摘" 要：針對粒子群算法求解精度低和收斂速度慢等問題，提出一種基于徑向基函數(shù)與Sigmoid函數(shù)的粒子群算法。通過引入徑向基函數(shù)和Sigmoid函數(shù)，分別對慣性權(quán)重和位置更新公式進行改進，從而提高算法的全局搜索能力和搜索效率；最后利用6個基準測試函數(shù)對算法的性能進行實驗驗證和分析。實驗結(jié)果表明，改進后的算法能夠收斂到全局最優(yōu)值，并且在收斂速度和求解精度上均有較大提高。

關(guān)鍵詞：徑向基函數(shù)；慣性權(quán)重；Sigmoid函數(shù)；粒子群算法；基準測試函數(shù)

中圖分類號：TP301" " " 文獻標志碼：A" " " " "文章編號：2095-2945（2025）03-0066-04

Abstract： Aiming at the problems of low precision and slow convergence speed of particle swarm optimization algorithm， a particle swarm optimization（PSO） algorithm based on radial basis function and Sigmoid function is proposed. By introducing a radial basis function and a Sigmoid function， the inertia weight and position update formulas are improved respectively， thereby improving the global search ability and search efficiency of the algorithm. Finally， the performance of the algorithm is experimentally verified and analyzed using six benchmark functions. Experimental results show that the improved algorithm can converge to the global optimal value， and the convergence speed and solution accuracy are greatly improved.

Keywords： radial basis function; inertia weight; Sigmoid function; particle swarm optimization（PSO）; benchmark function

粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法最早是由Kennedy博士和Eberhart博士于1995年提出的一種受鳥類群體行為啟發(fā)的群體智能算法[1]。由于粒子群算法具有簡單、易實現(xiàn)且收斂速度快等優(yōu)點，該算法已被許多研究者廣泛應(yīng)用在函數(shù)優(yōu)化、電磁問題等領(lǐng)域[2]。

為了提高粒子群算法的收斂速度，近年來，許多學者對其進行了大量的改進。朱童等[2]對位置公式進行改進，從而提高了算法的搜索效率。戴文智等[3]利用對數(shù)函數(shù)對慣性權(quán)重進行改進，算法的穩(wěn)定性得到了進一步提高。文獻[4]利用柯西密度函數(shù)和分布函數(shù)對慣性權(quán)重和位置更新公式分別進行了動態(tài)調(diào)整，實驗結(jié)果表明，算法具有更好的收斂性和穩(wěn)定性。

為了進一步提高粒子群算法的收斂速度和解的收斂精度，本文提出了一種基于徑向基函數(shù)與Sigmoid函數(shù)的改進粒子群算法，采用徑向基函數(shù)和Sigmoid函數(shù)分別對慣性權(quán)重和位置更新公式進行改進，從而提高算法的全局搜索能力。本文分別采用線性遞減慣性權(quán)重PSO算法（LWPSO）[5]，位置加權(quán)PSO算法[2]（IPSOPW），文獻[4]提出的PSO算法（IWPSOCD），以及本文改進的PSO算法（IPSORS）進行比較。

1" 基本粒子群算法

假設(shè)在一個N維的目標搜索空間中，種群中有m 個粒子，那么第i個粒子的位置表示為Xi=（xi1，xi2，…，xiN），粒子的速度為Vi=（Vi1，Vi2，…，ViN），其中i=1，2，…，m。粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置記為pbest，整個粒子群搜索到的最優(yōu)位置記為gbest[6]。粒子速度和位置更新公式如下

式中：w為慣性權(quán)重；c1和c2為學習因子，通常取值為2；r1和r2為[0，1]內(nèi)的隨機數(shù)；t為當前的迭代次數(shù)。

2" 改進的粒子群算法

2.1" 慣性權(quán)重

近年來，許多學者針對粒子群算法提出了多種慣性權(quán)重的改進策略[7]，如利用對數(shù)函數(shù)[3]，柯西密度函數(shù)[4]，Sigmoid函數(shù)[8]以及高斯函數(shù)[9]對粒子群算法中的慣性權(quán)重進行改進，這些改進的策略在一定程度上提高了算法的性能。結(jié)合上述分析，本文引入了徑向基函數(shù)，其表達式為

式中：σ為基函數(shù)的擴展常數(shù)或?qū)挾?。該函?shù)圖像如圖1所示（σ=1，rgt;0）。

由圖1可知，徑向基函數(shù)圖像呈遞減趨勢，結(jié)合文獻[3-4]和文獻[8-9]中的慣性權(quán)重調(diào)整策略及實驗結(jié)果可知，當慣性權(quán)重呈遞減趨勢時，算法的性能較好。據(jù)此，本文將慣性權(quán)重公式調(diào)整為

2.2" 位置公式的更新

Sigmoid函數(shù)是一種具有S形曲線的數(shù)學函數(shù)[10]，其表達式為

其函數(shù)圖像如圖2所示。

由圖2可知，Sigmoid函數(shù)圖像是先快速增加，再緩慢增加，結(jié)合文獻[4]，根據(jù)Sigmoid函數(shù)的這一特點，本文提出如下位置更新公式

。" "（6）

試驗結(jié)果表明，改進的算法可以有效避免粒子陷入局部最優(yōu)，從而提高算法的搜索效率。

3" 數(shù)值實驗和結(jié)果分析

3.1" 測試函數(shù)及參數(shù)設(shè)置

本文選取如下6個基本測試函數(shù)來驗證算法的有效性。

1）Sphere函數(shù)為

2）Schewefel's Problem2.22函數(shù)為

3）Griewankan函數(shù)為

4）Rastrigin函數(shù)為

5）Schaffersf 6函數(shù)為

6）Ackely函數(shù)為

式中：f1—f2為單峰函數(shù)，f3—f6為多峰函數(shù)。6個函數(shù)的最優(yōu)值都為0。

3.2" 參數(shù)α的選擇

Rosenbrock函數(shù)是一個單峰，很難極小化的病態(tài)二次函數(shù)，所以本文利用Rosenbrock函數(shù)對本文改進算法進行測試，測試函數(shù)運行50次后取最優(yōu)值、平均值和方差，結(jié)果見表1。由表1可得：當參數(shù)α=0.1時，算法的效果較好。因此，本文改進算法中取α=0.1。

3.3" 實驗結(jié)果與分析

為了驗證本文算法的有效性，利用本文3.1小節(jié)中所述的6個測試函數(shù)對本文中的4種算法分別進行測試，各算法分別運行50次，取最優(yōu)值、平均值和方差作為比較項，試驗結(jié)果見表2。

圖3給出了4種算法在6個基本測試函數(shù)上的適應(yīng)值進化曲線，圖中橫軸為迭代次數(shù)，縱軸為適應(yīng)度平均值。為了便于觀察和比較，圖3中均對適應(yīng)度平均值取以10為底的對數(shù)。

對表2中的數(shù)據(jù)進行對比可以看出，與其他改進算法相比，本文提出算法的方差都為0，這說明算法的穩(wěn)定性比本文中其他算法的穩(wěn)定性更高。同時，本文算法的最優(yōu)值和平均值也都比較好，且本文改進的算法在5個測試函數(shù)上能夠找到最優(yōu)值0，說明算法的解的收斂精度更高。

由圖3中的6個子圖可以很直觀地看出，本文提出的算法隨著迭代次數(shù)的增加，能夠以更少的迭代次數(shù)收斂到最優(yōu)值。此外，由圖3（a）—圖3（e）可看出，本文提出的算法能快速地收斂到全局最優(yōu)值，同時收斂速度比其他3種算法更快，尤其是在多峰函數(shù)上，本文的算法表現(xiàn)更優(yōu)。

4" 結(jié)束語

本文針對標準粒子群優(yōu)化算法收斂速度慢等缺點，提出了一種基于徑向基函數(shù)與Sigmoid函數(shù)的改進粒子群算法。該算法利用徑向基函數(shù)作為慣性權(quán)重更新公式，從而提高粒子的全局搜索能力。利用Sigmoid函數(shù)的性質(zhì)對位置更新公式進行改進，從而提高算法的搜索效率。仿真實驗表明，與已有文獻中的改進算法相比，本文的算法具有收斂速度快、算法精度高等特點。同時，本文算法尤其在多峰函數(shù)問題上有很好的尋優(yōu)能力。

參考文獻：

[1] KENNEDY J， EBERHART R C. Particle swarm optimization [C]//Proceedings of the 1995 IEEE International Conference on Neural Networks. Piscataway： IEEE， 1995：1942-1948.

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