摘要：選取1950—2022年中國大陸地區(qū)歷史震例數(shù)據(jù)信息，以極震區(qū)烈度、發(fā)震時間及人口密度為主要影響因素，建立三級場景，運用Bootstrap抽樣方法對各場景下的歷史震例進行擴充，進而采用貝葉斯估計給出不同場景下地震人員死亡變化分布函數(shù)，再根據(jù)實際情況對此分布函數(shù)進行截斷分析，以明確地震人員死亡的不確定性變化范圍及死亡率區(qū)間概率值，最后隨機選取歷史地震災(zāi)害事件驗證模型精度。結(jié)果表明：①各場景的死亡率均值及95%死亡率區(qū)間基本符合在極震區(qū)烈度相等并且人口密度條件下夜間死亡率大于白天死亡率的規(guī)律；②模型估計死亡人數(shù)區(qū)間能夠較好覆蓋實際上報的死亡人數(shù)。

關(guān)鍵詞：地震；人員死亡；Bootstrap抽樣；貝葉斯估計；死亡率

中圖分類號：P315.94"" 文獻標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1000-0666（2025）01-0132-09

doi：10.20015/j.cnki.ISSN1000-0666.2025.0014

0 引言

地震具有突發(fā)性、波及范圍廣等特點，會給社會經(jīng)濟帶來巨大損失，如建筑物倒塌、道路損毀、橋梁崩塌等基礎(chǔ)設(shè)施的破壞，同時也可能會引發(fā)火災(zāi)、洪水等次生災(zāi)害，造成不同程度的人員傷亡。我國地處歐亞地震帶和環(huán)太平洋地震帶交會處，地震具有發(fā)生頻次高、強度大、震源淺、分布廣的特點（陳堯，2015），并且由于我國人口眾多且分布相對密集，加之部分建筑結(jié)構(gòu)抗震性能較差，進一步增加了地震造成人員傷亡的風(fēng)險。因此，在地震發(fā)生后盡可能短的時間內(nèi)，準(zhǔn)確、快速地對地震災(zāi)情做出判斷，對應(yīng)急救援工作至關(guān)重要。

目前，地震人員傷亡評估方法呈現(xiàn)多樣性，從不同的方面對地震引起的人員傷亡進行了全面的統(tǒng)計分析，并提出了多種可行的統(tǒng)計模型，如尹之潛（1991）主要從房屋破壞數(shù)量、發(fā)震時間及人口密度3個因素出發(fā)，評估不同破壞程度下的人員死亡率和受傷率；趙振東和王毅超（1998）對人員傷亡指數(shù)與狀態(tài)函數(shù)之間的相互作用進行剖析，進而提出一種動態(tài)評估方法；劉金龍和林均岐（2012）分析了影響人員傷亡的主要因素，并經(jīng)過函數(shù)擬合與回歸分析，提出以震中烈度為主要參數(shù)，以人口密度為輔助參數(shù)進行修正的人員傷亡預(yù)測模型。趙煜等（2024a，b）根據(jù)人口密度、地理環(huán)境、建筑結(jié)構(gòu)等，將中國大陸劃分為西北、西南和東部三個區(qū)域，并按地震最大烈度對樣本進行分類，建立粒子群優(yōu)化極限學(xué)習(xí)機（PSO-ELM）地震人員死亡評估模型。在此基礎(chǔ)上趙煜等（2024）還采用GAN對歷史地震樣本進行擴充，得到與原始數(shù)據(jù)集高度相似的增強數(shù)據(jù)集，以不同數(shù)據(jù)集為樣本的經(jīng)驗?zāi)Ｐ秃蜋C器學(xué)習(xí)模型進行震后快速評估研究。在國外，Christoskov和Samardjieva（1984）給出了傷亡人數(shù)期望值和震級的關(guān)系；Badal等（2005）利用人員傷亡數(shù)量和震級之間的關(guān)聯(lián)性，構(gòu)造城市地區(qū)因人口密度差異引起的傷亡率變動趨勢的定量模型，并驗證該模型對西班牙地震活躍區(qū)域附近主要城市地震人員傷亡評估的有效性；Wald等（2011）建立了全球地震響應(yīng)系統(tǒng)和初步評估體系，通過對震例進行測試，假設(shè)人員死亡率與地震烈度之間遵循對數(shù)正態(tài)累計分布函數(shù)關(guān)系，并用最優(yōu)化方法確定模型參數(shù)，基于該模型建立了地震烈度下的人員傷亡函數(shù)模型。

在地震人員傷亡評估方法研究中，傳統(tǒng)的經(jīng)驗公式法和多指標(biāo)法需要輸入的參數(shù)少，適用于比較粗略的震后人員傷亡快速評估，雖然在一定程度上能夠評估地震影響，但仍存在局限性，無法滿足救災(zāi)工作需求的精度。考慮到地震災(zāi)害數(shù)據(jù)具有稀疏性、非線性和高維度性的特點，近年來諸多學(xué)者將機器學(xué)習(xí)等智能分析方法應(yīng)用于地震人員傷亡評估模型中。此類方法綜合考慮了多種影響因素且不受限于傳統(tǒng)多元線性回歸方法的諸多假設(shè)，通過訓(xùn)練模型，學(xué)習(xí)輸入數(shù)據(jù)和參數(shù)之間的復(fù)雜關(guān)系，并通過核函數(shù)等技術(shù)處理非線性關(guān)系，以達到預(yù)測目的，但這些模型更受輸入數(shù)據(jù)、參數(shù)以及核函數(shù)擬合的影響，需進行調(diào)整和優(yōu)化，以減小誤差并提高預(yù)測準(zhǔn)確性。

鑒于此，本文選取1950—2022年中國大陸地區(qū)5級以上歷史震例數(shù)據(jù)信息，采用貝葉斯估計給出不同場景下地震人員死亡概率分布函數(shù)，從而揭示地震人員死亡的可變性范圍，最后隨機選取歷史震例來檢驗?zāi)Ｐ偷木_性和可信度。

1 數(shù)據(jù)來源與基礎(chǔ)場景設(shè)定

1.1 數(shù)據(jù)來源

本文選取1950—2022年中國大陸地區(qū)發(fā)生的356次5級以上歷史震例（表1），數(shù)據(jù)主要來源于Li等（2021）編制的1950—2018年中國大陸綜合破壞性地震目錄（MCCDE-CAT）、中國地震臺網(wǎng)中心以及“中國大陸地震災(zāi)害損失評述”系列文章（鄭通彥，鄭毅，2012，2014，2015；鄭通彥等，2015；陳通，鄭通彥，2016；文鑫濤，鄭通彥等，2018；文鑫清等，2021）。其中人口數(shù)據(jù)來自MCCDE-CAT和美國橡樹嶺國家實驗室的人口柵格數(shù)據(jù)https：//landscan.ornl.gov.。

1.2 基礎(chǔ)場景設(shè)定

本文對所選數(shù)據(jù)進行篩查，最終選取中國大陸356次歷史震例的基本信息，包括極震區(qū)烈度、發(fā)震時間、人口密度、死亡人數(shù)以及受災(zāi)人口（表1）。一般極震區(qū)烈度越大，造成災(zāi)害規(guī)模及建筑破壞等級越高，相應(yīng)的人員死亡率越高。發(fā)震時間對人員在室率有直接影響（周中紅等，2021；谷國梁等，2021），在夜間，人員熟睡時意識和應(yīng)急反應(yīng)能力相對較低，無法采取緊急避險措施，更易造成人員死亡。人口密度能夠反映人口分布狀況，相同破壞程度的地震發(fā)生在人口密度較高的地區(qū)往往會造成更多人員死亡。極震區(qū)烈度、發(fā)震時間、人口密度這3個因素對地震人員死亡有直接的影響，因此，本文將其作為評估結(jié)果的指標(biāo)。

由于烈度為Ⅰ～Ⅴ度時造成人員死亡的可能性較小，根據(jù)《中國地震烈度表》（GB/T 17742—2008）中宏觀調(diào)查評定地震烈度，本文只考慮極震區(qū)烈度為Ⅵ度、Ⅶ度、Ⅷ度、Ⅸ度及以上4個級別。根據(jù)中國大陸地區(qū)作息習(xí)慣將發(fā)震時間分為白天06：00—19：59和夜間20：00—05：59。最后在極震區(qū)烈度及發(fā)震時間的分級基礎(chǔ)上，考慮人口密度對地震人員死亡的影響，將人口密度分為≤100人/km2和gt;100人/km2。由于以下3種情況案例較少，本文暫不考慮：①極震區(qū)烈度為Ⅷ度、發(fā)震時間為晚上且人口密度gt;100人/km2；②極震區(qū)烈度為Ⅸ度及以上、發(fā)震時間為白天且人口密度gt;100人/km2；③極震區(qū)烈度為Ⅸ度及以上、發(fā)震時間為晚上且人口密度gt;100人/km2。按照上述條件在考慮極震區(qū)烈度和發(fā)震時間的基礎(chǔ)上，考慮人口密度的分級，進而構(gòu)建基于極震區(qū)烈度、發(fā)震時間及人口密度的三級場景分析框架，見表2。

2 研究方法

2.1 Bootstrap抽樣方法

將歷史震例按照上述場景進行劃分后，發(fā)現(xiàn)多數(shù)場景下的震例為小樣本，因此采用Bootstrap抽樣方法對各場景進行擴充。Bootstrap方法由Efron（1979）提出，是一種再抽樣統(tǒng)計方法，主要用于解決小樣本的評估問題，其基本思想是：在原始數(shù)據(jù)的范圍內(nèi)進行有效放回再抽樣，樣本含量仍為n，每個觀察單位每次被抽到的概率相等，均為1/n，所得樣本稱為Bootstrap樣本，如此重復(fù)X次，就可以得到X個Bootstrap樣本，針對該X個樣本逐一計算所關(guān)心的統(tǒng)計量，得到該統(tǒng)計量的N個觀測值。通過對這些觀測值進行直方圖分析，可得到Bootstrap統(tǒng)計量的經(jīng)驗分布，基于該經(jīng)驗分布可進行統(tǒng)計推斷及分析。

2.2 貝葉斯估計

2.2.1 地震人員死亡率參數(shù)的總體信息

本文將死亡率均值x作為隨機變量，認(rèn)為地震人員死亡率均值x服從正態(tài)分布即x～（μ，σ2），其概率密度函數(shù)為（茆詩松等，1998）：

f（x）=1σ2 2π e-（x-μ）22σ2（1）

式中：x為地震人員死亡率均值；μ、σ2均未知，確定這兩個參數(shù)即可確定地震人員死亡率的概率密度函數(shù)。

2.2.2 地震人員死亡率參數(shù)的先驗信息

將上述Bootstrap抽樣結(jié)果引入先驗信息，將式（1）中的2個未知參數(shù)（μ，σ2）視為隨機變量，（μ，σ2）～π（μ，σ2）將其稱之為先驗分布（茆詩松，1999）。由于有兩個參數(shù)，考慮到μ和σ2的聯(lián)合概率密度函數(shù)，其表達式為：

π（μ，σ2）=π（μσ2）π（σ2）（2）

式中：π（σ2）為σ2的先驗分布；π（μσ2）為條件σ2下μ的先驗分布。

取逆伽馬分布作為σ2的先驗分布，正態(tài)分布作為μ的先驗分布，即：

μσ2～N（μ0，σ2k0）σ2～IGa（v02，v0σ202）（3）

式中：μ0、k0、v0、σ20均為超參數(shù)。

2.2.3 地震人員死亡率參數(shù)的后驗分布

根據(jù)貝葉斯公式及式（2），可得地震人員死亡率的后驗分布公式（茆詩松等，1998）為：

π（μ，σ2x）=p（xμ，σ2）π（μσ2）π（σ2）m（x）（4）

m（x）=p（xμ，σ2）π（μσ2）π（σ2）d（μ）d（σ2）（5）

式中：p（xμ，σ2）為地震人員死亡率參數(shù)的似然函數(shù)；m（x）為樣本邊緣密度函數(shù)。

由于m（x）不依賴于（μ，σ2），所以式（5）可表示為：

π（μ，σ2x）∝（σ2）-［vn+12+1］exp-12σ2［vnσ2n+kn（μ-μn）2］（6）

其中：

μn=k0k0+n μ0+nk0+n x

kn=k0+n

vn=v0+n

vnσ2n=v0σ20+（n-1）s2+k0nk0+n（μ0-x）2（7）

式中：μn是先驗均值μ0與樣本均值x的加權(quán)平均，其權(quán)重為k0/（k0+n）和n/（k0+n），其中n為樣本容量，k0為先驗分布所提供的信息，于是kn=k0+n就可看作是總樣本容量，后驗自由度vn是先驗自由度v0加上樣本容量n；后驗平方和vnσ2n是由先驗平方vnσ20、樣本平方和（n-1）s2與附加的樣本均值x與先驗均值μ0之差的平方和組合。

2.3 截斷正態(tài)分布

本文將死亡率均值x作為隨機變量構(gòu)建上述地震人員傷亡的貝葉斯模型，該貝葉斯估計后驗分布函數(shù)的定義域為（-∞，+∞），而根據(jù)實際情況，地震人員死亡率大于等于零，因此使用截斷正態(tài)分布，對地震人員死亡率進行估計。

截斷正態(tài)分布原理如下：設(shè)x～N（μ，σ2），a、b為兩個已知實數(shù)，則在alt;xlt;b的條件下，x服從截斷正態(tài)分布，該截斷正態(tài)分布是通過將其范圍外的值設(shè)置為0來修改原正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，并將其范圍內(nèi)的值統(tǒng)一縮放，使其積分為1。

截斷正態(tài)分布的概率密度函數(shù)用φ（μ，σ2，a，b，x）表示，概率密度函數(shù)（Crain，1979）表示為：

φ（μ，σ2，a，b，x）=0（x≤a）

φ（μ，σ2，x）Φ（μ，σ2，b）-Φ（μ，σ2，a）（alt;xlt;b）

0（b≤x）（8）

式中：φ（μ，σ2，x）為原正態(tài)分布的概率密度函數(shù)；Φ（μ，σ2，b）為關(guān)于右截斷點的累積分布函數(shù)；Φ（μ，σ2，a）為關(guān)于左截斷點的累積分布函數(shù)。

截斷的正態(tài)分布的累積分布函數(shù)（Crain，1979）用Φ（μ，σ2，a，b，x）表示為：

Φ（μ，σ2，a，b，x）=0（x≤a）

Φ（μ，σ2，x）-Φ（μ，σ2，a）Φ（μ，σ2，b）-Φ（μ，σ2，a）（alt;xlt;b）

1（b≤x）（9）

截斷正態(tài)分布的均值μ和方差σ2通過概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)確定，首先定義如下：

α=a-μσ； β=b-μσ（10）

則有：

μ=μ-σφ（0，1，β）-φ（0，1，α）Φ（0，1，β）-Φ（0，1，α）（11）

σ" 2=σ21-βφ（0，1，β）-αφ（0，1，α）Φ（0，1，β）-Φ（0，1，α）-φ（0，1，β）-φ（0，1，α）Φ（0，1，β）-Φ（0，1，α）2（12）

因為標(biāo)準(zhǔn)的概率密度函數(shù)處處都是正可積的，所以累積分布函數(shù)Φ（0，1，x）是一個在（-∞，+∞）上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，在開放區(qū)間（0，1）上取每一個值，只取一次，可表示為逆累積密度函數(shù)（Crain，1979）的存在，表示為Φ-1（0，1，p），返回值在（-∞，+∞）上，使得：

Φ-1［0，1；Φ（0，1；x）］（13）

Φ［0，1；Φ-1（0，1；x）］（14）

逆累積密度函數(shù)允許我們從概率0lt;plt;1開始，并返回截斷值Φ-1（p）=x，使得小于或等于x的值的概率恰好是p。正態(tài)分布的逆累積密度函數(shù)有時被稱為分布的“百分點”。

3 結(jié)果分析

3.1 模型結(jié)果

以場景S1為例，將場景S1中的死亡率通過Bootstrap抽樣擴充為1 000個數(shù)據(jù)集，每個數(shù)據(jù)集中包含100個數(shù)據(jù)，再將死亡率均值x作為隨機變量，擬合1 000個數(shù)據(jù)集死亡率x的頻率直方圖（圖1），經(jīng)過Bootstrap抽樣擴充后各個場景死亡率x的均值、方差見表3。

為驗證Bootstrap抽樣擴充后死亡率數(shù)據(jù)的可用性和可靠性，將Bootstrap抽樣擴充后死亡率的均值、方差（表3）與原始死亡率數(shù)據(jù)（表4）進行對比。結(jié)果表明，Bootstrap抽樣擴充后的死亡率均值與原始死亡率均值特征基本一致，表明Bootstrap抽樣方法能夠保持樣本統(tǒng)計量的可靠性和精確性，不會引入明顯的偏差。同時死亡率方差相較于原始數(shù)據(jù)普遍偏小，該特征說明Bootstrap抽樣方法有效地減少了數(shù)據(jù)的不確定性，提高了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性和可靠性。因此Bootstrap抽樣方法擴充后的虛擬數(shù)據(jù)為后續(xù)的分析和預(yù)測工作提供可靠的基礎(chǔ)。

場景S1的死亡率均值服從x～N（3.427 5×10-4， 4.201 4×10-8），將該正態(tài)分布作為先驗分布，可得超參數(shù)μ0=3.427 5×10-4，σ20=4.201 8×10-8。為了不讓先驗均值和方差的影響過大，取k0=v0=1。

由于該數(shù)據(jù)集均值總體μ，σ2均未知，故采用正態(tài)—逆伽馬分布N—IG（μn，kn，vn，σ2n）對其進行后驗修正。根據(jù)聯(lián)合后驗密度公式可以求出后驗參數(shù)值μn=3.571 7×10-7，σ2n=4.208 3×10-8，kn=vn=1 001，即后驗正態(tài)—逆伽馬分布為N—IG（3.571 7×10-7，1 001，1 001，4.208 3×10-8），則該正態(tài)—逆伽馬分布的聯(lián)合后驗密度為：

π（μ，σ2 x）∝（σ2）-57exp-12σ2［1 001×4.208 3×10-8+100 1（μ-3.571 7×10-7）2］（15）

S1場景聯(lián)合后分布如圖2所示。由圖可見，后驗概率密度函數(shù)的曲面為單峰對稱。根據(jù)正態(tài)近似法將其后驗分布近似為正態(tài)分布，再對此正態(tài)分布進行截斷分析。

由于死亡率≥0，所以截斷正態(tài)分布的范圍為［0，+∞），經(jīng)式（10）計算取得α=-0.001 7， β=+∞，將其帶入上述x所服從的截斷正態(tài)分布，可得φ（1.638 1×10-4，1.530 8×10-8，0，+∞，x），該截斷正態(tài)分布如圖3所示。

當(dāng)該截斷正態(tài)分布的逆累積分布函數(shù)為95%時，對應(yīng)的死亡率為4.023 1×10-4，因此得出烈度為Ⅵ度、發(fā)震時間在白天且人口密度≤100時，95%的死亡率區(qū)間為［0，4.023 1×10-4）。

將收集的歷史震例按照基礎(chǔ)場景分級后，利用各場景下的死亡率數(shù)據(jù)結(jié)合死亡率評估模型，按照S1計算過程計算各場景下的死亡率均值以及95%的死亡率區(qū)間，見表5。由表可知，各場景下的死亡率均值及95%區(qū)間估計基本符合在極震區(qū)烈度相等并且人口密度相同的條件下，夜間的死亡率大于白天的死亡率，但在極震區(qū)烈度為Ⅵ度時，人口密度gt;100人/km2的死亡率均值及95%區(qū)間的上限值小于人口密度≤100人/km2的死亡率均值及95%區(qū)間的上限值。

3.2 模型驗證

模型的準(zhǔn)確性和可靠性，需要通過實際發(fā)生的震例進行驗證，隨機選取中國大陸地區(qū)13次地震的人員死亡數(shù)據(jù)，將其代入本文模型得到預(yù)測人員死亡數(shù)量，并與實際死亡人數(shù)進行對比。利用表5估算各場景下的死亡率與95%死亡人數(shù)區(qū)間，結(jié)果見表6。

由表6可見，模型總體評價效果較好，大多數(shù)震例的實際死亡人數(shù)與模型評價結(jié)果在同一數(shù)量級且被包含在區(qū)間內(nèi)，評價結(jié)果較為準(zhǔn)確。由于涉及眾多不確定性因素，個別震例評估結(jié)果與實際情況存在一定出入。如模型估算的2011年云南盈江5.9級地震95%死亡人數(shù)上限值與實際死亡人數(shù)相差不大，相對來說較為合理；而2008年四川攀枝花涼山交界6.1級地震的評估結(jié)果與實際死亡人數(shù)懸殊較大，此次地震人員傷亡較多的主要原因是大量房屋倒塌和受損（張雪飛等，2008），進而導(dǎo)致評估結(jié)果與實際死亡人數(shù)相差較大。

4 結(jié)論

本文通過對1950—2022年中國大陸地區(qū)5級以上地震中的死亡人數(shù)進行整理和分析，選用極震區(qū)烈度、發(fā)震時間以及人口密度構(gòu)建三級場景，采用Bootstrap抽樣方法對各場景下的歷史震例進行擴充，使用貝葉斯估計方法給出不同場景下地震人員死亡變化分布函數(shù)，最后隨機選取歷史地震災(zāi)害事件驗證模型的精度，得出以下主要結(jié)論：

（1）從死亡率均值及95%死亡率區(qū)間結(jié)果來看，在極震區(qū)烈度為Ⅵ度時，由于場景中存在特殊震例，使地震人員95%死亡率不一定遵守夜間大于白天的一般規(guī)律。

（2）從模型驗證結(jié)果來看，總體上，模型評估的95%死亡人數(shù)區(qū)間能夠有效覆蓋實際死亡人數(shù)，能為震后應(yīng)急救援、合理地分配抗震救援和醫(yī)療人員提供決策支持和依據(jù)。

本文提出的以貝葉斯估計為主的人員死亡評估模型，給出人員死亡的概率區(qū)間，能夠有效反映各場景下人員死亡的變化范圍，但仍存在不足，在后續(xù)研究中有以下兩點還需完善：

（1）本文研究結(jié)果受限于影響地震人員死亡因素的選取，換言之就是場景框架的建立。而實際上導(dǎo)致人員死亡的因素具有多樣性，因此后續(xù)研究在建立地震應(yīng)急基礎(chǔ)場景時，可從完善其他影響因素數(shù)據(jù)的整理與收集入手，包括建筑物結(jié)構(gòu)、次生災(zāi)害等，進而優(yōu)化地震人員死亡快速評估模型，以提高模型的精度。

（2）由于我國大陸地區(qū)震例相對較少，為了獲取更多震例數(shù)據(jù)，本文選取震例的時間跨度較大，應(yīng)合理增加樣本量。

本研究所使用的數(shù)據(jù)主要來源于南方科技大學(xué)地球與空間科學(xué)系李懿龍博士等編制的1950—2018年中國大陸綜合破壞性地震目錄，在此深表謝意。

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Estimation of Earthquake Deaths Based on the Bayesian Estimationby the Bootstrap Sampling

ZHAO Yu1，WEI Maomao1，SUN Yanping2，SHI Yitong2，CHEN Wenkai2

（1.College of Statistics and Data Science，Lanzhou University of Finance and Economics，Lanzhou 730020，Gansu，China）

（2.Lanzhou Institute of Seismology，China Earthquake Administration，Lanzhou 730020，Gansu，China）

Abstract

The rapid post-earthquake assessment of the earthquake-caused casualty is crucial for decision-making and deployment of emergency response in earthquake scenarios.In this study，historical seismic data in Chinese mainland from 1950 to 2022 were selected for assessing the impact factors including the seismic intensity in the meizoseismal area，the original time，and the population density.Three levels of scenarios were established，and the Bootstrap sampling method was applied to expanding the historical seismic data for each scenario.Tthe Bayesian estimation was then employed in obtaining the distribution functions of the earthquake-caused casualties for different scenarios.Furthermore，truncation analysis was conducted based on real situations to determine the uncertainty range and the probability of mortality rate intervals.Finally，historical earthquake disasters were randomly selected to validate the accuracy of the model.The results showed that：①The mean and 95% interval estimates of the death rate of each scene basically accord with that the death rate of night in higher than that of day under the condition of the same intensity and the same population density in the earthquake area. ②The range of expected casualties estimated by the model effectively covered the actual statistical deaths.

Keywords：earthquake；earthquake-caused death；the Bootstrap sampling；the Bayesian estimation；death rate