摘 要：針對基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)的飛輪儲(chǔ)能轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)問題展開研究，將飛輪轉(zhuǎn)子等效為Timoshenko梁單元模型，通過坐標(biāo)變換建立基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)有限元模型，研究基礎(chǔ)在規(guī)則運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性，得到以下結(jié)論：基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的增大會(huì)加劇固有頻率分離并改變臨界轉(zhuǎn)速。轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻譜中會(huì)出現(xiàn)基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)的頻率成分，幅值隨基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)頻率、幅值的增大而增大；基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率接近臨界轉(zhuǎn)速對應(yīng)的頻率時(shí)會(huì)產(chǎn)生共振，穩(wěn)態(tài)頻譜中基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)頻率成分出現(xiàn)峰值，瞬態(tài)升速響應(yīng)出現(xiàn)額外共振峰。轉(zhuǎn)子設(shè)計(jì)和應(yīng)用時(shí)應(yīng)考慮基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)的影響。

關(guān)鍵詞：儲(chǔ)能；飛輪；基礎(chǔ)；共振；動(dòng)力學(xué)響應(yīng)；梁單元；固有頻率

中圖分類號：TH113 """"""""""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引 言

隨著“雙碳”目標(biāo)的提出，以風(fēng)電、光伏發(fā)電為代表的可再生能源電力的占比逐漸提高，但其間歇波動(dòng)性強(qiáng)，會(huì)威脅電網(wǎng)安全穩(wěn)定運(yùn)行。儲(chǔ)能技術(shù)是解決可再生能源電力高滲透率問題的關(guān)鍵技術(shù)之一，飛輪儲(chǔ)能作為一種快響應(yīng)、長壽命、高可靠的儲(chǔ)能技術(shù)，是未來大力發(fā)展的新型儲(chǔ)能技術(shù)之一［1-3］。當(dāng)飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)在復(fù)雜環(huán)境中（如地震、運(yùn)行的車輛、船舶）運(yùn)行時(shí)，系統(tǒng)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)受環(huán)境影響而時(shí)刻變化，從而對轉(zhuǎn)動(dòng)的飛輪轉(zhuǎn)子施加額外的激勵(lì)，使轉(zhuǎn)子的振動(dòng)加劇，對系統(tǒng)的安全運(yùn)行造成威脅。各領(lǐng)域針對基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)對轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性的影響做了大量研究。徐敬崗等［4］研究基礎(chǔ)位移激勵(lì)對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)在水平或垂直方向上的位移激勵(lì)對其他方向的振動(dòng)也存在一定影響，同時(shí)可能造成共振現(xiàn)象；張恩杰等［5］對比分析了基礎(chǔ)振動(dòng)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性及失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響，發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)振動(dòng)導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性降低；文獻(xiàn)［6］建立包含發(fā)動(dòng)機(jī)基礎(chǔ)激勵(lì)的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)有基礎(chǔ)激勵(lì)時(shí)轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜；文獻(xiàn)［7］建立3種包含基礎(chǔ)部件和定子部件的動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行了對比總結(jié)；文獻(xiàn)［8］研究了平面偏心轉(zhuǎn)子縱向偏離質(zhì)心的無源自動(dòng)平衡裝置的非線性行為，研究發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)支座的不對稱及轉(zhuǎn)子的偏心布置會(huì)導(dǎo)致超臨界分岔更為復(fù)雜。飛機(jī)、船舶用轉(zhuǎn)子在考慮機(jī)動(dòng)、波浪載荷時(shí)的建模原理和基礎(chǔ)激勵(lì)相同。侯磊等［9-10］研究了轉(zhuǎn)子受到機(jī)動(dòng)載荷時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性，發(fā)現(xiàn)機(jī)動(dòng)載荷會(huì)增加共振峰頻率和主共振頻率，引起碰摩現(xiàn)象，并伴隨著復(fù)雜的非線性行為；史陽旭等［11］、謝旋等［12］建立橫搖、艏搖作用下船用轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型并研究其對轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的影響，發(fā)現(xiàn)橫搖、艏搖使轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更復(fù)雜，振幅及其相對軸瓦的偏轉(zhuǎn)與橫搖、艏搖幅值成非線性正相關(guān)關(guān)系。針對飛輪這一研究對象，仁正義等［13］以建立飛輪轉(zhuǎn)子-基礎(chǔ)系統(tǒng)的徑向耦合動(dòng)力學(xué)方程，研究發(fā)現(xiàn)定、轉(zhuǎn)子在基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)受到轉(zhuǎn)子、定子固有頻率及不平衡激勵(lì)；楊紅進(jìn)等［14］以車載飛輪為研究對象，利用ADAMS與Matlab仿真分析了基礎(chǔ)瞬態(tài)運(yùn)動(dòng)以及基礎(chǔ)振動(dòng)對飛輪轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的影響。

使用機(jī)動(dòng)飛行理論建立基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)的飛輪轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型不需要考慮基礎(chǔ)質(zhì)量、形狀等因素，僅需要使用基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，具有一定通用性，適用于儲(chǔ)能飛輪多樣的工作環(huán)境。儲(chǔ)能飛輪轉(zhuǎn)子具有較大的長徑比，使用集中質(zhì)量法建模具有較大誤差［15］，因此本文使用有限元法中的梁單元建模，并討論基礎(chǔ)規(guī)則運(yùn)動(dòng)下運(yùn)動(dòng)參數(shù)對轉(zhuǎn)子響應(yīng)特性的影響，以期為不同應(yīng)用場景下飛輪轉(zhuǎn)子的設(shè)計(jì)制造、狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷提供理論依據(jù)。

1 飛輪轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)建模

1.1 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)和單元?jiǎng)澐?/p>

本文所研究的飛輪轉(zhuǎn)子由實(shí)物簡化得到，如圖1a所示［16］，主要由本體、雙向電機(jī)、徑向機(jī)械軸承、軸向磁軸承、外殼、冷卻系統(tǒng)、真空系統(tǒng)等組成。飛輪轉(zhuǎn)子通過上下兩個(gè)徑向軸承與外殼相連并通過永磁軸承懸浮，外殼上端使用支撐桿支撐。簡化結(jié)構(gòu)如圖1b所示，上下徑向軸承簡化為彈簧阻尼結(jié)構(gòu)，支撐桿簡化為純彈簧結(jié)構(gòu)。

基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)方式和轉(zhuǎn)子不同，需要使用歐拉角將運(yùn)動(dòng)參數(shù)在不同坐標(biāo)系間轉(zhuǎn)換［17］。如圖2所示，引入慣性坐標(biāo)系[Oxyz]（固連于大地）、基礎(chǔ)坐標(biāo)系[Oxpypzp]（固連于飛輪基礎(chǔ)平臺(tái)，原點(diǎn)位于飛輪底座中心）和轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系[Oxryrzr]（固連于轉(zhuǎn)子單元，原點(diǎn)位于各節(jié)點(diǎn)）。對飛輪轉(zhuǎn)子本體及外殼部分進(jìn)行離散化處理，如圖3所示。上下軸承位于節(jié)點(diǎn)3、節(jié)點(diǎn)24。

1.2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

坐標(biāo)系關(guān)系可通過歐拉角[α、β]和[γ]的3次旋轉(zhuǎn)來表示，如圖4所示，以[Oxpypzp]和[Oxryrzr]為例進(jìn)行說明。坐標(biāo)系[Oxpypzp]分別繞[yp]軸、[Ox′]軸和[zr]軸旋轉(zhuǎn)[β]角、[α]角和[γ]角，3次旋轉(zhuǎn)后形成坐標(biāo)系[Oxryrzr]。兩坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

[xryrzr=Txpypzp=T3?T2?T1xpypzp] （1）

[T1=cosβ0-sinβ010sinβ0cosβT2=1000cosαsinα0-sinαcosαT3=cosγsinγ0-sinγcosγ0001] （2）

式中：[T]——總旋轉(zhuǎn)矩陣；[T1]、[T2]、[T3]——每次旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)換矩陣。

坐標(biāo)系[Oxryrzr]的角速度在坐標(biāo)系[Oxpypzp]中的投影[ωrp]為：

[ωrp=00γ+T3α00+T3?T20β0=βsinγcosα+αcosγβcosαcosγ-αsinγγ-βsinα] （3）

1.3 能量表達(dá)式

轉(zhuǎn)子的絕對角速度[ωrp]為轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的角速度在轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系的投影，表達(dá)式為：

[ωri=ωrp+ωpi=βsinγcosα+αcosγβcosαcosγ-αsinγγ-βsinα+Tθpψp?p] （4）

歐拉角[α、β]屬于微小量，[γ]角等于轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)位移，存在如下關(guān)系：

[α≈θr，β≈ψr，γ=?r，sinα≈θr，sinβ≈ψr，cosα≈1，cosβ≈1] （5）

由式（4）求得：

[ωri=θr+ψrsin?rψrcos?r-θrsin?r?r-ψrθr+ """""""""cos?rsin?rθrsin?r-ψrcos?r-sin?rcos?rθrcos?r+ψrsin?rψr-θr1θpψp?p] （6）

式中：[θ、ψ、?]——繞[x、y、z]這3個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)位移，rad；上標(biāo)·——位移對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即速度；[r]——轉(zhuǎn)子，帶此下標(biāo)表示轉(zhuǎn)子在平臺(tái)坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)參數(shù)；下標(biāo)[p]——基礎(chǔ)平臺(tái)，帶此下標(biāo)表示基礎(chǔ)平臺(tái)在慣性坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)參數(shù)。

根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)理論，當(dāng)轉(zhuǎn)子存在質(zhì)量不平衡時(shí)，質(zhì)心相對于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的位置向量[rrp]為：

[rrp=ur+ecos?r+η0vr+esin?r+η0wr] （7）

式中：[u、v、w]——[x、y、z]方向平動(dòng)位移，m；[e]——轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量偏心距，m；[η0]——不平衡初始相位，不平衡位于單元17，rad。

轉(zhuǎn)子的絕對平動(dòng)速度[vri]為：

[vri=vpi+rrp+ωp×rrp= """""upvpwp+ur-e?rsin?r+η0vr+e?rcos?r+η0wr+ """""0-?pψp?p0-θp-ψpθp0?ur+ecos?r+η0vr+esin?r+η0wr] （8）

式（8）中，第一項(xiàng)為基礎(chǔ)絕對平動(dòng)速度，第二項(xiàng)為轉(zhuǎn)子相對于平臺(tái)平動(dòng)速度，第三項(xiàng)為轉(zhuǎn)子受平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)影響產(chǎn)生的平動(dòng)速度。

梁單元的動(dòng)能表達(dá)式為：

[Te=120le（ρeAevTrivri+ρeωTriIe000Ie0002Ieωri）dz] （9）

式中：[le]——梁單元長度，m；[ρe]——梁單元密度，kg/m3；[Ae]——梁單元截面積，m2；[Ie]——梁單元截面慣性矩，m4。

梁單元彈性勢能表達(dá)式為：

[Ue=EeIe20le?2ur?z22+?2vr?z22dz+ """"""""""EeIeΦele2240le?3ur?z32+?3vr?z32dz] （10）

式中：[Ee]——楊氏模量，Pa；[Φe]——梁單元橫向剪切系數(shù)。

1.4 運(yùn)動(dòng)方程

拉格朗日方程為：

[ddt?T?q-?T?q+?U?q=Q] （11）

式中：[q]——廣義位移矢量；[Q]——外力矢量。

將式（9）、式（10）代入式（11）求解可得轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為：

[Mq+?rG+Cbq+2?pHq+K+Kb+Ksq+?pH+ """"""?r?pKv-θp2Kx-ψ2pKy-?2pKz+θpψpKxyq=Qp+Qm] （12）

式中：[M]——質(zhì)量矩陣；[G]——陀螺矩陣；[Cb]——軸承阻尼矩陣；[K]——?jiǎng)偠染仃嚕?8］；[Kb]——軸承剛度矩陣；[Ks]——外殼支撐剛度矩陣。

軸承將轉(zhuǎn)子與外殼的相應(yīng)節(jié)點(diǎn)耦合，表達(dá)式為：

[Kb=diagk1k100Cb=diagc1c100Ks=diagk2k200] （13）

式中：[k1]——軸承剛度，N/m；[k2]——外殼支撐剛度；[c1]——軸承阻尼，N·s/m。

與基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)參數(shù)相關(guān)的矩陣表達(dá)式為：

[H=ρeAe0leNTt0-110Ntdz+ρeIe0leNTr0-110NrdzKv=ρeIe0leNTr1001NrdzKx=ρeAe0leNTt0001Ntdz+ρeJe-Ie0leNTr0001NrdzKy=ρeAe0leNTt1000Ntdz+ρeJe-Ie0leNTr1000NrdzKz=ρeAe0leNTt1001Ntdz-ρeJe-Ie0leNTr1001NrdzKxy=ρeAe0leNTt0110Ntdz+ρeJe-Ie0leNTr0110Nrdz] （14）

式中：[Nt]、[Nr]——梁單元形函數(shù)矩陣；Je——梁單元極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2。

形函數(shù)矩陣表達(dá)式為：

[Nt=N100N2N300N40N1-N200N3-N40Nr=0-110Φele212?3Nt?z3+?Nt?z] （15）

式中：[N1～N4]——梁單元形函數(shù)。

形函數(shù)是軸向位置[z]的函數(shù)，表達(dá)式參考文獻(xiàn)［18］。[Qp]為基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的外力矩陣，[Qm]為轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡產(chǎn)生的外力矩陣：

[Qp=θpρeAewrR2-IeR3-ψpρeAewrR1+IeR4+""""""" """""""θpρeAewpR2+Ie?rR4-ψpρeAewpR1+Ie?rR3+""""""""""""" """""""?pρeAevpR1-upR2-θp?pρeAewrR1-"""""""""""""" """""""ψp?pρeAewrR2-ρeAeupR1+vpR2Qm=ρeAee?p-θpψpsin?r+η0R1+"""""""" """"""""θp+?p+?r2sin?r+η0R2+"""""""" """"""""ψ2p+?p+?r2cos?r+η0R1-"""""""" """"""""?p+θpψpcos?r+η0R2] （16）

[R1=0leNTt10dz，R2=0leNTr01dz，R3=0leNTr10dz，R4=0leNTr01dz] （17）

可看出基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)會(huì)對轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程中等式左邊參數(shù)矩陣以及等式右邊外力產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性。

使用Newmark-β法求解運(yùn)動(dòng)方程即可得到系統(tǒng)固有頻率與各節(jié)點(diǎn)響應(yīng)。系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

2 基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)參數(shù)對轉(zhuǎn)子固有頻率的影響

圖5為不考慮基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)時(shí)的飛輪轉(zhuǎn)子坎貝爾圖。最大工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)會(huì)出現(xiàn)4個(gè)臨界轉(zhuǎn)速，即一階反進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速（2386 r/min）、一階正進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速（2481 r/min）、二階反進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速（5635 r/min）、二階正進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速（7893 r/min）。因轉(zhuǎn)子沿軸向?yàn)榉菍ΨQ結(jié)構(gòu)，一、二階，三、四階固有頻率出現(xiàn)分離，其中一、二階固有頻率分別為40.45和40.72 Hz，三、四階固有頻率分別為106.81和108.03 Hz。分析式（12）可知基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)參數(shù)會(huì)影響運(yùn)動(dòng)方程的剛度、阻尼矩陣，進(jìn)而影響飛輪系統(tǒng)的固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速。

圖6為飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率隨運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化曲線，參數(shù)正負(fù)表示基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)方向。由圖6可知，基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化導(dǎo)致相鄰兩階固有頻率分離程度加劇，且各參數(shù)對固有頻率的影響呈左右對稱，與基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)方向無關(guān)。在不考慮基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)方向前提下，隨著基礎(chǔ)軸向轉(zhuǎn)速[?p]的增大，一、三階固有頻率減小，二、四階固有頻率增大，固有頻率分離程度迅速變大。隨著基礎(chǔ)橫向轉(zhuǎn)速[θp]、[ψp]的增大，固有頻率均出現(xiàn)下降趨勢，下降曲線形狀類似拋物線，下降速度逐漸增大。基礎(chǔ)軸向角加速度[?p]的影響較小，前四階固有頻率基本不隨[?p]的變化而變化。特別地，當(dāng)[θp]=29.5 rad/s時(shí)，一、二階固有頻率重合。

圖7所示為飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速隨運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化曲線。隨著[?p]的增大，當(dāng)基礎(chǔ)軸向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（[?p]lt;0）時(shí)，一、二階反進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速減小，當(dāng)基礎(chǔ)軸向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（[?p]gt;0）時(shí)，一階反進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速先增大后減小，二階反進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速增大，正進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速的變化與反進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速相反。其他參數(shù)變化時(shí)臨界轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律同樣與基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)方向無關(guān)，[?p]基本不影響前兩階臨界轉(zhuǎn)速，不考慮基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)方向時(shí)，隨著基礎(chǔ)橫向轉(zhuǎn)速[θp]、[ψp]的增大，各階臨界轉(zhuǎn)速均減小。

3 基礎(chǔ)橫向簡諧轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

基礎(chǔ)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)可看作多種簡諧運(yùn)動(dòng)的疊加，因此分析基礎(chǔ)在簡諧運(yùn)動(dòng)下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)是有必要的，下文以基礎(chǔ)橫向簡諧轉(zhuǎn)動(dòng)為例，分析轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)（恒速）和瞬態(tài)（升速）響應(yīng)。

3.1 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

假設(shè)基礎(chǔ)（繞[x]方向）做頻率為[fp]、幅度為[Ap]的橫向簡諧轉(zhuǎn)動(dòng)，即：

[θp=Apsin2πfpt] （18）

則基礎(chǔ)角速度、角加速度分別為：

[θp=2πfpApcos2πfptθp=2πfp2Apsin2πfpt] （19）

將式（19）代入式（12），求解得到轉(zhuǎn)子響應(yīng)，以轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速6000 r/min為例，分析轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

圖8為基礎(chǔ)橫向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)上軸承處振動(dòng)時(shí)域波形，因轉(zhuǎn)子存在不平衡質(zhì)量，當(dāng)基礎(chǔ)靜止時(shí)，波形為正弦曲線，[x]和[y]方向幅值相等且相位相差90°。當(dāng)基礎(chǔ)橫向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，振動(dòng)波形近似為轉(zhuǎn)頻[fr]（此時(shí)[fr]=100 Hz）與基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)頻率[fp]這兩種頻率的正弦曲線疊加，[y]方向幅值大于[x]方向幅值。對比圖8a～圖8c可知，當(dāng)基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)幅度增大時(shí)，[x、y]方向振動(dòng)幅度明顯增大，[x]方向增幅更明顯。對比圖8a、圖8d、圖8e可知，當(dāng)基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)頻率增大時(shí)，[x]方向振動(dòng)幅度迅速增大，這是由于基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)速度、加速度表達(dá)式的幅度含有[fp]和其平方項(xiàng)。

圖9為基礎(chǔ)橫向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)上軸承處[x]方向振動(dòng)頻譜圖。圖9a中基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率[fp=10] Hz，幅度[Ap=0～10-3] m，頻譜中除轉(zhuǎn)頻（[fr]）成分外還出現(xiàn)基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)頻率（[fp]）成分。隨著[Ap]的逐漸增大，[fr]成分幅值基本不變，[fp]成分幅值呈線性增加的趨勢。圖9b中[Ap=10-6 ]m，[fp= 1～150] Hz。雖然[Ap]較小，但隨著[fp]的逐漸增大，可明顯看出，當(dāng)[fp]取值為一、二階臨界轉(zhuǎn)速對應(yīng)的頻率時(shí)，轉(zhuǎn)子產(chǎn)生共振現(xiàn)象，頻譜中出現(xiàn)的[fp]成分峰值，此時(shí)振動(dòng)幅值是其他[fp]取值時(shí)的數(shù)倍甚至數(shù)十倍，轉(zhuǎn)子可能因振動(dòng)過大造成安全事故。

3.2 瞬態(tài)響應(yīng)

儲(chǔ)能飛輪轉(zhuǎn)子因工作需要會(huì)經(jīng)常處于升、降速的變速運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)。假設(shè)飛輪轉(zhuǎn)子耗時(shí)1000 s從靜止勻加速升速到最大轉(zhuǎn)速。圖10為基礎(chǔ)橫向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)上軸承處[x]方向升速響應(yīng)曲線。圖10a中[fp=10] Hz，取不同[Ap]，當(dāng)[Ap]增大時(shí)，升速響應(yīng)曲線的共振峰的數(shù)量和對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速均不發(fā)生變化，共振峰的幅值逐漸增大，且隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增大，非臨界狀態(tài)下的幅值線性增加，可預(yù)見當(dāng)[Ap]足夠大時(shí)，轉(zhuǎn)子在升速時(shí)在非臨界區(qū)域也會(huì)產(chǎn)生很大的振動(dòng)。

當(dāng)基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)頻率在臨界轉(zhuǎn)速對應(yīng)的頻率附近時(shí)，例如圖10b中[Ap=10-6] m，當(dāng)[fp]在二階正進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速對應(yīng)頻率（125.0 Hz）附近時(shí)，取不同[fp]，對應(yīng)頻率范圍115.0～130.0 Hz，升速響應(yīng)曲線會(huì)出現(xiàn)第三處共振峰，且隨著[fp]的增大，新的共振峰對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速增大，新的共振峰對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速從[fp]=115.0 Hz時(shí)的4500 r/min右移增至[fp]=130.0 Hz時(shí)的約10000 r/min。特別地，當(dāng)[fp]=123.5 Hz時(shí)，兩處共振峰重疊導(dǎo)致二階臨界共振峰峰值明顯增大。

4 結(jié) 論

本文將飛輪轉(zhuǎn)子等效為Timoshenko梁單元模型，基于機(jī)動(dòng)飛行理論建立基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，研究基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)參數(shù)對系統(tǒng)固有頻率、臨界轉(zhuǎn)速的影響及基礎(chǔ)橫向簡諧轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)、瞬態(tài)響應(yīng)，所得主要結(jié)論如下：

1）基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)參數(shù)中橫向、軸向轉(zhuǎn)速及軸向轉(zhuǎn)動(dòng)加速度影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率與臨界轉(zhuǎn)速?；A(chǔ)橫向、軸向轉(zhuǎn)速增大會(huì)導(dǎo)致固有頻率分離程度變大，基礎(chǔ)橫向轉(zhuǎn)速增大會(huì)導(dǎo)致各階臨界轉(zhuǎn)速減小。軸向轉(zhuǎn)速對臨界轉(zhuǎn)速的影響與基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)方向有關(guān)。

2）基礎(chǔ)做橫向簡諧轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，簡諧頻率和幅度會(huì)影響轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，特定情況下基礎(chǔ)與轉(zhuǎn)子產(chǎn)生共振現(xiàn)象。隨著基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)簡諧頻率和幅度的增大，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻成分幅值不變，基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)簡諧頻率成分幅值增大，轉(zhuǎn)子振動(dòng)加劇。當(dāng)基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)簡諧頻率和轉(zhuǎn)子臨界頻率接近時(shí)出現(xiàn)共振現(xiàn)象，共振峰值提高數(shù)十倍。

3）基礎(chǔ)做橫向簡諧轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，簡諧頻率和幅度會(huì)影響轉(zhuǎn)子瞬態(tài)響應(yīng)特性。隨著基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)幅度的增大，臨界和非臨界狀態(tài)的響應(yīng)幅值均增大，非臨界狀態(tài)下，響應(yīng)幅值與基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)幅度呈正相關(guān)關(guān)系。轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速足夠大時(shí)即使處于非臨界狀態(tài)，其振動(dòng)幅值依然非常大。當(dāng)基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)簡諧頻率和轉(zhuǎn)子臨界頻率接近時(shí)，響應(yīng)曲線出現(xiàn)額外共振峰，對應(yīng)臨界轉(zhuǎn)速隨基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率的增大而增大。

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ANALYSIS OF DYNAMIC CHARACTERISTICS OF ENERGY STORAGE FLYWHEEL ROTOR WITH FOUNDATION MOTION

Zhang Haosui""Song Shunyi3，Teng Wei""Wu Xin""Liu Yibing"2

（1. Key Laboratory of Power Station Energy Transfer， Transformation and System， Ministry of Education，

North China Electric Power University， Beijing 102206， China；

2. Advanced Flywheel Energy Storage Technology Research Center， North China Electric Power University， Beijing 102206， China；

3. Shenzhen Energy Nanjing Holding Co.， Ltd.， Nanjing 210000， China）

Abstract：When the flywheel energy storage system runs in complex environment， the foundation will be affected by the environment to produce a complex motion state， which will bring additional excitation and affect the rotor motion state. In this paper， the dynamic problem of flywheel energy storage rotor with foundation motion is studied. First， the flywheel rotor is equivalent to Timoshenko beam element model， and the finite element dynamic model with foundation motion is established by coordinate transformation. The dynamic characteristics of the rotor with foundation in regular motion are studied. The following conclusions are drawn： the increase of the foundation motion parameters will enlarge the natural frequency separation and change the critical speeds. The frequency component of the foundation motion appears in the steady-state response spectrum of the rotor， and the amplitude increases with the increase of the frequency and amplitude of the foundation motion. When the frequency of the foundation motion is close to the frequency corresponding to the critical speed， the resonance will be caused， the peak of the foundation motion frequency component will appear in the steady state spectrum， and additional formant will appear in the transient acceleration response. The influence of foundation motion should be considered in rotor design and application.

Keywords：flywheels； energy storage； foundations； resonance； dynamic response； beam element； natural frequencies