摘 要：對２０２４年高考物理湖南卷第１５題進(jìn)行分析，重點(diǎn)討論此題的第（２）問，并將此問拓展為“若小球Ａ與Ｂ之間為彈性碰撞，且所有的碰撞位置剛好位于正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，求小球Ａ、Ｂ的質(zhì)量比”。證明了只要小球Ａ、Ｂ在某正多邊形頂點(diǎn)發(fā)生彈性碰撞，以后各碰撞位置必然在該正多邊形的某頂點(diǎn)。并利用數(shù)學(xué)歸納法，得到拓展問題的一般結(jié)論。

關(guān)鍵詞：碰撞；動(dòng)量守恒；能量守恒；質(zhì)量比

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）12-0044-4

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（２０１７年版２０２０年修訂）》中指出，學(xué)業(yè)質(zhì)量水平４是高等院校招生錄取的學(xué)業(yè)水平等級考試的命題依據(jù)。在學(xué)業(yè)質(zhì)量水平４中，學(xué)生需要“能理解所學(xué)的物理概念和規(guī)律及其相互作用……能將實(shí)際問題中的對象和過程轉(zhuǎn)換為所學(xué)的物理模型；能對綜合性物理問題進(jìn)行分析和推理，獲得結(jié)論并作出解釋……能分析相關(guān)事實(shí)和結(jié)論，提出并準(zhǔn)確表示可探究的物理問題……”［１］。２０２４年高考物理湖南卷第１５題便能充分考查學(xué)生是否達(dá)到了學(xué)業(yè)質(zhì)量水平４。該題是兩球發(fā)生多次正碰的壓軸大題，考查運(yùn)動(dòng)、相互作用、能量以及動(dòng)量相關(guān)知識。由于碰撞的種類和兩球質(zhì)量關(guān)系不明確，需要考生根據(jù)題意對碰撞的三種情形（彈性碰撞、完全非彈性碰撞和非完全彈性碰撞）進(jìn)行分情況分析、討論和推理，從而得出結(jié)果，能全面考查學(xué)生的核心素養(yǎng)?，F(xiàn)對此題進(jìn)行分析并拓展。

１ 原題呈現(xiàn)

（２０２４年高考物理湖南卷第１５題） 如圖１所示，半徑為Ｒ的圓環(huán)水平放置并固定，圓環(huán)內(nèi)有質(zhì)量為ｍＡ和ｍＢ的小球Ａ和Ｂ（ｍＡ>ｍＢ）。初始時(shí)小球Ａ以初速度ｖ０沿圓環(huán)切線方向運(yùn)動(dòng)，與靜止的小球 Ｂ發(fā)生碰撞。不計(jì)小球與圓環(huán)之間的摩擦，兩小球始終在圓環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

（１）若小球Ａ與Ｂ碰撞后結(jié)合在一起，求碰撞后小球組合體的速度大小及做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的大??；

（２）若小球Ａ與Ｂ之間為彈性碰撞，且所有的碰撞位置剛好位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求小球的質(zhì)量比；

（３）若小球Ａ與Ｂ之間為非彈性碰撞，每次碰撞后的相對速度大小為碰撞前相對速度大小的ｅ倍（０＜ｅ＜１），求第１次碰撞到第２ｎ＋１次碰撞之間小球Ｂ通過的路程。

圖１ ２０２４年高考物理湖南卷第１５題示意圖

２ 試題簡評

本題是２０２４年高考物理湖南卷第１５題，作為壓軸大題考查碰撞問題。在《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（２０１７年版２０２０年修訂）》［１］中對碰撞的內(nèi)容要求為：通過實(shí)驗(yàn)，了解彈性碰撞和非彈性碰撞的特點(diǎn)。定量分析一維碰撞問題，并能解釋生產(chǎn)生活中的彈性碰撞和非彈性碰撞現(xiàn)象。從題目設(shè)置而言，本題所考查的內(nèi)容完全符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。

本題涉及牛頓第二定律、能量守恒定律以及動(dòng)量守恒定律，旨在考查學(xué)生對物體運(yùn)動(dòng)、物體之間相互作用規(guī)律以及能量的理解與應(yīng)用。本題第（１）問相對容易，學(xué)生利用完全非彈性碰撞特點(diǎn)，結(jié)合牛頓第二定律與動(dòng)量守恒便可順利解決。學(xué)生要完全解決此問題的第（２）與第（３）問，需要對碰撞有更深的理解，僅僅停留在表面是不行的。本題第（２）問需要學(xué)生利用彈性碰撞的特點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)量守恒與能量守恒，計(jì)算得到小球Ａ和Ｂ第一次碰后的速度vA、vB。此后，需根據(jù)題目中已知條件“所有的碰撞位置剛好位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)”，分析得到從第一次碰撞到第二次碰撞之間Ａ、Ｂ通過的路程之比，進(jìn)而利用二者的速度之比推導(dǎo)得到二者的質(zhì)量之比。值得注意的是，此小題還需分情況討論，即第二次碰撞的位置有兩處。本小題容易忽略的是，學(xué)生通過上述分析得到小球Ａ、Ｂ的質(zhì)量比之后沒有對以后的碰撞是否均發(fā)生在等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行證明，這于此小題而言是必不可少的。本題第（３）問，學(xué)生需要靈活應(yīng)用題目中的已知條件“小球Ａ與Ｂ之間為非彈性碰撞，每次碰撞后的相對速度大小為碰撞前的相對速度大小的ｅ倍（０＜ｅ＜１）”。深刻理解相對運(yùn)動(dòng)，利用非彈性碰撞的特點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律進(jìn)行分析以解決問題。另外，此小題還需學(xué)生具有數(shù)學(xué)歸納能力，能通過計(jì)算，找到每次碰撞后到下次碰撞前小球Ｂ所經(jīng)過路程的規(guī)律，此題便可迎刃而解。因此，本題需要學(xué)生有較強(qiáng)的模型建構(gòu)能力、分析與邏輯推理能力，是對學(xué)生核心素養(yǎng)的綜合考查。

本文重點(diǎn)對第（２）問進(jìn)行分析并進(jìn)行拓展，得到“若小球Ａ與Ｂ之間為彈性碰撞，所有的碰撞位置剛好位于正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，小球Ａ、Ｂ的質(zhì)量比”的一般結(jié)論。

３ 試題解析

若兩球發(fā)生彈性碰撞，設(shè)碰后速度分別為ｖＡ、ｖＢ，則碰后動(dòng)量和能量守恒，有

mAv0=mAvA+mBvB

mAv=mAv+mBv

聯(lián)立解得v=v，v=

所有的碰撞位置剛好位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，如圖２所示。

圖２ 碰撞位置剛好位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)示意圖

情況１：若第二次碰撞發(fā)生在圖２中的ｂ點(diǎn)，則從第一次碰撞到第二次碰撞之間，Ａ、Ｂ通過的路程之比為（其中，k1=0，1，2，3…），因此有

==（k1=0，1，2，3…）

聯(lián)立解得=，由于兩質(zhì)量均為正數(shù)，故ｋ１＝０，即=2。

證明：第二次碰撞，設(shè)Ａ和Ｂ碰撞后的速度大小分別為v'A、v'B，則同樣有

mAvA+mBvB=mAv'A+mBv'B

mAv+mBv=mAv+mBv

聯(lián)立解得v'A=v0，v'B=0，故第三次碰撞發(fā)生在ｂ點(diǎn)，第四次碰撞發(fā)生在ｃ點(diǎn)，以此類推，滿足題意。

情況２：若第二次碰撞發(fā)生在圖２中的ｃ點(diǎn)，則從第一次碰撞到第二次碰撞之間，Ａ、Ｂ通過的路程之比為（其中，k2=0，1，2，3…）。所以

==

聯(lián)立可得=，因?yàn)閮少|(zhì)量均為正數(shù)，故ｋ２＝０，即=5。

證明：根據(jù)情況１的分析亦可證v'A=v0，v'B=0，滿足題意。

綜上可知，=2或=5。

４ 試題拓展

將此題進(jìn)行拓展：若小球Ａ與Ｂ之間為彈性碰撞，且所有的碰撞位置剛好位于正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，求小球的質(zhì)量比。該拓展便將此題從一個(gè)特殊的問題延伸至一個(gè)一般的問題，現(xiàn)對此問題進(jìn)行討論。

４．１ 證明：各碰撞位置一定為某正多邊形的各頂點(diǎn)

如圖３（ａ）所示，小球Ａ以速度v0與小球Ｂ在ａ位置發(fā)生第一次碰撞，碰后速度分別為vA和vB。第二次碰撞位置假設(shè)在圖３（ａ）中的ｂ位置，小球Ｂ以速度vB與小球Ａ發(fā)生第二次碰撞，第二次碰撞后小球Ａ、Ｂ的速度分別為v'A與v'B，考慮彈性碰撞，可得出v'A與v'B的一般解

v'A=

v'B=

代入試題解析中所得的vA與vB，可得v'A=v0，v'B=0，即小球Ａ與小球Ｂ發(fā)生第二次碰撞后，小球Ａ的速度又為初速度v0，小球Ｂ的速度變?yōu)榱?，這種情況與碰撞的位置無關(guān)。那么，如圖３（ｂ）所示，第三次碰撞依舊發(fā)生在位置ｂ處，且第三次碰撞情況同第一次在ａ位置的碰撞情況相同。假設(shè)第四次碰撞在ｃ位置處，不難得知，這與第二次碰撞情況相同，且必有?。幔獾扔诨。猓?。以此類推，則可證明小球Ａ、Ｂ若在某正多邊形頂點(diǎn)發(fā)生彈性碰撞，以后各碰撞位置可能在該正多邊形的某頂點(diǎn)。

（a） （b）

圖３ 小球Ａ、Ｂ碰撞情況示意圖

４．２ 對正多邊形進(jìn)行分情況討論

４．２．１ 所有的碰撞位置剛好位于正四邊形的各個(gè)頂點(diǎn)

如圖４所示，若第二次碰撞發(fā)生在ｂ點(diǎn)，與試題解析中的解析類似，則有==（k3=0，1，2，3…），可得=（k3=0，1，2，3…），k3取0，得=。若第二次碰撞發(fā)生在ｃ點(diǎn)，則有==（k4=0，1，2，3…），即=（k4=0，1，2，3…），解得=3。若第二次碰撞發(fā)生在ｄ點(diǎn)，則有==（k5=0，1，2，3…），即=（k5=0，1，2，3…），解得=7。

圖４ 碰撞位置剛好位于正四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)示意圖

４．２．２ 所有的碰撞位置剛好位于正五邊形的各個(gè)頂點(diǎn)

如圖５所示，若第二次碰撞發(fā)生在ｂ點(diǎn)，同理有==（k6=0，1，2，3…），即=（k6=0，1，2，3…），解得=。若第二次碰撞發(fā)生在ｃ點(diǎn)，則有==（k7=0，1，2，3…），即=（k7=0，1，2，3…），解得=。若第二次碰撞發(fā)生在ｄ點(diǎn)，則有==（k8=0，1，2，3…），即=（k8=0，1，2，3…），解得=4。若第二次碰撞發(fā)生在ｅ點(diǎn)，則有==（k9=0，1，2，3…），即=（k9=0，1，2，3…），解得=9。

圖５ 碰撞位置剛好位于正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)示意圖

４．２．３ 數(shù)學(xué)歸納與分析

至此，利用數(shù)學(xué)歸納法，可得到若小球Ａ與Ｂ之間為彈性碰撞，所有的碰撞位置剛好位于正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，則小球的質(zhì)量比的通項(xiàng)公式

=（0<m<n，k=0，1，2，3…）

其中，ｎ為正多邊形的邊數(shù)，ｍ、ｋ均為正整數(shù)。由于質(zhì)量比為正數(shù)，故而可將上述通項(xiàng)公式改寫為

=（0<m<n）

將該式進(jìn)一步改寫為

===1+（0<m<n）

可知，若ｎ與ｍ相差１，便對應(yīng)著最大的質(zhì)量比（）max=2n-1；若m=1，則對應(yīng)著最小的質(zhì)量比（）max=，該質(zhì)量比始終大于１，與題意ｍＡ＞ｍＢ相符。故而，還可以將此題進(jìn)行拓展，若ｍＡ<ｍＢ，小球Ａ、Ｂ的質(zhì)量比也可類似上述分析進(jìn)行求解，此處不再贅述。

５ 小 結(jié)

通過對２０２４年高考物理湖南卷第１５題進(jìn)行分析可知，此題作為壓軸大題，考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，要求學(xué)生能利用所學(xué)知識，建構(gòu)物理模型，并在此基礎(chǔ)上，通過分析、推理以及歸納和概括得到正確結(jié)論，能較好地實(shí)現(xiàn)對人才的選拔。本文在原題基礎(chǔ)上，對第（２）問進(jìn)行拓展，拓展的目的并非要讓問題變得復(fù)雜，而是通過分析發(fā)現(xiàn)可以得到更一般、簡潔的結(jié)論。教師在教學(xué)中應(yīng)注意對教學(xué)問題的拓展與延伸，通過拓展，可幫助學(xué)生避免進(jìn)入機(jī)械刷題的誤區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生在新的較為復(fù)雜的情境中對綜合性物理問題進(jìn)行分析和推理，發(fā)展科學(xué)思維，從而培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［１］中華人民共和國教育部．普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］．北京：人民教育出版社，２０20．

（欄目編輯 陳 潔）

收稿日期：2024-07-01

基金項(xiàng)目：成都市教育局立項(xiàng)成都市教育科學(xué)規(guī)劃課題“‘三新’背景下提升學(xué)生物理核心素養(yǎng)的多學(xué)科融合教學(xué)研究”（ＣＹ２０２３Ｙ０８８）；四川省教育學(xué)會(huì)２０２３年度教育科研立項(xiàng)課題“中學(xué)全學(xué)科多樣態(tài)閱讀教學(xué)實(shí)踐研究”（ＹＢ２０２３１６８）。

作者簡介：羅恒（１９９６－），男，中小學(xué)二級教師，主要從事高中物理課堂教學(xué)工作。