【摘" "要】" "為豐富非交換二次超曲面代數奇點表示理論和分類結果，以分次斜多項式代數為研究對象，討論二次正則中心元并刻畫相應極大Cohen-Macaulay模范疇的穩(wěn)定范疇。 建立分次斜多項式系數矩陣與二次中心元之間聯系，分別得到了[n]元[（±1 ）-]分次斜多項式和4元分次非[（±1）-]斜多項式的二次正則中心元的分類；通過圖論方法和Clifford形變，計算了相關非交換二次超曲面代數的極大Cohen-Macaulay模范疇的穩(wěn)定范疇?？蔀楹罄m(xù)非交換二次超曲面代數的分類提供幫助。

【關鍵詞】" "非交換二次超曲面；中心元；極大Cohen-Macaulay模范疇；Clifford形變

【Abstract】" " To enrich the singularity representation theory and classification results of non - commutative quadratic hypersurface singularity， this paper takes graded skew polynomial algebras as the research object， discusses the quadratic regular central elements and characterizes the stable categories of the corresponding maximal Cohen-Macaulay module categories. By establishing the relationship between the coefficient matrix of the graded skew polynomial and the quadratic central element， the classification of quadratic central elements of [n] variable graded [（±1）-]skew polynomial and 4 variable graded non-[（±1）-]skew polynomial is obtained respectively. Through the graph theory methods and Clifford deformations， the stable categories of the maximal Cohen-Macaulay module category of the related non-commutative quadric hypersurface algebras are calculated. The result is helpful for the classification of non-commutative quadric hypersurface algebras.

【Key words】" " "non-commutative quadric hypersurface; central element; maximal Cohen-Macaulay module category; Clifford deformation

〔中圖分類號〕 O153.3" " " " " " 〔文獻標識碼〕" A" " " " "〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）04 - 0005 - 09

DOI：10.20218/j.cnki.1674-3229.2024.04.001

0" " "引言

非交換二次超曲面代數是非交換代數幾何和非交換代數的重要研究對象，相應的Cohen-Macaulay表示理論成為眾多研究者關心的課題，在非交換代數幾何、代數表示論等方面有著重要應用。

經典交換二次超曲面[K[x1，…， xn]（f）]的研究已獲得了豐富的成果［1-2］，其中[f∈（x1， …， xn）2]，且由慣性定理可知交換二次超曲面的分類是清楚的。 而在非交換情形下，諾特Koszul Artin-Schelter正則代數[A]可看作一類量子射影空間的齊次坐標環(huán)［3］，亦被認為是一類非交換多項式。若[z]是[A]的二次正則中心元，那么稱[S=A（z）]是非交換二次超曲面代數。相較于交換二次超曲面，非交換二次超曲面的情形更為豐富和復雜。

Smith和Van den Bergh［4］借鑒了Buchweitz等［5］處理交換二次超曲面的方法， 引入了與非交換二次超曲面代數相關的一個有限維代數[C （ S ）]。然而，對于一般的非交換二次超曲面代數[S]，直接計算[C （ S ）]會有困難。He和Ye［6］首先構造與二次正則中心元[z]對應的Clifford映射[θz]，接著對[A！]做Clifford形變得到[?2-]分次代數[CA?。▃）]，最后給出了關于[C （ S ）]的一種新的描述：[C（S）?CA?。▃）0]。

為了得到非交換二次超曲面代數的分類，數學工作者從特殊的Koszul Artin-Schelter正則代數入手，同時，使用并推廣了交換代數幾何中的部分工具。Hu［7］對特殊的非交換圓錐曲線代數[S=A（z）]進行了分類，其中[A]為3維量子多項式并且[S]的二次對偶[S！]是交換的，證明了此時[A]的二次正則中心元只可能為[ax21+bx22+cx23]的形式，其中[a，b，c∈K]，隨后通過[A]的分次自同構群以及Clifford形變的方法，得到了非交換二次超曲面代數的分類并且得到了相對應的有限維代數[C （ S ）]。Ayako和Masaki ［8］證明任意3-維量子多項式的分次有限生成模范疇和某個3-維Calabi-Yau量子多項式的分次有限生成模范疇等價。受此啟發(fā)，Hu等［9］對Calabi-Yau的2-維射影空間中的非交換圓錐曲線代數進行了分類，即此時[A]為3-維Calabi-Yau量子多項式。對于斜多項式[A=Kx1，…， xn（xixj-εijxjxi）1≤i，j≤n]這一類特殊的Artin-Schelter正則代數，Vitoria［10］和Belmans等［11］分別給出了斜多項式二次超曲面代數[S]的點概型[E]的定義。Ueyama［12］首先利用點概型的手段對更特殊的[（±1）-]斜多項式進行研究，給出了當[n≤5]且[z=x21+…+x2n]時非交換二次超曲面代數[S]的分類。Mori和Ueyama ［13］利用非交換[Knorrer]周期性定理和圖論方法對[n-1]維量子射影空間中的光滑二次超曲面代數以及[n]元[（±1）-]斜多項式超曲面代數進行了分類，其中[n≤6]。 隨后Higashitani等 ［14］和Ueyama ［15］給出了當[A]為任意[n]元分次[（±1）-]斜多項式且[z=x21+…+x2n]和[z=x21+…+x2n-1]時非交換二次超曲面代數的分類。

然而，對于維數大于3的諾特Koszul Artin-Schelter正則代數，相對應的非交換二次超曲面代數的分類結果還比較少。另一方面，相較于分次[（±1）-]斜多項式，一般的分次非[（±1）-]斜多項式的二次正則中心元具有更豐富和更復雜的選取可能性， 因此會產生更多樣的非交換二次超曲面代數。 如何刻畫中心元并對相關非交換二次超曲面代數分類成為相關研究者關心的問題。針對上述問題，本文主要研究了更為一般的斜多項式超曲面代數。首先利用斜多項式系數與非零二次正則中心元之間的關系， 給出了[n]元[（±1）-]分次斜多項式和4元分次非[（±1 ）-]斜多項式的二次正則中心元的分類。 接著利用二次正則中心元的分類結果， 結合圖論和Clifford形變等方法，給出了相關非交換二次超曲面代數[S]更精確的分類以及[S]的極大Cohen-Macaulay模范疇的穩(wěn)定范疇的刻畫。

本文約定：[K]表示一個特征為0的代數閉域，所有向量空間都表示為域[K]上的。除了特殊聲明，張量[?]表示[?K]。

1" " 預備知識

令[A=⊕g∈GAg]是一個[G-]分次代數，其中[G=?]或者[G=?2]。記[modA]為有限生成右[A-]模范疇，[grGA]為[G-]分次有限生成右[A-]模范疇。當[G=?]時，如果[A]的每個齊次子空間[Ai]都是有限維向量空間，則稱[Ai]是局部有限的。若局部有限的[?]-分次代數[A]進一步滿足： 當[ilt;0]時，[Ai=0]，且[A0=K]，則稱[A]是連通分次代數。

定義1.1［3］" " 設[A]是一個連通分次代數并滿足條件：

（b）當[i≠d]時，[ExtiA （KA， AA） = ExtiA （AK， AA） = 0]并且[ExtdA（KA， AA）]，[ExtdA（AK，AA）]都是1維的，則稱[A]是一個[d]維Artin-Schelter Gorenstein代數。

如果[A]是一個整體維數有限的[d]維Artin-Schelter Gorenstein代數，則稱[A]是一個[d]維Artin-Schelter正則代數。

定義1.2［16］" " 如果[A=⊕i∈?Ai]是一個連通分次代數，并且平凡模[KA]有如下的自由分解：

其中對于任意[i≥0]，[Pi]是一個由 [i] 次生成的分次自由右[A-]模，則稱[A]是一個Koszul代數。Kosuzl代數[A]可以表示為[A?T（V）/（R）]，其中[V]是一個有限維線性空間，線性空間[R?V?V]。令[V*]是[V]的線性對偶空間，并且[R⊥]是在[V*?V*]中的正交子空間，則稱[A！=T（V*）/（R⊥）]是[A]的Koszul對偶，并且Koszul對偶[A！] 也是一個Koszul代數［17］。

定義1.3" "設[A=T（V）/（R）]是一個[d]維諾特 Koszul Artin-Schelter正則代數，并且[z]是[A]中的一個二次非零正則中心元，則稱商代數[S=A/（z）]是一個非交換二次超曲面代數。

命題1.4［4］" "設[A=T（V）/（R）]是一個[d]維諾特 Koszul Artin-Schelter正則代數，則非交換二次超曲面代數[S=A/（z）]是一個內射維數為[d-1]的Koszul Artin-Schelter Gorenstein代數。

定義1.5" "設[S]是一個[d-1]維Artin-Schelter Gorenstein代數，[N]是一個有限生成的[?-]分次右[S]模。如果[N]的局部上同調滿足：

其中[m=S≥1]，則稱[N]是極大Cohen-Macaulay模，簡稱MCM模。

記由所有MCM模構成的[gr?S]的滿子范疇為[mcm S]，并且記[mcm S]的穩(wěn)定范疇為[mcm S]，[ mcm S]是一個三角范疇。

定義1.6［6］" 設[A=T（V）/（R）]是一個Koszul代數，[z∈A2]是[A]中的一個非零正則中心元， [z∈V?2]是[z]的提升。稱[CA?。▃）=T（V*）/（f-θz（f） ： f∈R⊥）]是[A！]的Clifford形變， 其中

定理1.7［6］" 設[S=A/（z）]是一個非交換二次超曲面代數，則[CA?。▃）]是一個強[?2-]分次代數，并且有如下三角范疇等價：

定義1.8" "設[n]是正整數，[ε=εij|i， j=1…n，]并且對于任意[i， j]滿足[εii=1]，[εijεji=1]，則稱[Aε=]

記[Δε：=（εij）1≤i， j≤n]為[Aε]對應的系數矩陣。當[Δε]中的元素只有[±1]時，稱[A]是一個分次[（±1）-]斜多項式。

2" " "分次斜多項式的中心

設[Aε]是一個分次斜多項式，記[Ω：=xixj|xixj屬于]

[A 的中心，1≤i≤j≤n]，并且記[Ω]為有限集合[Ω]中元素的個數。先考慮分次斜多項式的二次正則中心元與系數矩陣之間的關系，再將分次斜多項式分為分次[（±1 ）-]斜多項式和分次非[（±1）-]斜多項式，分別討論它們的中心。

引理2.1" "設[Aε=Kx1，…，xn（xixj-εijxjxi）1≤i，j≤n]是分次斜多項式。對于[1≤i≤j≤n]，[xixj]是[Aε]的正則中心元，當且僅當對于任意[1≤k≤n]有[εikεjk=1]。

證明：對任意[1≤k≤n]，[xixjxk=εikεjkxkxixj。] 因此，[xixj]是正則中心元當且僅當[εikεjk=1]。

2.1" "分次[（±1 ）-]斜多項式

引理2.2" "設[Aε]是一個分次[（±1）-]斜多項式。如果[xjxk，xjxl∈Ω]，那么[xkxl∈Ω]。

證明：由于[xjxk， xjxl∈Ω]，根據引理2.1可知對于任意[1≤i≤n]，[εkiεji=1]且[εliεji=1]，因此[εki=εli]。由于此時[Aε]為[（±1）-]斜多項式，所以[εkiεli=1]。又由引理2.1可知[xkxl∈Ω]。

引理2.3" "設[Aε]為[n]元分次[（±1）-]斜多項式，其中[n≥3]。如果[Aε]為非交換多項式，則[|Ω| ≤n2 +1]。

證明：顯然[|Ω|≤ n2 +n]。因為[Aε]為非交換斜多項式，不妨設[xn-1xn?Ω]，由引理2.1可知對于任意[1≤jlt;n-1]，[xjxn-1， xjxn]中至少有一項不在集合[Ω]中。因此：

[|Ω| ≤ n2 +n-（n-2）-1=n2 +1]。

設[Aε]為[4]元分次[（±1）-]斜多項式。顯然對于任意[1≤i≤4]，[x2i∈Ω]。探討[|Ω| gt;4]的情形，此時必存在[1≤i， j≤4]，使得[xixj∈Ω]。不妨設[x1x2∈Ω]，下面給出此時的情況。

命題2.4" "設[Aε]為[4]元分次[（±1）-]斜多項式且[x1x2∈Ω]，則[Ω]為如下情形之一：

（a） [Ω=x2i， xkxl|1≤k≤l≤4]，此時[Aε]為[4]元多項式；

（b）[ Ω=x2i， x1x2， x1xk， x2xk|1≤i≤4 ， k∈{3 ，4}]；

（c） [Ω=x2i， x1x2， x3x4|1≤i≤4]；

（d） [Ω=x2i， x1x2|1≤i≤4]。

證明：（a） 如果[|Ω| ≥8]，由引理2.3可知，此時[Aε]為[4]元多項式。

（b） 如果[|Ω| =7]，則必存在[k∈3， 4]，使得[x1xk∈Ω]或者[x2xk∈Ω]。 不妨設[x1xk∈Ω]，利用引理2.2可知[x2xk∈Ω]。此時[Ω=x2i， x1x2， x1xk， x2xk|1≤i≤4]。

例：

（c） 如果[|Ω| =6]，由（b）可知對于任意[k∈3， 4]，[x1xk?Ω]且[x2xk?Ω]。

因為[|Ω| =6]，此時[Ω=x2i， x1x2， x3x4|1≤i≤4]。

例：

（d） 如果[|Ω| =5]，由于[x1x2∈Ω]，此時[Ω=x2i， x1x2|1≤i≤4]。

例：

定義2.5" "設[Aε]為[n]元分次[（±1）-]斜多項式。對任意[xi， xj∈Aε]，若[xixj]是[Aε]的中心元，則稱[xi]與[xj]等價，記[xi～xj]。

引理2.6" "關系[\"～\"]為集合[x1， x2，…， xn]上的等價關系。

證明：由引理2.1可知自反性成立。

若[xixj]是中心元，由引理2.1可知對任意[1≤k≤n] ，[εikεjk=1]。因此[εjkεik=1]，再由引理2.1可知[xjxi]也是中心元，對稱性成立。

若[xixj]，[xjxk]是中心元，由引理2.2可知[xixk]是中心元，傳遞性成立。

利用定義2.5中定義的等價關系[\"～\"]，在集合[x1， x2，…， xn]上給出一個劃分[x1，x2，…， xn=p=1tθp]。

引理2.7" "對任意[xi∈θp]，[xi′∈θp′]有關系如下：

[xixi′=xi′xi， p=p′;kpp′xi′xi， p≠p′。]" "其中[kpp′∈{±1}]

證明：對于任意[1≤p≤t]，如果[xi， xj∈θp]，則[xixj]為[Aε]的中心，且[xixjxj=xjxixj]。又因為[Aε]是整環(huán)，所以[xixj=xjxi]。

對于任意[p≠p′]，設[xi， xj∈θp]，[xi′， xj′∈θp′]，由于[xixj]是中心元，由引理2.1可知[εii′εji′=1]且[εij′εjj′=1]。因此[εii′=εji′]且[εij′=εjj′]。又由于[xi′xj′]是中心元，同理可得[εii′=εij′]且[εji′=εjj′]，取[kpp′=εii′]即可。

定理2.8" "設[Aε] 為 [n] 元分次[（±1）-]斜多項式，則分次代數：

[Aε（xixj∈ Ωaijxixj）?Aε（k=1nbkx2k）]

其中對于任意[i， j]，[aij∈K]，對于任意[1≤k≤n]，[bk∈0，1]。

證明：考慮劃分[x1， x2， …， xn=p=1tθp]。任取[1≤p≤t]，根據引理2.7，對于任意[xi， xj∈θp] ，有[xixj= xjxi]。利用慣性定理可知，存在多項式代數[K[xi|xi∈θp]]上的分次自同構[fp]，使得[fp（xi，xj∈θpaijxixj）=xi∈θpbix2i]，其中[bi∈0，1]。

由于[x1， x2，…， xn=p=1tθp]，故自由代數[Kx1，…， xn]上存在分次代數自同構[f]， 使得若[xi∈θp]，則[f（xi）=fp（xi）]，其中[1≤p≤t]且

又由引理2.7得[f]可誘導為[Aε]上的分次代數自同構，結合上式結論得證。

2.2" "分次非[（±1）-]斜多項式

對于2元和3元分次非[（±1）-]斜多項式，二次正則中心容易得到。接下來考慮4元分次非[（±1 ）-]斜多項式的二次正則中心。根據引理2.1，對于平方項是否屬于[Ω]的判定是清楚的，并且對于分次非[（±1）-]斜多項式而言，并非所有平方項都在[Ω]中。所以較為感興趣的是[Ω]中至少含有一個交叉項的情況，因此在下面的討論中，規(guī)定[Ω]中至少含有一項交叉項。不失一般性，設[x1x2∈ Ω]，此時[Aε]對應的系數矩陣可表示為：

由于[Aε]為分次非[（±1 ）-]斜多項式，因此至少存在一個[i∈1， 2， 3]，使得[ki≠±1]。

定理2.9" "[Aε=Kx1，…， x4（xixj-εijxjxi）1≤i，j≤4]是一個4元分次非[（±1）-]斜多項式。此時[Ω]的情況如下：

（a） 如果只有[k1≠±1]，那么此時[Ω=x24， x1x2]；

（b） 如果只有[k2≠±1]，那么此時[Ω=x23，x1x2]；

（c） 如果只有[k3≠±1]，那么此時[Ω=x21， x22， x1x2]；

（d） 如果[k1， k2≠±1]并且[k1=1k2， k3=1]，那么此時[Ω=x1x2， x3x4]；

（e） 如果[k1， k3≠±1]并且[k1=k3， k2=1]，那么此時[Ω=x1x2， x1x4]；

（f） 如果[k1， k3≠±1]并且[k2=1k3， k1=1]，那么此時[Ω=x1x2， x1x3]；

（g） 如果是其他情況，那么此時[Ω=x1x2]。

證明：首先證明情況（a），由引理2.1可知[x2j∈Ω]當且僅當對任意[1≤i≤4]有[εij=±1]，即系數矩陣的第[j]列中的元素全部為[±1]。因此若[k2=±1， k3=±1]且[k1≠±1]，則平方項僅有[x24∈Ω]。又由于[k1≠±1]，[k2=±1]，[k3=±1] 由引理2.1可知[x1x3， x1x4， x2x3， x2x4， x3x4?Ω]，則[Ω=x24， x1x2]。類似地，可以得到情況（b）（c）。

接著證明情況（d），由于[k1，k2≠±1]，由引理2.1可知對于任意[1≤i≤4]，[x2i?Ω]。又因為[k1=1k2， k3=1] ，所以對于任意[1≤j≤4]，[εj3εj4=1]，因此由引理2.1可知[x3x4∈Ω]。由于[k1， k2≠±1]，再次使用引理2.1可知[x1x3，x1x4，x2x3，x2x4?Ω]。類似地，可以得到情況（e）（f）（g）。

命題2.10" "設[Aε]是一個4元分次非[（±1）-]斜多項式，若其對應的系數矩陣[Δε]中僅有[k3≠±1]，則可以得到如下分次代數同構：

其中[ai∈K，bt∈0， 1。]

證明：類似定理2.8可以得到證明。

3" " "4元分次斜多項式超曲面代數的MCM模范疇的穩(wěn)定范疇

本文第二部分給出了[n]元[（±1）-]分次斜多項式和4元分次非[（±1 ）-]斜多項式的二次正則中心元的分類，從而得到了更加多樣的二次超曲面代數。 下面集中討論4元分次斜多項式的情形，利用第二部分二次正則中心元的分類結果，給出了相關非交換二次超曲面代數[S]的分類，并且計算了相關非交換二次超曲面代數的極大Cohen-Macaulay模范疇的穩(wěn)定范疇。

3.1" "[Aε]為分次[（±1 ）-]斜多項式

下面采用文獻 ［14］中的圖論方法，對其中涉及的概念和符號作簡要介紹。圖[G]包括頂點的集合[V（G）]和邊的集合[E（G）]。在本文中，規(guī)定圖[ G ]既沒有環(huán)路也沒有多重邊。對于頂點 [i∈V（G）]，記[NG（ i ）={j∈V（G）|ij∈E（G）}]。如果[NG（ i ）=?]， 則稱頂點 [i] 為孤立點。對于4元分次[（±1 ）-]斜多項式[Aε]，固定以下記號：

（a） 圖[Gε]的頂點集合[V（Gε）={1， 2， 3，4}]，[E（Gε）={ij|εij=1且i≠j}]。易知圖[Gε]和4元分次[（±1）-]斜多項式[Aε]一一對應；

（b） 中心元[z=x21+…+x2k∈Aε]，其中[1≤k≤4]；

（c） 非交換二次超曲面代數[Sε=Aε（z）]。

定義3.1（突變）" "參考［14］中的定義2.1，設[i]是圖[Gε]的一個頂點，[Gε]在點[i]處的突變記為[μi（Gε）]，其中[V（μi（Gε））={1，2， 3， 4}]，[E（μi（Gε））={ij|j∈V（Gε）＼NGε（i）}?E（Gε＼{i}）。]

引理3.2（突變引理）" "參考［14］中的引理2.4，如果對于[Gε]的某個頂點[i]，有[Gε′=μi（Gε）]，則有[mcm Sε? mcm Sε′]。

命題3.3" "設[Gε]是4元分次斜多項式[Aε]對應的圖，則存在以1為孤立點的圖[Gε′]，使得[mcm Sε?mcm Sε′]。

證明：設[N={jj∈V（Gε）且1j∈E（Gε）}]。在[Gε]上對所有[j∈N]實施突變，得到[Gε′]，易知1為圖[Gε′]中的孤立點。并且根據引理3.2可知[mcm Sε? mcm Sε′]。

接下來固定1為圖[Gε]的孤立點。由命題3.3可知在[mcm Sε]等價的意義下，圖[Gε]的分類如下：

由定理2.8可知為了計算4元分次[（±1）-]非交換二次超曲面代數[Sε]的MCM模范疇，僅需考慮二次中心元[z=x21+…+x2k]的情況，其中[1≤k≤4]。而中心為[x21+x22+x23+x24]和[x21+x22+x23]的情況可以分別參考［12］中的定理3.9和［15］中的定理8。

下面分別討論中心為[x21+x22]和中心為[x21]的情況。記[Sεt=Aεt（z）]是圖[Gεt]對應的非交換二次超曲面代數。

定義3.4（相對突變）" 參考［14］中的定義2.4，令[i， j]是[Gε]的兩個不同的頂點。[Gε]在點[i]處相對[j]的突變記為[μi←j（Gε）]，其中[V（μi←j（Gε））={1， 2， 3， 4}]，并且

[E（μi （Gε））={ ik | k∈NGε（ j ） ＼ NGε（ i ）}?{ ik |k∈NGε（ i ） ＼ NGε（ j ）}?E （Gε＼ { i }）]

命題3.5" "當[z=x21+x22]時，在[mcm Sε]等價的意義下，對[Aε]有如下分類。

（a） 當[Aε=Aε1]或[Aε=Aε2]時，[CA！ε（z）0?Ka， b， c（ab+ba，ac+ca，bc-cb，a2-1， b2， c2）] 。

（b） 當[Aε=Aε3， Aε4， Aε5， Aε6]時，[CA！ε（z）0?Ka， b， c（ab+ba， ac-ca， bc-cb，a2-1， b2， c2）] 。

（c） 當[Aε=Aε7]時，[CA！ε（z）0?Ka， b（ab+ba， a2， b2）×2。]

（d） 當[Aε=Aε8]時，[CA！ε（z）0?K[a， b]（a2， b2）×2。]

證明：（a） 由于[Gε2=μ3←2（Gε1）]，參考［15］中的定理28，可知[ mcm Sε1? mcm Sε2]。通過計算易知

[CA！ε1（z）?Kx1， x2， x3， x4x1x2-x2x1， x1x3-x3x1，x1x4+x4x1，x2x3-x3x2， x2x4+x4x2，x3x4+x4x3，x21-1， x22-1， x23，x24]

令[a=x1x2]，[b=x1x3]，[c=x1x4]，則[{1， a， b， c}]是[CA！ε1（z）0]的一組基，通過直接計算可知：

[CA！ε1（z）0?Ka， b， c（ab+ba， ac+ca， bc-cb， a2-1， b2， c2）]

因此，[mcm Sε1? Db（mod T1）]，其中[T1=Ka，b， c（ab+ba， ac+ca， bc-cb， a2-1， b2， c2）]

（b） 由于[Gε5=μ4←2（Gε3）]，[Gε6=μ3←2（Gε4）]，由［15］可知[mcm Sε3? mcm Sε5]，[mcm Sε4? mcm Sε6]。而在3和4輪換的意義下，[Gε3=Gε4]，因此[Sε3=Sε4]。類似地，利用Clifford形變，[mcm Sε3? Db（mod T2）]， 其中

[T2=Ka， b， c（ab+ba， ac-ca，bc-cb， a2-1，b2， c2）]

（c） 對于圖[Gε7]，類似地，利用Clifford形變可知[mcm Sε7? Db（mod T23）]，其中[T3=Ka， b（ab+ba， a2， b2）]。

（d） 對于圖[Gε8]，類似地，利用Clifford形變可知[mcm Sε8? Db（mod T24）]，其中[T4=K[a， b]（a2， b2）]。

命題3.6" "當[z=x21]時，在[mcm Sε]等價的意義下，對[Aε]有如下的分類。

（a） 當[Aε=Aε1]時， [CA?。▃）0?Ka，b， c（ab+ba，ac+ca， bc+cb， a2， b2， c2）。]

（b） 當[Aε=Aε2， Aε3， Aε4]時，[CA！（z）0?Ka， b， c（ab+ba， ac+ca， bc-cb， a2， b2， c2）。]

（c） 當[Aε=Aε5， Aε6， Aε7]時，[CA！（z）0?Ka， b， c（ab+ba， ac-ca， bc-cb， a2， b2， c2）。]

（d） 當[Aε=Aε8]時，[CA?。▃）0?K[a， b， c]（a2， b2， c2）。]

證明：（a） 對于圖[Gε1]，利用Clifford形變可知[mcm Sε1? Db（mod T5）]，其中

[T5=Ka， b， c（ab+ba， ac+ca， bc+cb， a2， b2， c2）]

（b） 在2， 3， 4輪換的意義下， [Gε2=Gε3=Gε4]，因此[Sε2=Sε3=Sε4]。利用Clifford形變， [mcm Sε2? Db（mod T6）]，其中

[T6=Ka， b， c（ab+ba， ac+ca， bc-cb， a2， b2， c2）]

（c） 在2， 3， 4輪換的意義下，[Gε5=Gε6=Gε7]，因此[Sε5=Sε6=Sε7]。利用Clifford形變， [mcm Sε5? Db（mod T7）]，其中

[T7=Ka， b， c（ab+ba， ac-ca， bc-cb， a2， b2， c2）]

（d） 對于圖[Gε8]，利用Clifford形變可知[mcm Sε8? Db（mod T8）]， 其中[T8=K[a， b， c]（a2， b2， c2）]。

3.2" "[Aε]為分次非[（±1）-]斜多項式

在定理2.9中對4元分次非 [（±1）-] 斜多項式[Aε]的中心進行了分類，下面使用Clifford形變計算[CA！ε（z）]，從而得到非交換二次超曲面代數[Sε=Aε/（z）]的MCM模范疇的穩(wěn)定范疇。為方便起見，在下面的計算中將Koszul對偶中的[x*i]記為[xi]。下面將計算結果列出。

命題3.7" "設[Aε]是4元分次非[（±1）-]斜多項式的中心，[z]是[Aε]的二次正則中心元，則[CA！ε（z）]有如下的分類。

（a） 當[z=a1x1x2+a2x24]或[z=a1x1x2+a2x23]時，

[CA！ε（z）?Kx1， x2， x3， x4x1x2+x2x1-a1， x1x3+k1x3x1， x1x4+k2x4x1，x2x3+1k1x3x2， x2x4+1k2x4x2， x3x4+k3x4x3，" " " " " " " " " " " " "x21， x22， x23， x24-a2]

（b） 當[z=a1x21+a2x22]時，

[CA！ε（z）?Kx1， x2， x3， x4x1x2+x2x1， x1x3+k1x3x1， x1x4+k2x4x1，x2x3+1k1x3x2， x2x4+1k2x4x2， x3x4+k3x4x3，" " " " " " " " " "x21-a1， x22-a2， x23， x24]

（c） 當[z=a1x1x2+a2x3x4]時，

[CA！ε（z）?Kx1， x2， x3， x4x1x2+x2x1-a1， x1x3+k1x3x1， x1x4+k2x4x1，x2x3+1k1x3x2， x2x4+1k2x4x2， x3x4+x4x3-a2，" " " " " " " " " " " " " " " "x21， x22， x23， x24]

（d） 當[z=a1x1x2+a2x1x4]時，

[CA！ε（z）?Kx1， x2， x3， x4x1x2+x2x1-a， x1x3+k1x3x1， x1x4+k2x4x1-a2，x2x3+1k1x3x2， x2x4+1k2x4x2， x3x4+x4x3，" " " " " " " " " " " " " " " "x21， x22， x23， x24]

（e） 當[z=a1x1x2+a2x1x3]時，

[CA！ε（z）?Kx1， x2， x3， x4x1x2+x2x1-a1， x1x3+k1x3x1-a2， x1x4+k2x4x1，x2x3+1k1x3x2， x2x4+1k2x4x2， x3x4+x4x3，" " " " " " " " " " " " " " " " "x21， x22， x23， x24]

4" " "結論

本文在分次代數同構的意義下，對[n]元分次[（±1）-]斜多項式進行了分類。對于4元非[（±1）-]斜多項式， 給出了中心至少含有一項交叉項時中心與斜多項式系數之間的關系，得到了更加豐富的非交換二次超曲面代數。而后利用圖論方法以及Clifford形變，刻畫了4元分次斜多項式二次超曲面代數的極大Cohen-Macaulay模范疇的穩(wěn)定范疇。后續(xù)可以在此基礎上考慮使用非交換[Knorrer]周期性定理，并將其用于非交換二次超曲面代數的分類。

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責任編輯" "孫" "澗

［收稿日期］" "2024-08-18

［基金項目］" "浙江省自然科學基金項目（LY24A010006）

［作者簡介］" "劉旸（1999- ），男，浙江理工大學理學院碩士研究生，研究方向：非交換代數。