摘 要：文章以基于FDTD算法的隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷檢測(cè)模型為主要研究對(duì)象，通過(guò)正演模擬和試驗(yàn)研究驗(yàn)證該模型對(duì)于隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷檢測(cè)的準(zhǔn)確性和適用性。結(jié)果表明：該模型可以實(shí)現(xiàn)對(duì)隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷的精確檢測(cè)和評(píng)估，為隧道建設(shè)工程的施工和質(zhì)量評(píng)估提供重要的理論依據(jù)和技術(shù)支持，也可為其他相關(guān)領(lǐng)域的缺陷檢測(cè)研究提供新的思路和方法。

關(guān)鍵詞：隧道建設(shè)；缺陷檢測(cè)；FDTD算法；正演模擬；傳播特性

中圖分類號(hào)：U456A401364

0 引言

隧道建設(shè)工程在現(xiàn)代城市發(fā)展中起著至關(guān)重要的作用［1］。然而，隧道在使用過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)如裂縫、空洞或材料損壞等一些內(nèi)部缺陷，這些缺陷可能會(huì)對(duì)隧道的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和使用安全性產(chǎn)生嚴(yán)重影響［2-3］。因此，及早發(fā)現(xiàn)和修復(fù)這些缺陷對(duì)于保障隧道的正常運(yùn)行具有重要意義。目前，隧道內(nèi)部缺陷的檢測(cè)方法主要依賴于傳統(tǒng)的人工巡檢和無(wú)損檢測(cè)技術(shù)，這些方法存在一些固有的局限性，如人工巡檢需要耗費(fèi)大量的時(shí)間和人力資源，并且在檢測(cè)過(guò)程中存在主觀判斷的不確定性；而無(wú)損檢測(cè)技術(shù)雖然能夠?qū)λ淼纼?nèi)部進(jìn)行全面的檢測(cè)，但其成本較高，且依賴于設(shè)備和操作者的技術(shù)水平［4-6］。FDTD（Finite Difference Time Domain，簡(jiǎn)稱FDTD）算法是一種數(shù)值計(jì)算方法，通過(guò)離散化的空間和時(shí)間來(lái)模擬電磁波在介質(zhì)中的傳播。該算法具有高度的計(jì)算精度和靈活性，并且能夠模擬各種復(fù)雜的電磁波傳播現(xiàn)象。因此，本文研究以基于FDTD算法的隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷檢測(cè)模型為主要研究對(duì)象，通過(guò)正演模擬和試驗(yàn)研究驗(yàn)證該模型對(duì)于隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷檢測(cè)的準(zhǔn)確性和適用性。此外，希望此次研究能為其他相關(guān)領(lǐng)域的缺陷檢測(cè)研究提供一種新的思路和方法。

1 時(shí)域有限差分法研究

時(shí)域有限差分算法是一種數(shù)值分析技術(shù)，用于模擬計(jì)算電動(dòng)力學(xué)［7］。時(shí)域有限差分法的基本思想是用中心差商代替場(chǎng)量對(duì)時(shí)間和空間的一階偏微商，通過(guò)在時(shí)域的遞推模擬波的傳播過(guò)程，從而得出場(chǎng)分布［8］。然后，通過(guò)在每個(gè)網(wǎng)格上求解麥克斯韋方程組的有限差分方程，可以得到每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的電磁場(chǎng)分布。時(shí)域有限差分法的穩(wěn)定性是指該方法在模擬過(guò)程中是否能夠準(zhǔn)確地捕捉到電磁波的傳播行為，并且計(jì)算結(jié)果的誤差隨時(shí)間逐漸增加，如果誤差隨時(shí)間逐漸增加，則該方法是不穩(wěn)定的。為了判斷FDTD方法的穩(wěn)定性，通常采用Courant穩(wěn)定性條件。Courant穩(wěn)定性條件表達(dá)式如下：

ΔtΔx≤12×sqrtD（1）

式中：Δt——時(shí)間步長(zhǎng)；參考文獻(xiàn)：

Δx——空間步長(zhǎng)；參考文獻(xiàn)：

D——空間維數(shù)。

對(duì)于一維情況，D=1，因此穩(wěn)定性條件簡(jiǎn)化后的表達(dá)式為：

Δt≤0.5×Δx（2）

為了滿足穩(wěn)定性條件，時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)之間需要滿足一定的比例關(guān)系。如果比例過(guò)大或過(guò)小，都會(huì)導(dǎo)致計(jì)算不穩(wěn)定。因此，在應(yīng)用FDTD算法時(shí)，需要根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的步長(zhǎng)和差分格式，以保證計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。FDTD算法中的吸收邊界條件是指用于限制模擬空間邊界的影響，以避免波在邊界上反射回來(lái)。在FDTD計(jì)算中，吸收邊界條件可以確保在邊界處的波不會(huì)反射回模擬空間，而是被邊界吸收或散射。常用的吸收邊界條件包括Mur吸收邊界條件、PML吸收邊界條件等。其中，PML吸收邊界條件通過(guò)將媒質(zhì)參數(shù)設(shè)置為隨距離增加而逐漸增大的函數(shù)，使波在邊界處逐漸散射，從而達(dá)到吸收波的目的。PML介質(zhì)中的TM波如圖1所示。

ML吸收邊界條件的表達(dá)式見式（3）：：

εr=1+0.001*iwavelength*1-i（3）

式中：εr——相對(duì)介電常數(shù);

i——虛數(shù)單位;

wavelength——波長(zhǎng)。

PML吸收邊界條件的具體實(shí)現(xiàn)方式可能因不同的文獻(xiàn)或軟件而有所不同，以上僅為其中一種常見的形式。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問(wèn)題選擇合適的PML吸收邊界條件。在FDTD算法中，旋度方程是描述電磁場(chǎng)矢量在時(shí)域中變化的重要方程。為了實(shí)現(xiàn)旋度方程的差分格式，可以采用類似于FDTD算法中的有限差分方案。假設(shè)在二維空間中，電磁場(chǎng)用三個(gè)分量來(lái)表示。在FDTD算法中，這些分量通常被離散化為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值。旋度方程表達(dá)式見式（4）：

×E=-Bt（4）

式中：E——電場(chǎng)強(qiáng)度矢量;參考文獻(xiàn)：

B——磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量;參考文獻(xiàn)：

t——時(shí)間。

為了實(shí)現(xiàn)差分格式，可以將空間離散化為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，并使用類似于FDTD算法中的向前差分方案來(lái)對(duì)時(shí)間進(jìn)行離散化。具體來(lái)說(shuō)，時(shí)間可以劃分為多個(gè)時(shí)刻，每個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)一個(gè)離散的時(shí)間步長(zhǎng)。在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)，差分格式的計(jì)算旋度方程表達(dá)式見式（5）：

SymbolQC@×E=-Bi+1，j-Bi-1，jdx/dt（5）

式中：i和j——網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的行列索引；參考文獻(xiàn)：

dx——網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的間距；參考文獻(xiàn)：

dt——時(shí)間步長(zhǎng)。

2 基于FDTD算法的隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷檢測(cè)模型構(gòu)建

FDTD算法作為經(jīng)典的時(shí)域有限差分法，能精確模擬電磁波的傳播過(guò)程，該算法不僅可以捕捉到電磁波在隧道表面的反射和透射行為，還能對(duì)其進(jìn)行定量分析，通過(guò)深度解析反射波和透射波的波形與幅度特征，進(jìn)一步界定缺陷的性質(zhì)和程度。為了進(jìn)行探地雷達(dá)成像研究，選取GprMax2D軟件進(jìn)行試驗(yàn)，GprMax2D軟件是一款基于FDTD算法和PML邊界吸收條件的探地雷達(dá)正演數(shù)值模擬軟件，可以為隧道建設(shè)工程的施工和質(zhì)量評(píng)估提供有力的技術(shù)支持?；贔DTD算法的隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷檢測(cè)模型如圖2所示。

為了確保模擬結(jié)果的穩(wěn)定性，需要選擇合適的中心頻率F，中心頻率是指電磁波在傳播過(guò)程中，其電場(chǎng)矢量或磁場(chǎng)矢量的相位變化的角速度。在FDTD算法中，中心頻率指的是電磁波在模擬空間中傳播時(shí)的頻率，其決定了電磁波的波長(zhǎng)和傳播速度。其中最高頻率Fm與中心頻率的關(guān)系表達(dá)式見式（6）：

Fm=3F（6）

在進(jìn)行FDTD算法模擬時(shí)，電磁波的最小波長(zhǎng)能夠被準(zhǔn)確模擬。該波長(zhǎng)取決于模擬空間的網(wǎng)格尺寸和時(shí)間步長(zhǎng)，以及模擬空間的邊界條件和材料屬性等因素。中心頻率在介質(zhì)中的最小波長(zhǎng)λ表達(dá)式見式（7）：

λ=cFmεr（7）

式中：c——光速。

空間離散步長(zhǎng)是指空間中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的垂直距離。在該過(guò)程模擬中，模型將整個(gè)空間離散為N個(gè)細(xì)小的網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格可以視為屬性均一的單元，該網(wǎng)格的邊長(zhǎng)就是空間離散步長(zhǎng)?？臻g離散步長(zhǎng)Δl與λ的關(guān)系表達(dá)式見式（8）：

Δl=λ10（8）

在設(shè)定測(cè)量模型中氏網(wǎng)格的步長(zhǎng)時(shí)，需滿足的條件見式（9）：

Δx=Δy=Δl（9）

為了提高目標(biāo)體的離散精度和測(cè)量效果，通常會(huì)將網(wǎng)格步長(zhǎng)設(shè)定得較小。然而，過(guò)小的網(wǎng)格步長(zhǎng)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量增大，耗費(fèi)時(shí)間和計(jì)算內(nèi)存。因此，在滿足每個(gè)目標(biāo)體含有至少N個(gè)網(wǎng)格單元的情況下，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整網(wǎng)格步長(zhǎng)可以滿足計(jì)算要求，同時(shí)能平衡計(jì)算精度和計(jì)算資源的使用?；贔DTD算法的隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷檢測(cè)模型電磁參數(shù)如表1所示。

3 基于FDTD算法的隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷檢測(cè)模型結(jié)果分析

為驗(yàn)證基于FDTD算法的隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷檢測(cè)模型的準(zhǔn)確性與適用性，此次研究對(duì)隧道內(nèi)部襯砌-圍巖、圓形空洞及矩形空洞等常見缺陷實(shí)施了正演模擬，并結(jié)合實(shí)際工程案例進(jìn)行實(shí)證分析。在某市的高速公路隧道建設(shè)項(xiàng)目中，將研究模型應(yīng)用于施工前的缺陷檢測(cè)。該隧道長(zhǎng)約2 km，地質(zhì)條件復(fù)雜，施工難度大，對(duì)隧道內(nèi)部結(jié)構(gòu)的完整性要求極高。通過(guò)FDTD算法，對(duì)隧道內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬分析，預(yù)測(cè)潛在的缺陷類型與位置。在模擬過(guò)程中，對(duì)不同缺陷類型進(jìn)行了細(xì)致的正演模擬，并結(jié)合電磁波在分界面上的傳播特性進(jìn)行試驗(yàn)研究。試驗(yàn)中采用多種天線與測(cè)量設(shè)備，以獲取不同角度與距離的測(cè)量數(shù)據(jù)。隧道建設(shè)工程內(nèi)部襯砌-圍巖的層狀模擬圖如圖3所示。

由圖3可知，圖3（a）為襯砌-圍巖電磁波模擬數(shù)據(jù)的合成圖，其中時(shí)窗長(zhǎng)度為12 ns，傳播距離為0.9 m。結(jié)合表1可以得知網(wǎng)格步長(zhǎng)為0.002，中心頻率為900 MHz，由此可知研究模型共采集150道模擬數(shù)據(jù)。圖3（b）為襯砌-圍巖電磁波地電模型，模型的大小為0.9 m×0.6 m，混凝土的厚度為25 cm。圖3（c）是襯砌-圍巖電磁波第70道的反射波形圖。隨著雙時(shí)走程的增加，襯砌-圍巖的電磁波能量逐漸衰減。當(dāng)雙時(shí)走程達(dá)到0.9 ns時(shí)，出現(xiàn)第一個(gè)反射界面。當(dāng)雙時(shí)走程達(dá)到5.3 ns時(shí)，出現(xiàn)第二個(gè)反射界面。綜上所述，基于FDTD算法的隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷檢測(cè)模型可以模擬電磁波在隧道內(nèi)部和缺陷部位的交互過(guò)程，從而幫助檢測(cè)和評(píng)估隧道內(nèi)部的缺陷和損傷。

隧道建設(shè)工程內(nèi)部圓形空洞缺陷模型模擬圖如圖4所示。由圖4可知，圖4（a）為圓形空洞缺陷電磁波模擬數(shù)據(jù)的合成圖。當(dāng)電磁波在隧道建設(shè)工程內(nèi)部遇到圓形空洞缺陷時(shí)，基于FDTD算法的隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷檢測(cè)模型呈現(xiàn)出雙曲線形狀。圖4（b）展示了圓形空洞缺陷的電磁波地電模型圖，該圓形缺陷的半徑為15 cm，混凝土厚度為10 cm。圖4（c）為圓形空洞缺陷電磁波第70道的反射波形圖，隨著雙時(shí)走程的增加，電磁波遇到圓形空洞缺陷時(shí)會(huì)發(fā)生反射。當(dāng)雙時(shí)走程達(dá)到0.9 ns時(shí)，出現(xiàn)第一個(gè)反射界面；當(dāng)雙時(shí)走程達(dá)到2.9 ns時(shí)，出現(xiàn)第二個(gè)反射界面；當(dāng)雙時(shí)走程達(dá)到4.8 ns時(shí)，出現(xiàn)第三個(gè)反射界面。綜上所述，基于FDTD算法的隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷檢測(cè)模型可以幫助檢測(cè)和預(yù)防潛在的安全隱患，提高隧道的使用壽命和安全性。

隧道建設(shè)工程內(nèi)部矩形空洞缺陷模型模擬圖如圖5所示。由圖5可知，圖5（a）為矩形空洞缺陷電磁波模擬數(shù)據(jù)的合成圖。當(dāng)電磁波在隧道建設(shè)工程內(nèi)部遇到矩形空洞缺陷時(shí)，基于FDTD算法的隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷檢測(cè)模型呈現(xiàn)出平鍋蓋形，且中心區(qū)域呈現(xiàn)出繞射現(xiàn)象。這表明矩形空洞缺陷對(duì)電磁波的傳播產(chǎn)生了明顯的影響。圖5（b）展示了矩形空洞缺陷的電磁波地電模型，該模型的大小為0.9 m×0.6 m，混凝土的厚度為10 cm，矩形空洞缺陷的長(zhǎng)為20 cm，高為10 cm。圖5（c）是矩形空洞缺陷電磁波第70道的反射波形圖。隨著雙時(shí)走程的增加，電磁波遇到矩形空洞缺陷時(shí)會(huì)發(fā)生反射。當(dāng)雙時(shí)走程達(dá)到0.9 ns時(shí)，出現(xiàn)第一個(gè)反射界面；當(dāng)雙時(shí)走程達(dá)到2.9 ns時(shí)，出現(xiàn)第二個(gè)反射界面；當(dāng)雙時(shí)走程達(dá)到4.2 ns時(shí)，出現(xiàn)第三個(gè)反射界面。這些反射界面可以提供關(guān)于矩形空洞缺陷的重要信息，如位置、大小和形狀。綜上所述，基于FDTD算法的隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷檢測(cè)模型能夠準(zhǔn)確地模擬和分析矩形空洞缺陷對(duì)電磁波傳播的影響，可以幫助人們更好地理解和評(píng)估隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷對(duì)整個(gè)工程安全性的影響。

4 結(jié)語(yǔ)

此次研究對(duì)常見的隧道建設(shè)工程內(nèi)部襯砌-圍巖、圓形空洞和矩形空洞缺陷進(jìn)行了正演模擬，并結(jié)合電磁波在分界面上的傳播特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究，通過(guò)對(duì)模擬和試驗(yàn)結(jié)果的分析和討論，發(fā)現(xiàn)襯砌-圍巖在第70道反射波形的雙時(shí)走程增加時(shí)，其電磁波能量逐漸衰減。當(dāng)雙時(shí)走程達(dá)到0.9 ns時(shí)，觀測(cè)到第一個(gè)反射界面；當(dāng)雙時(shí)走程達(dá)到5.3 ns時(shí)，出現(xiàn)第二個(gè)反射界面。對(duì)于圓形空洞缺陷，在第70道反射波形的雙時(shí)走程增加的情況下，電磁波在遇到圓形空洞缺陷時(shí)會(huì)發(fā)生反射，首個(gè)反射界面出現(xiàn)在雙時(shí)走程為0.9 ns時(shí)，而第二個(gè)和第三個(gè)反射界面分別在雙時(shí)走程為2.9 ns和4.8 ns時(shí)出現(xiàn)。矩形空洞缺陷的反射波亦顯示了類似的結(jié)果，隨著雙時(shí)走程的增加，電磁波遇到矩形空洞缺陷時(shí)會(huì)發(fā)生反射，首個(gè)反射界面在雙時(shí)走程為0.9 ns時(shí)出現(xiàn)，而后續(xù)的反射界面分別在雙時(shí)走程為2.9 ns和4.2 ns時(shí)出現(xiàn)。由此可知，此次研究模型可以實(shí)現(xiàn)對(duì)隧道建設(shè)工程內(nèi)部缺陷的精確檢測(cè)和評(píng)估，為隧道建設(shè)工程的施工和質(zhì)量評(píng)估提供重要的理論依據(jù)和技術(shù)支持。

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