方程是代數(shù)學的核心內(nèi)容，是初中階段最重要、最基本的數(shù)學概念之一．簡而言之．方程是含有未知數(shù)的等式，它既是連接數(shù)學與現(xiàn)實的有效途徑，也是發(fā)展代數(shù)思維的重要工具，人類對于方程的研究推動了整個代數(shù)學的發(fā)展．

一元一次方程是最簡單的代數(shù)方程，是繼有理數(shù)和代數(shù)式之后“數(shù)與代數(shù)”領域的重要內(nèi)容，也是所有代數(shù)方程的基礎．

在學習“一元一次方程”的過程中，我們不僅要經(jīng)歷“將實際問題抽象為方程”的數(shù)學化過程，感受方程是刻畫現(xiàn)實世界中等量關系的有效模型，還要根據(jù)具體情境理解方程及其相關概念，進一步感悟方程的核心——模型思想和化歸方法，發(fā)展模型觀念，在解決現(xiàn)實問題中不斷提高數(shù)學核心素養(yǎng)．

《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，下面是其中記載的關于“盈不足”的問題：

隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤．人數(shù)銀兩各幾何？

其大意為：有一群人分銀子，若每人分7兩，則剩余4兩；若每人分9兩，則還差8兩．有多少人分銀子？所分的銀子共有多少兩？（注：舊時1斤等于16兩）

這是一個以財產(chǎn)分配為背景的實際生活問題，雖然涉及兩種不同的分配方案，但銀子總數(shù)是相同的，解決問題的關鍵在于先準確找出題中的等量關系，再建立一元一次方程．

第一步，抽象階段，分析問題，發(fā)現(xiàn)問題中涉及的已知量、未知量以及量與量之間的關系，用自然語言表達，將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學問題．

問題情境中的等量關系為：

每人分7兩銀子時，銀子總數(shù)量還剩4兩；每人分9兩銀子時，銀子總數(shù)量還差8兩．

用自然語言表達等量關系如下：

7兩銀子與人數(shù)之積，再加4兩銀子，是銀子總數(shù)量；9兩銀子與人數(shù)之積再減8兩銀子，是銀子總數(shù)量．

第二步，表達階段，探尋普適規(guī)律，提煉共同要素，根據(jù)已知條件，選取恰當?shù)姆栒Z言表達等量關系．

用人表示人數(shù)，用銀表示銀子總數(shù)量，用符號語言表達等量關系如下：

7×人+4=銀，9×人-8=銀．

第三步，建模階段．建立模型，用含有未知數(shù)的等式表達等量關系，形成刻畫等量關系的方程．

設總?cè)藬?shù)為x，每人分7兩銀子時，剩余4兩，銀子總數(shù)量可表示為（7x+4）兩；每人分9兩銀子時，還差8兩，銀子總數(shù)量可表示為（9x-8）兩．于是可得7x+4=9x-8.

第四步，解方程階段．解方程就是一項尋找未知數(shù)的值的任務，其核心方法是運用“化繁為簡，化生為熟”的化歸策略．

對于7x+4=9x-8，移項，得7x-9x=-8-4，合并同類項，得-2x=-12，系數(shù)化為1，得x=6.

則銀子總數(shù)量為7x+4=42+4=46（兩）．

故有6人分銀子，所分的銀子共有46兩．

對初中數(shù)學來說，方程學習的核心，一方面在于建模，另一方面在于解方程．通過上面的實例，我們感悟到了方程模型“三個階段兩次抽象”的建構過程：第一次抽象是“將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學問題”，即從“發(fā)現(xiàn)問題情境中的等量關系”到“用自然語言表達等量關系”：第二次抽象是“將數(shù)學問題抽象為數(shù)學表達”，即從“用自然語言表達等量關系”到“用含有未知數(shù)的等式表達等量關系”，進而形成一元一次方程．

數(shù)學源于生活實踐，又廣泛應用于現(xiàn)實生活，在一元一次方程的實際應用中，要注重相關基礎知識的運用，這是解題的關鍵．

例 《九章算術》是中國古代的一部數(shù)學專著，其中“均輸”章記載了一個有趣的數(shù)學問題：

今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海，今鳧雁俱起，問何日相逢．

其大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海，現(xiàn)野鴨從南海，大雁從北海同時起飛（兩者的飛行路線相同），問經(jīng)過多少天相遇．

解析：8由題意知，鳧1日飛整段路程的1／7，雁1日飛整段路程的1／9，設經(jīng)過x天相遇，根據(jù)題意可得：

（1／7+1／9）x＝1．

去括號，得1／7x+1／9x＝1，

移項及合并同類項，得16／53x=1．

系數(shù)化為1，得x=63／16．

答：經(jīng)過63／16天相遇，

試一試

（2024年宜賓）元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：“今有良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之，”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬．則快馬追上慢馬的天數(shù)是（ ）．

A.5 B．10

C．15 D.20

參考答案：D