摘要：通過(guò)對(duì)遺傳算法的基本原理和流程進(jìn)行分析，提出了一種基于多樣性維護(hù)和自適應(yīng)機(jī)制的改進(jìn)方案，并針對(duì)遺傳算法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用進(jìn)行了改進(jìn)與研究。方案在遺傳算法的選擇、交叉和變異操作中引入了多樣性維護(hù)策略，以增強(qiáng)算法的搜索能力和全局收斂性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的改進(jìn)算法在解決各種復(fù)雜數(shù)學(xué)建模問(wèn)題時(shí)，具有更高的求解精度和收斂速度，驗(yàn)證了其在實(shí)際應(yīng)用中的有效性和優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：改進(jìn)遺傳算法；計(jì)算機(jī)；數(shù)學(xué)建模

一、前言

遺傳算法作為一種模擬自然界中生物進(jìn)化的計(jì)算模型，已經(jīng)在許多領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，特別是在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中。遺傳算法通過(guò)模擬生物進(jìn)化的過(guò)程，采用遺傳操作，如選擇、交叉和變異，來(lái)生成解決方案的種群，并通過(guò)適應(yīng)度函數(shù)來(lái)評(píng)估和選擇優(yōu)秀的解。為了改進(jìn)遺傳算法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，研究者們提出了一些改進(jìn)策略。通過(guò)自適應(yīng)調(diào)整交叉和變異率，以適應(yīng)不同階段的搜索過(guò)程。對(duì)相關(guān)理論和實(shí)踐案例的分析，探討不同的改進(jìn)策略，并評(píng)估它們?cè)谟?jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中的效果，以提高遺傳算法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用性能和準(zhǔn)確性。

二、標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法與多種群遺傳算法

（一）基本算法簡(jiǎn)介

1.遺傳算法

遺傳算法的思想是：首先將算法所研究的問(wèn)題個(gè)體匯總，形成種群，然后用適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算各個(gè)體的自適應(yīng)能力，將自適應(yīng)能力較強(qiáng)的個(gè)體用交叉、變異算子等方式創(chuàng)造新的種群。

對(duì)于一個(gè)種群，由于是由個(gè)體構(gòu)成的，因此它是個(gè)體空間的一部分，即是個(gè)體空間的一個(gè)子集?？梢杂洖?/p>

對(duì)于鏈長(zhǎng)為l種群規(guī)模為N的種群可以表示為N×l階矩陣。

選擇算子：選擇算子即是在一個(gè)種群中選擇一個(gè)個(gè)體，它是隨機(jī)映射：

特別地，按照概率規(guī)則 ：

遺傳算法通過(guò)反復(fù)進(jìn)行選擇、交叉和變異操作，逐代優(yōu)化種群中的個(gè)體，直到滿(mǎn)足停止條件為止。停止條件可以是達(dá)到最大迭代次數(shù)、適應(yīng)度達(dá)到閾值或者種群收斂等[1]。

2.多種群遺傳算法

標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法經(jīng)常面臨多樣性問(wèn)題，阻礙了它們的快速收斂，使算法結(jié)果陷入局部最優(yōu)。多種群遺傳算法根據(jù)下度量方法來(lái)增加種群的多樣性：

（1）根據(jù)種群適應(yīng)度標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)增加種群多樣性。

（2）根據(jù)種群中熵值的不同變化增加種群多樣性。

（3）基于種群中各個(gè)個(gè)體不同的基因型來(lái)增加種群多樣性。

（二）傳統(tǒng)遺傳算法的優(yōu)缺點(diǎn)

遺傳算法無(wú)需關(guān)注傳遞目標(biāo)函數(shù)的微分值的過(guò)程，而是值通過(guò)函數(shù)值的適應(yīng)度來(lái)判斷個(gè)體的表現(xiàn)。遺傳算法具有群體搜索的特點(diǎn)。它的研究過(guò)程從一個(gè)初始種群P（0）開(kāi)始，這個(gè)種群有幾個(gè)個(gè)體，可以有效地避免尋找不需要的搜索點(diǎn)。使其研究過(guò)程更加簡(jiǎn)便，參數(shù)對(duì)搜索結(jié)果的影響微乎其微。遺傳算法的包容性很強(qiáng)，可以和很多技術(shù)相結(jié)合解決問(wèn)題[2]。

（三）多種群遺傳算法基本原理

多種群遺傳算法（Multi-Population Genetic Algorithm，MPGA）是遺傳算法的一種擴(kuò)展，旨在通過(guò)同時(shí)演化多個(gè)種群來(lái)加速搜索過(guò)程，并提高全局搜索能力。將初始種群劃分為多個(gè)子種群，每個(gè)子種群獨(dú)立演化。通過(guò)實(shí)驗(yàn)和分析調(diào)整多種群遺傳算法的參數(shù)，以?xún)?yōu)化算法性能[3]。模式定理從模式角度論證了N個(gè)初始種群在經(jīng)過(guò)選擇、交叉、變異算子后模式H的變化：

其中，m（H，t+1）表示第t+1代種群H中模式所能匹配的樣本的數(shù)量，f（H）、f分別表示第t+1代所有模式H的平均適應(yīng)度與種群平均適應(yīng)度，l表示串的長(zhǎng)度，Pc、Pm分別表示交叉概率與變異概率。

（四）多種群遺傳算法步驟流程

多種群遺傳算法（Multi-Population Genetic Algorithm， MPGA）是遺傳算法的一種變體，通過(guò)同時(shí)維護(hù)和演化多個(gè)種群來(lái)加速搜索過(guò)程，增加了種群間的交流和信息共享，從而提高了全局搜索能力。首先，初始化多個(gè)種群，每個(gè)種群包含一定數(shù)量的個(gè)體，這些個(gè)體是問(wèn)題的潛在解的表示?？梢圆捎秒S機(jī)初始化或者基于啟發(fā)式方法的初始化來(lái)生成初始種群。對(duì)于每個(gè)種群中的個(gè)體，使用適應(yīng)度函數(shù)評(píng)估其適應(yīng)度，以確定其在解空間中的質(zhì)量。通過(guò)實(shí)驗(yàn)和分析，調(diào)整多種群遺傳算法的參數(shù)，以?xún)?yōu)化算法性能。

三、程序的實(shí)現(xiàn)

（一）仿真測(cè)試

1.測(cè)試的復(fù)雜二元函數(shù)介紹

函數(shù)1：

其中x的取值為（-3.0，12.1），y的取值為（4.1，5.8）。

函數(shù)2：

這兩個(gè)函數(shù)都屬于非線(xiàn)性函數(shù)，再給定的范圍之內(nèi)分布著大量局部極大值，通常的搜索算法很容易在各自的局部極值中振蕩而無(wú)法跳出局部最優(yōu)，比較適用于驗(yàn)證多種群遺傳算法的優(yōu)化性能。

2.測(cè)試的結(jié)果和分析

如圖1，10次得到的優(yōu)化結(jié)果有很大差異，只有一到兩次的迭代，最終陷入局部最優(yōu)，無(wú)法跳出，進(jìn)化 100代得到的結(jié)果還是十分不穩(wěn)定，函數(shù)的最終解還有很大的上升幅度，對(duì)于這種復(fù)雜的二元函數(shù)尋優(yōu)，從結(jié)果表明傳統(tǒng)遺傳算法很難找尋最優(yōu)解[4]。

（二）數(shù)據(jù)分析

如表1，在使用多種群遺傳算法求得函數(shù)1通過(guò)近20次迭代，得到最優(yōu)解是38.8503，對(duì)應(yīng)的自變量：x=11.6255，y=5.7261，算法迅速跳出局部最優(yōu)，得到最終結(jié)果。

從表2中可以看出，使用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法運(yùn)行函數(shù)2， 10次得到的最優(yōu)解（X）和最優(yōu)解（Y）存在一定的差異。其中，最優(yōu)解（Y）的取值范圍在-8.6251到-8.1199之間。通過(guò)比較這10次運(yùn)行的結(jié)果，可以觀察到算法在尋找最優(yōu)解方面的穩(wěn)定性。然而，這些最優(yōu)解的具體數(shù)值和函數(shù)2的特性有關(guān)，需要進(jìn)一步分析函數(shù)的圖像和特點(diǎn)才能給出更詳細(xì)的解釋。

四、改進(jìn)遺傳算法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

（一）無(wú)人機(jī)航跡規(guī)劃問(wèn)題

無(wú)人機(jī)在飛行過(guò)程中需要避開(kāi)障礙物，如建筑物、山脈、樹(shù)木等。改進(jìn)的遺傳算法可以在航跡規(guī)劃中考慮避障問(wèn)題，通過(guò)優(yōu)化路徑來(lái)避免碰撞和危險(xiǎn)情況的發(fā)生。在無(wú)人機(jī)航跡規(guī)劃中，通常存在多個(gè)沖突的目標(biāo)，如最短路徑、最小能量消耗、最小風(fēng)險(xiǎn)等。改進(jìn)的遺傳算法可以應(yīng)用多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)，通過(guò)適當(dāng)?shù)臋?quán)衡和調(diào)整，找到一組平衡的解來(lái)解決這些沖突目標(biāo)。改進(jìn)的遺傳算法可以應(yīng)用于協(xié)同航跡規(guī)劃，通過(guò)優(yōu)化多個(gè)無(wú)人機(jī)的航跡，實(shí)現(xiàn)協(xié)同飛行，提高任務(wù)效率和覆蓋范圍。

（二）圖像處理問(wèn)題

待識(shí)別模式描述：

（x1，y1）為相對(duì)于模式原點(diǎn)的坐標(biāo)，p1為相應(yīng)的灰度值，將模式放大M倍，旋轉(zhuǎn)θ，并將模式原點(diǎn)平移至（x2，y2），點(diǎn)列變?yōu)閜'：

其中

對(duì)于二值圖像（背景色為白色，前景色為黑色）而言，我們可以定義待識(shí)別模式與圖形庫(kù)中相似圖形的匹配率R作為識(shí)別性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，0≤R≤1。

式中Nb為點(diǎn)序列p'中滿(mǎn)足p（xk'，yk'）=p（xk，yk）（k=1，2，…，N）的p=（xk'，yk'）=p（xk，yk）（k=1，2…，N）點(diǎn)個(gè)數(shù)。

在區(qū)分復(fù)雜的圖像方面，信息的流動(dòng)經(jīng)常被適當(dāng)?shù)姆指?，因此需要很大程度解決優(yōu)化問(wèn)題。多種群遺傳算法的應(yīng)用不僅可以迅速選擇出最優(yōu)化的方案，而且大大縮短了計(jì)算所消耗的時(shí)間。并使用適應(yīng)性基因參數(shù)在兩個(gè)層次上進(jìn)行培訓(xùn)大大提高了圖像處理的時(shí)效性和準(zhǔn)確性。

（三）數(shù)據(jù)挖掘問(wèn)題

由于一個(gè)N×N的數(shù)字圖像可以分成若干個(gè)n×n的圖像塊，每一個(gè)塊成為一個(gè)K維矢量K=n×n，這樣一個(gè)圖像可以分成（Ⅳ／n），Vg（vig）那么目標(biāo)函數(shù)可表示成：

在一系列侯選電報(bào)密碼中，Vc（Vi，i=l，2…，m）Vg代碼字為：

第二階段可以改進(jìn)VQ碼中的馬塞克結(jié)果。

Xj（xij）∈Rg，Vg（vig）∈Vc，Rg中i行j列圖像塊和i維Vg代碼的差小于ε時(shí)，Nij=1，δgj是那些圖像塊總數(shù)和電報(bào)密碼Vg。改進(jìn)個(gè)體的編碼方案，使其更符合問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，從而減少搜索空間。優(yōu)化選擇策略，使得適應(yīng)度高的個(gè)體更有可能被選擇，并保留多樣性以防止早熟。常見(jiàn)的選擇策略包括輪盤(pán)賭選擇、錦標(biāo)賽選擇、精英保留等。引入自適應(yīng)機(jī)制來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)整遺傳算法的參數(shù)，以適應(yīng)不同問(wèn)題和不同階段的搜索需求[5]。

五、結(jié)論

本文針對(duì)遺傳算法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，改進(jìn)了遺傳算法，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性和優(yōu)越性。改進(jìn)算法在解決計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題時(shí)，能夠更好地保持種群的多樣性，提高全局搜索能力，避免早熟收斂，從而提高求解質(zhì)量和效率。通過(guò)對(duì)改進(jìn)遺傳算法的深入研究，本文提出了相應(yīng)的參數(shù)設(shè)置策略和求解方法，為遺傳算法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域的應(yīng)用提供了有益的理論和實(shí)踐指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)

[1]孫慶鋒，方來(lái)祥，戴柯寒.改進(jìn)遺傳算法及最小二乘法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J].電子技術(shù)與軟件工程，2016（03）：175.

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[3]劉曄.計(jì)算機(jī)軟件在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)與實(shí)踐研究[J].信息系統(tǒng)工程，2023（09）：71-74.

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