrics，1999，41（4）：277 289.

［17］ 張艷斌，魯連濤，張繼旺，等.基于小樣本耐久強(qiáng)度區(qū)的疲勞失效數(shù)據(jù)推定車軸鋼的疲勞強(qiáng)度分布［J］．機(jī)械，2008（9）：11 15.

［18］ HANAKI S，YAMASHITA M，UCHIDA H，et al.On stochastic evaluation of S N data based on fatigue strength distribution［J］．International Journal of Fatigue，2009，32（3）：605 609.

［19］ International Organization for Standardization.Metallic materials：fatigue testing：statistical planning and analysis of data：ISO 12107—2012［S］．［S.l.］：ISO，2012.

［20］ STROMEYER C E.The determination of fatigue limits under alternating stress conditions［J］．Proceedings of the Royal Society of London，Series A：Containing Papers of a Mathematical and Physical Character，1914，90（620）：411 425.

［21］ MARTIN A，HINKELMANN K，ESDERTS A.Zur auswertung von schwingfestigkeitsversuchen im zeitfestigkeitsbereich teil 1：wie zuverlssig knnen 50% whlerlinien aus experimentellen daten geschtzt werden［J］．Materials Testing，2011，53（9）：502 512.

［22］ 高鎮(zhèn)同.航空金屬材料疲勞性能手冊(cè)［M］．北京：北京航空材料研究所，1981.

［23］ 中國鋼鐵工業(yè)協(xié)會(huì).金屬材料 疲勞試驗(yàn) 軸向力控制方法：GB/T 3075—2021［S］．北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，2021.

［24］ 中國鋼鐵工業(yè)協(xié)會(huì).金屬薄板（帶） 軸向力控制疲勞試驗(yàn)方法：GB/T 26076—2010［S］．北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，2011.

［25］ NELSON W.Analysis of residuals from censored data［J］．Technometrics，1973，15（4）：697 715.

［26］ 王遠(yuǎn)霏，孫海榮，朱忠尹，等.A6005A T6鋁合金焊接接頭P S N疲勞壽命研究［J］．焊接技術(shù)，2018，47（12）：41 46.

［27］ 李騁，張國棟，許超，等.確定高周應(yīng)力疲勞S N曲線的方法研究［J］．燃?xì)鉁u輪試驗(yàn)與研究，2008（2）：39 43.

［28］ SHEN C.The statistical analysis of fatigue data［D］．Tucson：The University of Arizona，1994.

［29］ ZOU Q，ZHAO J，WEN J.Robust quantile regression analysis for probabilistic modelling of S N curves［J］．International Journal of Fatigue，2023，167：107326.

［30］ TADDESSE A T，ZHU S P，LIAO D，et al.Combined notch and size effect modeling of metallic materials for LCF using plasticity reformulated critical distance theory［J］．Journal of Materials Research and Technology，2022，18：470 484.

［31］ ZENG F，YANG Y，QIAN G.Fatigue properties and S N curve estimating of 316 L stainless steel prepared by SLM［J］．International Journal of Fatigue，2022，162：106946.

［32］ RICE R C，JACKSON J L，BAKUCKAS J，et al.Metallic materials properties development and standardization：MMPDS 08［S］．［S.l.］：Battelle Memorial Institute，2013.

［33］ CASTILLO E，MUNIZ CALVENTE M，F(xiàn)ERNN DEZ CANTELI A，et al.Fatigue assessment strategy using bayesian techniques［J］．Materials，2019，12（19）：3239.

［34］ 全國統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)化技術(shù)委員會(huì).數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理和解釋 正態(tài)性檢驗(yàn)：GB/T 4882—2001［S］．北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，2001.

Double Transition P S N Curve Based on Fatigue Strength Distribution

JING Guoxi^1，2，SU Yue^1，2，TAO Shuai^1，2，SONG Yali3，TU Danhong3，SUN Tengteng^1，2

（1.School of Mechanical Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China;

2.Tianjin Key Laboratory of Power Transmission and Safety Technology for New Energy Vehicles，Tianjin 300130，China;

3.China Shipbuilding POWER Engineering Institute Co.，Ltd.，Shanghai 201306，China）

Abstract： Previous studies have found that the fatigue life distributions of different metallic materials tend to have different types of distributions with changes in load levels， while the fatigue strengths corresponding to different lifetimes generally follow the same distribution. Based on the concept of equivalent fatigue strength， the data could be combined under different fatigue lifetimes， and the parameter estimation was carried out by the great likelihood method under the assumption that the fatigue strength of overall samples followed normal distribution. Some classical models， such as the Strohmeyer model， often exhibited poor fitting in the transitional segments from medium to high cycles or from medium to low cycles when using the above method. To address this issue， a middle high cycle S N curve with two transition segments was constructed， and a P S N curve suitable for engineering design was provided. Fatigue tests incorporating two transition zones were conducted on ZL101A aluminum alloy and BSM590 structural steel， and comparisons with Strohmeyer model revealed that the newly proposed dual transition S N curve provided the better fitting goodness with medium and small sample sizes. Compared to the fatigue limit calculated using the lifting method， the deviations of fatigue limits derived from the fatigue strength distribution fitting were all within 3%， while the calculation deviations of the newly proposed S N curve were all less than 1%. In the transitional segment from medium to high cycles， compared with the results calculated using the Dixon mood method， the accuracy of the proposed S N curve reached 92.2% and 99.9%， respectively.

Key words： stress life curve;fatigue strength;maximum likelihood method;fatigue limit

［編輯： 袁曉燕］