章起始課作為一章內(nèi)容的起點(diǎn)，對(duì)整章教學(xué)具有提綱挈領(lǐng)的作用，不僅能夠引導(dǎo)學(xué)生初步掌握全章知識(shí)結(jié)構(gòu)、知識(shí)間的邏輯關(guān)系，還能將自然單元與主題單元進(jìn)行串聯(lián)與銜接，讓學(xué)生站在系統(tǒng)的高度，知道知識(shí)的由來，以及為什么學(xué)、學(xué)什么、怎么學(xué)，達(dá)成思維的結(jié)構(gòu)化。

“圓”是魯教版初中《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第五章的內(nèi)容，是幾何篇章的最后一章，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個(gè)曲線圖形。小學(xué)階段是通過折紙、作圖認(rèn)識(shí)了圓，再利用“化曲為直”“化圓為方”的方法研究其周長(zhǎng)和面積公式；初中將類比小學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，借助直線形的一般路徑進(jìn)行探究。

“圓”章起始課統(tǒng)領(lǐng)全章，立足經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“圓”的生長(zhǎng)點(diǎn)與延伸點(diǎn)，幫助其認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容的起端與研究路徑，由此獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn)，感受它是什么、它有什么、它能做什么。因此，在通讀課標(biāo)和研讀教材后，將本章內(nèi)容梳理為：初識(shí)“圓”；圓的基本性質(zhì)；點(diǎn)、直線、平面圖形與圓的位置關(guān)系；小結(jié)與思考。筆者先后以兩次試教的教學(xué)設(shè)計(jì)為依托，對(duì)比闡述本節(jié)章起始課承載的知識(shí)之間的化歸與遷移。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)與設(shè)計(jì)意圖

【第一環(huán)節(jié)】順延路徑，經(jīng)驗(yàn)傳承（“課前預(yù)學(xué)”前置）

（初稿呈現(xiàn)）生活常識(shí)：“圓”作為一個(gè)曲線型平面圖形，它具有怎樣的特征，會(huì)給我們帶來怎樣的生活便利？

（二改完善）歷史遺跡：天壇主要由圜丘和祁谷（祁年殿）兩壇組成。圜丘壇俗稱祭天臺(tái)，共有3層。上層圜臺(tái)的直徑是30米，中層直徑是50米，下層直徑是70米。祁年殿頂周長(zhǎng)是100米。你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

（預(yù)學(xué)指導(dǎo)：可以從幾何研究對(duì)象——點(diǎn)、線、面、體等角度研究。）

[設(shè)計(jì)意圖]“初稿”讓學(xué)生提前搜集相關(guān)的資料，感受圓在生活中的重要作用。“二改”借助歷史遺跡引導(dǎo)學(xué)生感受古人的智慧，借力提出數(shù)學(xué)問題，復(fù)習(xí)小學(xué)已有的知識(shí)，體會(huì)深入學(xué)習(xí)圓的必要性。

[學(xué)情預(yù)設(shè)]學(xué)生獨(dú)立搜集資料，采用相互補(bǔ)充的方式進(jìn)行展示，同時(shí)滲透物理學(xué)知識(shí)，進(jìn)行跨學(xué)科銜接。

【第二環(huán)節(jié)】靜態(tài)觀察，引發(fā)思考（“課中導(dǎo)學(xué)”設(shè)置）

（二改完善）匯集學(xué)生的經(jīng)典做法并展示。教師引導(dǎo)學(xué)生從幾何研究的角度進(jìn)行完善。回顧小學(xué)的畫“圓”作圖環(huán)節(jié)。

（初稿呈現(xiàn)）問題1：“圓”在生活中處處可見。你能嘗試多種方法在學(xué)案中畫出一個(gè)圓嗎？

追問1：若改成在操場(chǎng)上畫一個(gè)r=2米的圓，如何畫？追問2：你能描述一下什么是圓嗎？

[引入數(shù)學(xué)史]圓，一中同長(zhǎng)也?！赌?jīng)》

[設(shè)計(jì)意圖]引入數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生進(jìn)一步梳理出什么是“圓”。從動(dòng)態(tài)和靜態(tài)兩個(gè)角度理解圓的定義、表示、組成元素及接下來的研究路徑。

[學(xué)情預(yù)設(shè)]學(xué)生獨(dú)立完成題目后合作交流。

問題2：在平面內(nèi)畫一個(gè)圓，需要幾個(gè)條件？

（二改完善）問題3：類比之前研究的平面幾何圖形，你認(rèn)為應(yīng)該從哪些角度研究圓的組成元素？

問題4：嘗試畫出圓中的線段、角和任意兩點(diǎn)之間的弧。找出其中你認(rèn)為最特殊的線段、角和弧。

追問1：根據(jù)它們的特殊性，你能描述一下它們嗎？（弦、圓心角與圓周角、弧的長(zhǎng)度與角度）

追問2：將整個(gè)圓360份等分，每一份這樣的弧叫做1°的弧，1°的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)是多少？n°的圓心角的度數(shù)與它所對(duì)弧的度數(shù)有怎樣的關(guān)系？

追問3：猜測(cè)對(duì)于同弧或等弧所對(duì)應(yīng)的圓周角度數(shù)是多少呢？后續(xù)我們進(jìn)一步推理驗(yàn)證。平面圖形主要從哪些角度進(jìn)行的研究？（大小、形狀、位置關(guān)系）先從最基礎(chǔ)的幾何變換——對(duì)稱性展開。

活動(dòng)（一）折一折、疊一疊

（初稿呈現(xiàn)）將準(zhǔn)備好的兩個(gè)圓形紙片折疊，你發(fā)現(xiàn)了哪些與數(shù)學(xué)有關(guān)的信息？

活動(dòng)要求：先獨(dú)自完成再小組交流，并選派一名代表進(jìn)行展示。活動(dòng)時(shí)間：5分鐘。

（二改完善）攻略：可以從圓上的弧、線段、角以及對(duì)稱性等角度進(jìn)行探索。

① 軸對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線，有無數(shù)條對(duì)稱軸。

問題5：將圓沿它的對(duì)稱軸對(duì)折后，弦被平分，圓的兩段弧也被平分嗎？如何驗(yàn)證？

（二改完善）這是圓的一個(gè)非常重要的定理——垂徑定理。后續(xù)我們還要進(jìn)一步推理驗(yàn)證。

② 中心對(duì)稱：圓是中心對(duì)稱圖形——繞著圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能和自身重合，叫做旋轉(zhuǎn)不變性。

追問：在同圓或等圓中，若兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等嗎？如何驗(yàn)證？

（二改完善）基本圖形演變。

[設(shè)計(jì)意圖]通過動(dòng)手操作，讓學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)圓的基本概念以及對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)不變性，直觀感受各要素之間的內(nèi)在聯(lián)系，體驗(yàn)變與不變性。

[學(xué)情預(yù)設(shè)]先獨(dú)立完成，后小組合作。小組交流展示分享，教師設(shè)置追問，激發(fā)數(shù)學(xué)思考。

評(píng)測(cè)練習(xí)一

一條排水管的截面如圖1所示，已知排水管的半徑OA=2米，水面寬AB=2.4米，若某天下雨后，水管水面上升了0.4米，則排水管水面寬CD= 米.

變式：若某天下雨后，水管水面上升后的水面寬度為3.2米，則排水管上升了 米.

【第三環(huán)節(jié)】動(dòng)態(tài)探究，挖掘內(nèi)涵

活動(dòng)（二）做一做、想一想

（二改完善）歷史遺跡：若以祁谷（祁年殿）中心點(diǎn)O為圓心，如圖2，將參觀的游客抽象為點(diǎn)A、B、C、D、E、F。你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

追問：研究對(duì)象從點(diǎn)、線、面逐一展開，要研究它們的組成結(jié)構(gòu)，從哪些角度進(jìn)行呢？

問題6：幾何研究最基本的元素是點(diǎn)，你認(rèn)為點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種情況？

問題7：針對(duì)上述的位置關(guān)系，你可以用哪些量描述？

[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生從動(dòng)態(tài)和靜態(tài)兩個(gè)角度理解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。

[學(xué)情預(yù)設(shè)]學(xué)生在動(dòng)圖的幾何直觀下，獨(dú)立總結(jié)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（圖3）。對(duì)于點(diǎn)到圓心的距離d與半徑r的關(guān)系，可以相互補(bǔ)充完善，引導(dǎo)學(xué)生建模。

問題8：將圓中的一條弦延伸為直線，則此時(shí)直線與⊙O具有怎樣的位置關(guān)系呢？嘗試在學(xué)案上畫圖，探究用哪些量描述不同的位置關(guān)系。

活動(dòng)要求：獨(dú)自完成任務(wù)之后小組交流，并選派一名代表進(jìn)行展示。活動(dòng)時(shí)間：5分鐘。

（攻略：位置關(guān)系可以從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)、數(shù)量關(guān)系、圓心到直線的垂線段長(zhǎng)度、圓半徑的長(zhǎng)度進(jìn)行探索。 ）

類比遷移：我們可以直觀地發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系為——相交、相切、相離（圖4）。位置關(guān)系：以公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分辨，數(shù)量關(guān)系：以圓心到直線的垂線段d與圓的半徑r進(jìn)行分辨。

追問：對(duì)于相切，我們發(fā)現(xiàn)了垂線段d=r。得到切線的性質(zhì)——圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。反過來，滿足什么條件的直線是圓的切線呢？

拓展：類比遷移點(diǎn)、線與圓的位置關(guān)系，對(duì)于平面圖形與圓的位置關(guān)系，你認(rèn)為可以從哪些角度進(jìn)行研究？（以三角形為例）

[設(shè)計(jì)意圖]類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，從動(dòng)態(tài)的角度理解直線與圓的位置關(guān)系，感知切線的性質(zhì)與判定，延伸為平面圖形與圓的特殊位置關(guān)系。

[學(xué)情預(yù)設(shè)]學(xué)生基本能夠獨(dú)立完成；對(duì)于問題8及追問，可進(jìn)行交流展示與點(diǎn)撥提升。

【第四環(huán)節(jié)】類比探究，盡在后續(xù)（二改完善）

類比之前學(xué)過的平行四邊形以及特殊平行四邊形（圖5），思考幾何學(xué)習(xí)的路徑是什么。

追問：教材引導(dǎo)我們按照這個(gè)順序?qū)W習(xí)（圖5），能否談?wù)勂浜侠硇裕?/p>

追問：我們認(rèn)識(shí)了“圓”，那么接下來我們要研究什么呢（圖6）？

問題9：類比平行四邊形的性質(zhì)，我們是從邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性進(jìn)行研究的。你認(rèn)為圓的性質(zhì)應(yīng)該從哪幾個(gè)方面進(jìn)行研究呢？后續(xù)我們還將研究圓哪些方面的知識(shí)呢？

[設(shè)計(jì)意圖]從動(dòng)態(tài)和靜態(tài)兩個(gè)角度理解圓的定義，類比遷移平行四邊形、特殊平行四邊形的學(xué)習(xí)路徑，參照目錄學(xué)習(xí)法，延續(xù)“圓”的學(xué)習(xí)路徑，讓學(xué)生知道為什么學(xué)、怎么學(xué)、學(xué)什么。

【第五環(huán)節(jié)】生活融入，實(shí)踐應(yīng)用（二改完善，“課后精學(xué)”之實(shí)踐拓展）

縱觀史今：歷史上我國(guó)隋朝建造的趙州橋是世界上著名的石拱橋，它的主橋拱是圓弧形，你能利用圓的知識(shí)解決橋拱的哪些問題，解決這些問題又用到哪些數(shù)據(jù)呢？

生活應(yīng)用：結(jié)合本節(jié)課所學(xué)，以排水管問題為背景，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)生活問題，并利用圓的知識(shí)解決。

實(shí)踐拓展：如圖7，有一張四邊形紙片ABCD，AB=AD=6 cm，CB=CD=8 cm，且∠B=90°.

（1）要把該四邊形紙片裁剪成一個(gè)面積最大的圓形紙片，你能否用折疊的方法找出圓心？

（2）若能，計(jì)算出最大圓形紙片的半徑。

[設(shè)計(jì)意圖]通過活動(dòng)化的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式、路徑，感受一種獨(dú)有的“玩出來”的數(shù)學(xué)魅力。

[學(xué)情預(yù)設(shè)]小組交流，利用“兵教兵”幫助學(xué)生建模，利用合作交流進(jìn)行分組展示。

【第六環(huán)節(jié)】回顧總結(jié)，展望延伸

本節(jié)課我都學(xué)到了什么？我感觸最深的是什么？還期待學(xué)習(xí)哪些知識(shí)？（可以從知識(shí)、方法、思想等維度描述，如圖8）

[設(shè)計(jì)意圖]通過自我評(píng)價(jià)、小組評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生肯定自我、欣賞他人。

[學(xué)情預(yù)設(shè)]從不同層面提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)的完善寓意

1. 注重研究路徑的確立

章起始課立足于整章，在主題單元以及自然單元的縱橫脈絡(luò)下，注重知識(shí)的整體性、連貫性、梯度性，問題設(shè)置的連貫性、層次性強(qiáng)。它基于學(xué)生已有的生活認(rèn)知、知識(shí)儲(chǔ)備、解決問題的策略，借助問題情境的設(shè)置，引發(fā)學(xué)生的共鳴，銜接知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)與延伸點(diǎn)。以此讓學(xué)生知道學(xué)習(xí)內(nèi)容的起端與研究路徑，在原有基礎(chǔ)上獲得解決問題的技能，體會(huì)數(shù)學(xué)獨(dú)有的研究方法和思維方式。

2. 注重研究方式的達(dá)成

章起始課的設(shè)計(jì)，要突出學(xué)生數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn)的積累，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，不再單純重視知識(shí)的傳授，導(dǎo)致整章的學(xué)習(xí)路徑不清，讓學(xué)生越學(xué)越難，感受不到數(shù)學(xué)獨(dú)有的魅力。

3. 注重思維結(jié)構(gòu)化的培養(yǎng)

章起始課要注重知識(shí)的架構(gòu)，以適當(dāng)活動(dòng)化的情景及梯度性問題銜接，以認(rèn)知上的矛盾為銜接點(diǎn)讓學(xué)生思維不斷碰撞，最終達(dá)成思維的結(jié)構(gòu)化，從而展開深度學(xué)習(xí)。這樣一來，學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度提出問題，解決問題，獲得解決問題的策略，學(xué)以致用，感受無處不在的數(shù)學(xué)。

（作者單位：王麗麗 山東省威海市環(huán)翠區(qū)教育教學(xué)研究中心；于李琴 威海市第七中學(xué)）