摘 要：【目的】研究方腔傾斜角度和Ra數(shù)對混合納米流體流動與傳熱的影響機理?！痉椒ā渴紫葧r間上采用Adams-Bashforth和向后差分結(jié)合的二階半隱格式進行離散，其次采用改進的投影算法對速度和壓力進行耦合處理，最后采用配置點譜方法求解所有的無量綱控制方程?！窘Y(jié)果】經(jīng)數(shù)值驗證之后，通過改變方腔傾斜角度（0≤θ≤π/4）和Ra數(shù)（104≤Ra≤106），來分析對流場、溫度場和Nu數(shù)的影響。發(fā)現(xiàn)隨著方腔傾斜角度的增大，Nu數(shù)先增大后變?。浑S著Ra數(shù)的增大，流動與傳熱都增大?！窘Y(jié)論】方腔傾斜角度為π/6和Ra數(shù)為106時，傳熱效果最佳。

關(guān)鍵詞：配置點譜方法；傾斜方腔；混合納米流體

中圖分類號：TK124" " "文獻標(biāo)志碼：A" " "文章編號：1003-5168（2024）09-0017-07

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.09.004

Natural Convection of Hybrid Nanofluids in an Inclined Square Cavity

LUO Xiaohong SUN Zhiming

（School of Mechanical and Electrical Engineering， Jilin Institute of Chemical Technology， Jilin 132022，China）

Abstract： [Purposes] The influence mechanisms of the tilt angle of a square cavity and Ra number on hybrid nanoflow and heat transfer are studied. [Methods] Firstly，the combination of Adams-Bashforth and backward differentiation formula schemes， which is second-order-accurate and semi-implicit， is adopted to treat the temporal discretization. Secondly，the coupling of the velocity and the pressure is treated by using the improved projection scheme.Finally，all the governing equations are solved by using the collocation spectral method. [Findings] After the validation of numerical results， streamlines， isotherms， and Nusselt number are analyzed for the effect of various parameters， for example， the inclination angle of the cavity （0≤θ≤π/4）， and Rayleigh number （104≤Ra≤106）. With the increasing of the inclination angle of the cavity， Nusselt number first increases and then drops. The fluid flow and heat transfer increases with the increasing of Rayleigh number. [Conclusions] The heat transfer is best when the inclination angle of the cavity is equal to π/6， and Rayleigh number is equal to 106.

Keywords： collocation spectral method; the inclined square cavity; hybrid nanofluids

0 引言

2007年，Jana等［1］首次制備出了混合納米流體，在基液（比如水、乙二醇和煤油）中添加混合納米顆粒（不同成分的單顆納米顆?；旌匣蛘吆卸囝w不同類型的納米顆粒）形成的納米流體稱為混合納米流體。與普通納米流體相比，混合納米流體能極大提高介質(zhì)的換熱和傳熱能力［2］，被廣泛地應(yīng)用在換熱器、汽車、采油及航空航天等領(lǐng)域［3］，受到了廣大學(xué)者的關(guān)注和研究。

Armaghani等［4］在外加傾斜磁場作用下，對L型方腔內(nèi)混合納米流體的混合對流進行了數(shù)值研究；Korei等［5］研究了有外加磁場情況下，底部兩邊具有圓角的頂蓋驅(qū)動方腔內(nèi)混合納米流體流動與傳熱問題，發(fā)現(xiàn)當(dāng)納米顆粒Al2O3和Cu的配比為3∶1時，傳熱效果最好；Hirpho等［6］研究了底部局部高溫的梯形方腔內(nèi)混合納米流體對流傳熱問題，發(fā)現(xiàn)隨著混合納米顆粒體積份額的增大，流函數(shù)反而減小，流動減弱；Hidki等［7］研究了兩個大小相同、高度一致、產(chǎn)生熱量相同的方塊方腔內(nèi)混合納米流體自然對流問題；Akhter等［8］研究了在外加磁場作用下，混合納米流體在含有導(dǎo)熱圓柱多孔介質(zhì)且局部受熱的方腔內(nèi)在浮力驅(qū)動下流體的流動、傳熱及熵的產(chǎn)生。以上的研究均是水基為Al2O3/Cu混合納米流體。

Thirumalaisamy等［9］研究了矩形多孔方腔內(nèi)，以Fe3O4、磁化多壁碳納米管及Cu為顆粒，水為基液的混合納米磁流體流動與傳熱；Acharya［10］重點研究了外圓高溫位置不同對流動與傳熱的影響，揭示了以磁化多壁碳納米管和Fe3O4為納米顆粒，以水為基液的混合納米流體流經(jīng)圓環(huán)形腔室，且內(nèi)圓裝有四個T形的高溫翅片，外圓高溫位置發(fā)生變化時的環(huán)形區(qū)域內(nèi)流動與傳熱現(xiàn)象；Farooq等［11］探討了存在非線性熱輻射和外加磁場的情況下，旋轉(zhuǎn)圓盤上Ag-MgZnFe2O4/煤油混合納米流體的流動和傳熱，研究Ha數(shù)、吸收參數(shù)及納米顆粒體積份額對流動與傳熱的影響。

綜合上述研究發(fā)現(xiàn)，研究區(qū)域從邊界層問題過渡到有限腔體內(nèi)流動與傳熱問題。但上述研究中沒有傾斜方腔的研究。同時發(fā)現(xiàn)研究混合納米流體流動與傳熱問題的數(shù)值方法包括：有限容積法［5，7］、有限元法［6，8，10］、有限差分法［4］及打靶法［11］等。而采用配置點譜方法求解混合納米流體流動與傳熱問題的還未見報道。因此，本研究采用配置點譜方法研究方腔傾斜角度和Ra數(shù)對方腔內(nèi)混合納米流體流動和傳熱的影響。

1 數(shù)值模擬及方法

1.1 物理模型

本研究所采用的物理模型如圖1所示。邊長為L的二維傾斜方腔，腔體與水平方向的夾角為[θ]。方腔的左右壁面為恒溫壁面，溫度分別為Th和Tc，上下壁面為絕熱壁面。方腔內(nèi)充滿黏性、不可壓縮的Al2O3/Cu-H2O混合納米流體，基液和納米顆粒的物理性質(zhì)參數(shù)見表1。假設(shè)方腔所有的壁面都為絕緣壁面，并對流體施加一個平行于X軸的穩(wěn)恒磁場B0。

1.2 數(shù)學(xué)模型

本研究中假設(shè)混合納米流體為各向同性且做層流運動的不可壓縮流體；納米顆粒大小均勻，且相互之間及和基液之間無相對滑移運動，并與基液處于熱平衡狀態(tài)；浮升力引起的密度變化采用Boussinesq假設(shè)；黏性耗散、Hall效應(yīng)和熱輻射忽略不計?；旌霞{米流體熱物理屬性所應(yīng)用公式見表2，并應(yīng)用下列的無量綱方程中。

連續(xù)性方程，見式（1）。

[?U?X+?V?Y=0]" " （1）

X方向的動量方程，見式（2）。

[?U?τ+U?U?X+V?U?Y=-?P?X+μhnfρhnfαhnf]

[?2U?X2+?2U?Y2][+ρβhnfρhnfβbfαbfαhnf2RaPrΘsinθ]" " （2）

Y方向的動量方程，見式（3）。

[U?V?X+V?V?Y=-?P?Y+μhnfρhnfαhnf?2V?X2+?2V?Y2+ρβhnfρhnfβbfαbfαhnf2RaPrΘcosθ-Ha2PrσhnfσbfαbfαhnfρbfρhnfV] （3）

能量方程，見式（4）。

[U?Θ?X+V?Θ?Y=?2Θ?X2+?2Θ?Y2]" （4）

式中：[Pr=υbfαbf]；[Ha=B0Lσhbfρhbfυbf]；[Ra=gβbfTh-TcL3υbfαbf]。

利用下列變量，對上述式（1）至式（4）進行無量綱化。

[X=xL]，[Y=yL]，[U=uLαhnf]， [V=vLαhnf]， [P=pL2ρhnfαhnf]， [Θ=T-TcTh-Tc]。

上述公式中：下標(biāo)bf和hnf分別表示基液和混合納米流體。

對應(yīng)的無量綱邊界條件如下。

所有壁面都滿足無滑移的速度邊界條件，則[U=0][，V=0]。方腔四個壁面的溫度條件為：左壁面：[X=0]， [Θ=0.5]；右壁面：[X=1]， [Θ=-0.5]；上下壁面：[Y=0]、1， [?Θ?Y=0]；恒溫壁面上的局部Nu數(shù)，見式（5）。

[Nu=-khnfkbf?Θ?XW] （5）

對應(yīng)的恒溫壁面上平均Nu數(shù)，見式（6）。

[Nu=01NudY]" （6）

無量綱流函數(shù)定義，見式（7）。

[ψ=01UdY] （7）

2 數(shù)值模擬

2.1 數(shù)值方法

為了延展到非穩(wěn)態(tài)問題上，本研究在式（2）至式（4）中加入非穩(wěn)態(tài)項，采用非穩(wěn)態(tài)問題求解穩(wěn)態(tài)問題。在加入時間導(dǎo)數(shù)項后，先采用基于Adams-Bashforth和向后差分結(jié)合的二階半隱格式對時間進行離散；再采用改進的投影算法［12］對壓力和速度進行耦合處理；最后采用配置點譜方法對控制方程進行空間上的離散，并寫成矩陣相乘的形式，詳細過程見羅小紅［13］的論文。引入相應(yīng)的邊界條件之后，采用MATLAB軟件進行編程求解。以方程（2）為例，加入非穩(wěn)態(tài)項后的結(jié)果，見式（8）。

[3Un+1-4Un+Un-12Δτ+2U?U?X+V?U?Yn-U?U?X+V?U?Yn-1=-?Pn+1?X+μhnfρhnfαhnf?2Un+1?X2+?2Un+1?Y2+ρβhnfρhnfβbfαbfαhnf2RaPrΘn+1sinθ]" " " "（8）

式中：τ和n分別代表時間和時層。

式（3）和式（4）加入非穩(wěn)態(tài)項的離散方式同式（2）一樣。

2.2 網(wǎng)格無關(guān)解

尋找網(wǎng)格無關(guān)解是數(shù)值計算的基本前提。在網(wǎng)格測試過程中，無量綱參數(shù)取值分別為：Pr=6.2、體積份額?=0.03（納米顆粒Al2O3和Cu，各占50%）、方腔傾斜角度為π/4、Ra=105和106。熱壁面上的平均Nu數(shù)作為網(wǎng)格無關(guān)解測試的參量。由于本次研究的方腔物理模型在X方向和Y方向選取了相同的網(wǎng)格節(jié)點，于是測試結(jié)果見表3。由表3可知，當(dāng)網(wǎng)格上升到[33×33]時，熱壁面上的平均Nu數(shù)變化不再明顯。為了之后計算更多的算例，本研究選取了[37×37]網(wǎng)格節(jié)點數(shù)。

2.3 代碼驗證

首先，不考慮磁場的影響。為了驗證當(dāng)前數(shù)值方法對方腔內(nèi)納米流體自然對流計算的有效性。與Ho等［14］和Saghir等［15］對比了壁面上的平均Nu數(shù)，對比結(jié)果見表4。由表4可知，最大誤差為4.72%，沒有超過5%，結(jié)果吻合較好。說明當(dāng)前代碼對方腔內(nèi)納米流體自然對流問題是有效的。

其次，考慮磁場的影響。采用了與Ghasemi等［16］相同的物理模型和數(shù)學(xué)模型及無量綱參數(shù)，對比了不同Ra數(shù)和Ha數(shù)下，壁面上的平均Nu數(shù)，對比結(jié)果如圖2所示。由圖2可知，所得結(jié)果吻合較好。綜上所述，當(dāng)前方法對方腔內(nèi)納米磁流體自然對流是有效的。

3 結(jié)果及討論

本研究采用配置點譜方法求解傾斜方腔內(nèi)混合納米流體的流動和傳熱問題。方腔內(nèi)充滿了黏性、不可壓縮的水基Al2O3/Cu的混合納米流體。方腔的腔體與水平方向的夾角為[θ]，方腔的左右壁面為恒溫壁面，上下壁面為絕熱壁面。該文研究了方腔傾斜角度和Ra數(shù)對混合納米流體流動與傳熱的影響，所采用的無量綱參數(shù)Ha=30、[Pr=6.2]、及[?=0.03]保持不變。

不同方腔傾斜角度下，方腔內(nèi)混合納米流體流場和溫度場如圖3所示。左側(cè)為溫度場、右側(cè)為流場。由圖3可知，當(dāng)方腔傾斜角度從[θ=0]變化到π/6時，流場中心的水平漩渦變成有一定傾斜角度的豎直漩渦，溫度場變化也非常明顯；當(dāng)方腔傾斜角度從π/6變化到π/4時，流場中心出現(xiàn)了兩個小漩渦，溫度場變化不明顯。流函數(shù)的絕對值隨著方腔傾斜角度的增大而增大。結(jié)果表明，方腔傾斜角度的增大加快了流動。

熱壁面平均Nu數(shù)隨方腔傾斜角度θ的變化見表5。由表5可知，平均Nu數(shù)隨著方腔傾斜角度先增大后變小，整體來看是增大。結(jié)果表明，方腔傾斜角度的增大加快了傳熱。

不同Ra數(shù)下，方腔內(nèi)納米混合流體流動與傳熱的變化，如圖4所示。左側(cè)為溫度場、右側(cè)為流場。由圖4可知，隨著Ra數(shù)的增大，流場和溫度場都發(fā)生了明顯變化，等溫線由與豎直壁面平行逐漸變成與豎直壁面傾斜一定的角度，流函數(shù)的絕對值也逐漸增大。結(jié)果表明，隨著Ra的增大，加快了傳熱及流動。

當(dāng)Ra數(shù)為104、105和106，對應(yīng)的熱壁面上的平均Nu數(shù)分別為1.203 4、3.590 7和8.327 8，更進一步說明Ra數(shù)的增大，加快了傳熱速率。

4 結(jié)論

本研究主要對傾斜方腔內(nèi)混合納米流體的流動和傳熱問題進行了研究。通過采用配置點譜方法求解了所有的控制方程，并在納米顆粒體積份額?=0.03和Ha=30時，研究了方腔傾斜角度θ和Ra數(shù)對流動和傳熱的影響，得到的結(jié)果如下。

①隨著方腔傾斜角度的增大，流場變化較為明顯，溫度場在傾斜角度從0變化到π/6時，變化較為明顯；Nu數(shù)先變大后變小。

②隨著Ra數(shù)的增大，流場和溫度場都有顯著變化；Nu數(shù)增大。綜上，說明流動和傳熱都加快了。

通過研究發(fā)現(xiàn)，方腔傾斜角度為π/6、Ra數(shù)為106時，傳熱效果最好。

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