1.問(wèn)題提出

周期函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一塊重要內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).在周期函數(shù)的研究中會(huì)遇到許多困難的問(wèn)題. 比如，兩個(gè)周期函數(shù)之和是否為周期函數(shù)等. 筆者通過(guò)查閱文獻(xiàn)和探索，先梳理該問(wèn)題已有的研究成果，然后對(duì)問(wèn)題作進(jìn)一步探究與推廣.

2.已有結(jié)果

我們先看看三角函數(shù)的情形.

命題1 設(shè)f（x）=（a₁cosn₁x+b₁sinn₁x）+（a₂cosn₂x+b₂sinn₂x）+…+（a_kcosn_kx+b_ksinn_kx），其中n_i是不同的正有理數(shù)，a_i，b_i不同時(shí)為0（i=1，2，…，k），那么f（x）的周期等于各項(xiàng)函數(shù)的周期的最小公倍數(shù)^［1］.

評(píng)析：命題1給出了多個(gè)三角函數(shù)相加時(shí)，f（x）是周期函數(shù)的前提（即n_i是正有理數(shù)）和f（x）周期的求法（等于各項(xiàng)函數(shù)的周期的最小公倍數(shù)）.

那么，對(duì)于一般的周期函數(shù)，要滿(mǎn)足什么條件，它們的和才是周期函數(shù)呢？

命題2 定義域相同的兩個(gè)周期函數(shù)，如果它們的周期可公度（即兩周期之比為有理數(shù)），那么它們的和與積也是周期函數(shù)^［2］.

證明：設(shè)f₁（x）和f₂（x）是定義在同一集合上的周期函數(shù)，T₁和T₂分別是它們的周期.由于T₁，T₂可公度，可設(shè)T₁/T₂=mn（n，m是整數(shù)）.于是nT₁=mT₂，令nT₁=mT₂=T，則

f₁（x+T）=f₁（x+nT₁）=f₁（x），f₂（x+T）=f₂（x+mT₂）=f₂（x）.

設(shè)F₁（x）=f₁（x）+f₂（x），F(xiàn)₂（x）=f₁（x）f₂（x），則F₁（x）和F₂（x）都是以T為周期的函數(shù).事實(shí)上，我們有F₁（x+T）=f₁（x+T）+f₂（x+T）=f₁（x）+f₂（x）=F₁（x），

F₂（x+T）=f₁（x+T）f₂（x+T）=f₁（x）f₂（x）=F₂（x）.

讀者自然會(huì)問(wèn)：要使兩個(gè)周期函數(shù)之和（差、積、商）仍為周期函數(shù)，是否它們必須有可公度的周期呢？

命題3 存在兩個(gè)具有最小正周期的函數(shù)f₁（x）和f₂（x），它們之間無(wú)可公度的周期，但其和仍為周期函數(shù)^［3］.

命題4 存在兩個(gè)具有最小正周期的函數(shù)f₁（x）和f₂（x），它們之間無(wú)可公度的周期，但其積仍為周期函數(shù)^［3］.

命題3和命題4的證明參看文［3］.

3.主要結(jié)果及證明

我們進(jìn)一步探究：如果兩個(gè)周期函數(shù)的周期不可公度，那么在什么條件下，它們的和一定不是周期函數(shù)呢？

先看三角函數(shù)的情形.

命題5 當(dāng)a為無(wú)理數(shù)時(shí)，sinx+sinax一定不是周期函數(shù).

證明：用反證法. 假設(shè)sinx+sinax是以T（T≠0）為周期的函數(shù)，則對(duì)x∈R，成立sin（x+2T）+sin（ax+2aT）=sinx+sinax，從而有sin（x+2T）－sinx=－［sin（ax+2aT）－sinax］.和差化積，得到cos（x+T）sinT=－cos（ax+aT）sinaT. （1）

取x使得x+T=π2，則式（1）左邊等于0. 由于a為無(wú)理數(shù)，式（1）右邊的第一個(gè)因式不等于0，所以只能是sinaT=0. 因此aT是π的整數(shù)倍.

再取x使得ax+aT=π2，則式（1）右邊等于0. 由于a為無(wú)理數(shù)，式（1）左邊的第一個(gè)因式不等于0，所以只能是sinT=0. 因此T是π的整數(shù)倍.

因?yàn)閍為無(wú)理數(shù)，以上兩個(gè)結(jié)論不能相容，所以sinx+sinax不是周期函數(shù).

那么對(duì)于一般的函數(shù)會(huì)有什么樣的結(jié)論呢？筆者經(jīng)過(guò)探究，將命題5推廣得到：

命題6 設(shè)f₁（x）和f₂（x）是定義在同一集合上的周期函數(shù)，它們的周期不可公度. 若f₁（x），f₂（x）中至少一個(gè)有界，又至少有一個(gè)連續(xù)，則f（x）=f₁（x）+f₂（x）不是周期函數(shù).

證明：用反證法.設(shè)函數(shù)f（x）有周期p（pgt;0），則從

0=f（x+p）－f（x）=f₁（x+p）+f₂（x+p）－f₁（x）－f₂（x）得到恒等式f₁（x+p）－f₁（x）=－f₂（x+p）+f₂（x）.利用這個(gè)恒等式定義一個(gè)新的函數(shù)F（x）：F（x）=f₁（x+p）－f₁（x）=－f₂（x+p）+f₂（x）.（2）

設(shè)T₁，T₂分別是f₁（x）和f₂（x）的周期.從定義（2）可見(jiàn)F（x）同時(shí)以T₁，T₂為周期.不妨設(shè)T₁gt;T₂gt;0，則F（x）又以T₁－T₂為周期.利用輾轉(zhuǎn)相除法，可見(jiàn)F（x）有無(wú)窮多個(gè)越來(lái)越小的正周期，從而F（x）有任意小的正周期.

取F（x）的一列趨于0的正周期a_n（n=1，2，…）.設(shè)x₀在定義域中，則對(duì)于定義域中任意其他點(diǎn)x，有分解式x=x₀+k_na_n+b_n（n=1，2，…），其中k_n為整數(shù)，0≤b_nlt;a_n. 不妨設(shè)f₁（x）和f₂（x）中的f₁（x）為定義域上的連續(xù)函數(shù)，于是有F（x）=F（x₀+b_n）=f₁（x₀+b_n+p）－f₁（x₀+b_n）.令n→∞，并記上式右邊的極限為c，就得到F（x）=F（x₀）=f₁（x₀+p）－f₁（x₀）=c.于是對(duì)任意x有F（x）=f₁（x+p）－f₁（x）=－f₂（x+p）+f₂（x）=c.這時(shí)對(duì)一切整數(shù)n有f₁（x₀+np）=f₁（x₀）+nc，f₂（x₀+np）=f₂（x₀）－nc.由于f₁（x），f₂（x）中至少一個(gè)有界，因此只能有c=0.于是就證明了F（x）恒等于0，因此也就證明了p是f₁（x）和f₂（x）的共有周期，這與它們的周期不可公度矛盾.得證.

注：特別地，當(dāng)f₁（x），f₂（x）中有一個(gè)是（－∞，+∞）上的連續(xù)周期函數(shù)時(shí)，命題6的條件滿(mǎn)足.此外，從證明過(guò)程可知，連續(xù)條件可減弱為在某個(gè)單側(cè)連續(xù)或存在極限.

例題 設(shè)f₁（x）=tan（aπx），agt;0，f₂（x）=D（x）（即狄利克雷函數(shù)），證明：f（x）=f₁（x）+f₂（x）為周期函數(shù)的充分條件是a為有理數(shù).

證明：因?yàn)閒₁（x）的周期為1a，f₂（x）的周期為任意有理數(shù).若a為有理數(shù)，則f₁（x）和f₂（x）的周期可公度，由命題2知f（x）=f₁（x）+f₂（x）為周期函數(shù).若a為無(wú)理數(shù)，則根據(jù)f₁（x）連續(xù)，f₂（x）有界，由命題6知f（x）=f₁（x）+f₂（x）不是周期函數(shù).

參考文獻(xiàn)

［1］馬明. 三角多項(xiàng)式的恒等定理兼談三角函數(shù)的周期［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，1963（06）：27-30.

［2］費(fèi)定暉，周學(xué)圣. 吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解［M］.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2007.

［3］李繼閔. 周期函數(shù)的和、差、積、商的周期性［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，1965（05）：40-43+32.