二次函數(shù)的研究是初中函數(shù)的收官之作。在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容時，我們要思考，本章究竟研究了哪些內(nèi)容，用到了哪些重要的思想方法？從知識和內(nèi)容角度看，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系，函數(shù)的應(yīng)用等；從思想方法的角度看，我們用到了待定系數(shù)法、配方法等常用方法，還有貫穿研究函數(shù)過程始終的函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等。

新構(gòu)函數(shù)，靈活運用

二次函數(shù)最重要的性質(zhì)就是它的對稱性和增減性。要想學(xué)好函數(shù)，我們就要結(jié)合圖象說性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)畫圖象。有些幾何最值問題，需要挖掘變量之間的關(guān)系，通過設(shè)恰當?shù)奈粗獢?shù)，求出變量間的函數(shù)表達式，再構(gòu)造新函數(shù)模型，通過配方法求出最值。

例1 如圖1，已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點（與點C、B不重合），過點D作DF⊥x軸于點F，交直線BC于點E。求△BCD的面積最大值。

【解析】設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為y=kx+b。

∵直線BC過點B（3，0），C（0，3），

∴[0=3k+b，3=b，]解得：[k=-1，b=3。]

∴y=-x+3。

設(shè)D（m，-m2+2m+3），E（m，-m+3），

∴DE=（-m2+2m+3）-（-m+3）=-m2

+3m。

∴S△BCD=[12]OB·DE=[32]（-m2+3m）=[-32]m2+[92]m（0＜m＜3）。

∴S△BCD=[-32]m2+[92]m=[-32]（m[-32]）2+[278]。

∵[-32]＜0，

∴當m=[32]時，S有最大值，最大值

為[278]。

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)并利用配方法來求最值問題。

分類討論，嚴謹作答

在二次函數(shù)問題中，我們最常見的是與勾股定理、三角函數(shù)、相似三角形等知識點相結(jié)合的函數(shù)幾何綜合題。解決這類問題的關(guān)鍵是要善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，并注意挖掘題目中的一些隱含條件。

例2 如圖2，二次函數(shù)y=x2-2x-3的頂點為P，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C。D是線段BP上的一個動點，過點D作DE⊥x軸于點E，E點的坐標為（a，0）。問：在BP上是否存在點D，使△DCE為直角三角形？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由。

【解析】先求出點C的坐標（0，-3），點P的坐標（1，-4），直線PB表達式y(tǒng)=2x-6，再利用勾股定理表示出CE2=a2+9，DE2=4a2-24a+36，CD2=5a2-12a+9。因為題中并未給出哪個角是直角，所以我們需要分類討論：

①當∠DCE=90°時，則CE2+CD2=DE2，∴a2+9+5a2-12a+9=4a2-24a+36。解得a=-3+[32]或a=-3-[32]（舍去），∴點D的坐標為（-3+[32]，[62]-12）；

②當∠CDE=90°時，則CE2=CD2+DE2，∴5a2-12a+9+4a2-24a+36=a2+9，2a2

-9a+9=0。解得a=[32]或a=3（舍去）?！帱cD的坐標為（[32]，-3）。

綜上所述，點D的坐標為（-3+[32]，[62]-12）或（[32]，-3）。

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)與幾何綜合，運用分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵。

我們在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時，面對問題的變化，要能夠?qū)⒅R遷移、融合，把“數(shù)”與“形”互相滲透，在變化中提升靈活轉(zhuǎn)化的能力，用好函數(shù)與方程思想。這樣，我們就能在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的道路上走得更穩(wěn)、學(xué)得更好。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)梅村實驗中學(xué)）