數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心和關(guān)鍵，也是21世紀(jì)數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一．然而，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)往往過于注重知識的灌輸和應(yīng)試技巧的培養(yǎng)，忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)．在深度學(xué)習(xí)理念下，教師應(yīng)通過引導(dǎo)學(xué)生深入思考、獨立探究和綜合運用知識的方式，激發(fā)學(xué)生的思維潛能，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．因此，結(jié)合深度學(xué)習(xí)理念，加強對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，對于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展具有重要的意義．

1 引例《誘導(dǎo)公式二、三、四的推導(dǎo)》

下面先以高中數(shù)學(xué)中的《誘導(dǎo)公式二、三、四的推導(dǎo)》為例來闡述深度學(xué)習(xí)理念下的高中生思維能力的培養(yǎng)．

誘導(dǎo)公式是三角函數(shù)單元的重要部分，教學(xué)中如果直接給出公式讓學(xué)生死記硬背，學(xué)生是無法真正掌握的．要想讓學(xué)生能夠靈活運用誘導(dǎo)公式，首先要讓學(xué)生理解公式的推導(dǎo)過程．以正弦為例，首先給出下面式子：

sin（α+2kπ）=sinα，k∈Z．sin（α+π）=?sinα．

sin（-α）=?sinα．sin（π-α）=sinα．

讓學(xué)生觀察并思考正弦函數(shù)F（x）=sinx有什么性質(zhì)？進(jìn)而余弦函數(shù)、正切函數(shù)有什么性質(zhì)？

通過觀察學(xué)生會發(fā)現(xiàn)等式左邊都是正弦函數(shù)的形式，等式右邊有的是sinx，有的是sinx?，有點像函數(shù)性質(zhì)中的奇偶性即對稱性問題．根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗可知圓最重要的性質(zhì)就是對稱性，其中包括中心對稱與軸對稱（關(guān)于x軸對稱、關(guān)于y軸對稱），恰好三角函數(shù)與圓的關(guān)系密不可分，特別是和單位圓的關(guān)系．

以中心對稱為例，引入單位圓與角α，如圖1，設(shè)銳角α的終邊與單位圓交于點P1，角π+α的終邊與單位圓交于點P2．教師給出推進(jìn)式問題，讓學(xué)生思考并回答：

問題1 α與π+α的終邊有什么關(guān)系？

答 關(guān)于原點對稱．

問題2 α與π+α的終邊與單位圓交點有什么關(guān)系？

答 關(guān)于原點對稱，即若P1（x，y），則P2（-x，-y）．

問題3 α與π+α的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？sinα=y，sin（π+α）=?y，sin（π+α）=-sinα；cosα=x，cos（π+α）=?x，cos（π+α）=-cosα；tanα=y/x，tan（π+α）=y/x，tan（π+α）=tanα．

問題4 角α只能是銳角嗎？

答 與角α終邊相同的所有角．

綜上可以得到誘導(dǎo)公式二sin（α+π）=-sinα；cos（α+π）=-cosα；tan（α+π）=tanα．

接著為了檢驗學(xué)生是否真正理解并掌握公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生以公式二的推導(dǎo)為例，類比推廣，自行設(shè)計問題、解決問題得出公式三、公式四：

設(shè)計1 公式三．

如圖2，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)銳角α的終邊與單位圓交于點P1，角?α的終邊與單位圓交于點P2．

問題 ①α與?α終邊有什么關(guān)系？

②α與?α終邊與單位圓交點有什么關(guān)系？

③設(shè)α的終邊與單位圓交于點P1（x，y），?α的終邊與單位圓的交點P2的坐標(biāo)是什么？

④α與?α的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？

進(jìn)而依次得到①終邊關(guān)于x軸對稱．

②交點關(guān)于x軸對稱．

③P2（x，-y）．

④sinα=y，sin（-α）=?y，sin（?α）=-sinα；cosα=x，cos（-α）=x，cos（-α）=cosα；tanα=y/x，tan（-α）=?y/x，tan（-α）=-tanα.

最后得到公式三sin（?α）=-sinα；cos（?α）=cosα；tan（?α）=-tanα．

設(shè)計2 公式四．

如圖3，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)銳角α的終邊與單位圓交于P1，角π?α的終邊與單位圓交于P2．

問題 ①α與π?α終邊有什么關(guān)系？

②α與π?α終邊與單位圓交點有什么關(guān)系？

③設(shè)α的終邊與單位圓交于點P1（x，y），π?α的終邊與單位圓的交點P2的坐標(biāo)是什么？

④α與π?α的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？

進(jìn)而依次得到①終邊關(guān)于y軸對稱．

②交點關(guān)于y軸對稱．

③P2（-x，y）．

④sinα=y，sin（π-α）=y，sin（π-α）=sinα；cosα=x，cos（π-α）=-x，cos（π-α）=-cosα；tanα=y/x，tan（π-α）=?y/x，tan（π-α）=-tanα.

最后得到公式四sin（π-α）=sinα；cos（π-α）=?cosα；tan（π-α）=-tanα．

授人以魚不如授人以漁，教授學(xué)生知識也是如此．教師在深度教學(xué)下讓學(xué)生經(jīng)歷思維的形成過程，有利于學(xué)生知識的掌握，真正形成深度學(xué)習(xí)．

2 創(chuàng)設(shè)應(yīng)用情境，培養(yǎng)學(xué)生知識遷移能力

創(chuàng)設(shè)應(yīng)用情境在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的意義．它不僅能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的實際應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)動力和興趣，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力、批判性思維和問題解決能力，以及促進(jìn)不同學(xué)科知識的整合與應(yīng)用．教師應(yīng)該積極探索和運用創(chuàng)設(shè)應(yīng)用情境的方法，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量和效果．例如，在高中數(shù)學(xué)“二次函數(shù)”知識教學(xué)時，就可以創(chuàng)設(shè)橋梁規(guī)劃與建設(shè)的應(yīng)用情境，來培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力的提升．

如某城市計劃修建一座橋梁，現(xiàn)在需要設(shè)計一個能承受特定負(fù)載的橋梁結(jié)構(gòu)．請問根據(jù)拋物線的形狀如何確定最高點以及計算拱橋的承重能力？

在這個應(yīng)用情境中，學(xué)生需要運用二次函數(shù)知識來優(yōu)化橋梁的設(shè)計．學(xué)生首先需要選擇一個適當(dāng)?shù)臉蛄盒螤?，如拱橋、懸索橋等．學(xué)生可以使用二次函數(shù)來描述橋梁的弧線，并根據(jù)橋梁的長度和高度等要求，求解二次函數(shù)的參數(shù)[1]．通過優(yōu)化參數(shù)，得到一個最佳的橋梁形狀．在確定橋梁形狀后，學(xué)生需要分析橋梁的力學(xué)性能．通過將橋梁分為若干小段，并通過二次函數(shù)來描述每一段的曲線形狀．然后，利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，計算橋梁各個部分的切線斜率、凸凹性等信息，以評估橋梁的穩(wěn)定性和強度．學(xué)生需要確定橋梁能夠承受的最大負(fù)載，利用二次函數(shù)的頂點來找到橋梁的最高點，并結(jié)合重力等物理規(guī)律計算橋梁結(jié)構(gòu)的最大負(fù)載．通過數(shù)學(xué)計算和實驗?zāi)M，得出一個最大負(fù)載范圍，從而確定橋梁的可靠性．

3 開展探究式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識

開展探究式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生問題意識對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維十分重要．教師常說“沒有問題是最大的問題”，學(xué)生沒有問題，往往說明學(xué)生對知識的學(xué)習(xí)不夠深入．因此，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)未來社會發(fā)展的能力．教師應(yīng)該通過引導(dǎo)學(xué)生主動思考和提出問題，創(chuàng)設(shè)適合的學(xué)習(xí)環(huán)境和任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，以提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量和效果．例如，在高中數(shù)學(xué)“隨機抽樣”的知識教學(xué)時，教師可以通過探究式教學(xué)，創(chuàng)設(shè)問題情境，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識．

如某汽車零部件制造公司，每天生產(chǎn)10000個零部件，需要進(jìn)行合格率抽檢．如何設(shè)計抽檢方案，來對產(chǎn)品的合格率進(jìn)行抽檢呢？

首先需要思考，如何確定抽檢樣本的大小與抽樣比例，才能準(zhǔn)確地估計零部件的合格率．在探究的過程中學(xué)生會思考樣本容量是否與總體規(guī)模有關(guān)？抽樣比例對估計結(jié)果有何影響？面對這兩個問題學(xué)生需要收集相關(guān)數(shù)據(jù)，記錄每天生產(chǎn)的零部件數(shù)量和合格數(shù)量[2]．然后，使用隨機抽樣的方法，從中抽取100個零部件作為樣本，并進(jìn)行檢查．學(xué)生需要利用統(tǒng)計方法，計算出抽檢樣本的合格率，并將這個結(jié)果與總體的合格率進(jìn)行比較．在這一過程中，學(xué)生需要討論抽檢樣本的合格率是否能夠準(zhǔn)確估計總體的合格率．通過討論發(fā)現(xiàn)樣本容量越大，則結(jié)果越接近總體合格率．

4 開展小組項目研究，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識

合作意識作為數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵之一，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和以后的職業(yè)發(fā)展都有著重要的影響．在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)通過項目研究的方式，培養(yǎng)學(xué)生的團隊意識．在學(xué)習(xí)“橢圓”的性質(zhì)時，教師以此為項目，對學(xué)生進(jìn)行小組劃分，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)研究能力和合作意識．首先提供幾個涉及橢圓的實際問題給學(xué)生，然后讓學(xué)生自主選擇一個問題作為研究課題．如橢圓軌道上衛(wèi)星的運動問題、橢圓形體的建筑設(shè)計等．將學(xué)生組成小組，每個小組負(fù)責(zé)一個橢圓項目的研究．在小組內(nèi)學(xué)生可以互相合作，做好分工解決問題．例如，學(xué)生A負(fù)責(zé)收集和整理橢圓的相關(guān)理論知識，學(xué)生B專注于收集實際數(shù)據(jù)，而學(xué)生C負(fù)責(zé)進(jìn)行圖表的繪制和數(shù)據(jù)分析等．通過小組合作，學(xué)生可以相互協(xié)助、交流思想，培養(yǎng)合作意識和團隊精神．

鼓勵學(xué)生到實際場景中進(jìn)行調(diào)研和觀察，以便收集橢圓相關(guān)問題的實際數(shù)據(jù)．參觀橢圓形建筑物，測量其形狀和尺寸，或者使用軟件或儀器對橢圓軌道上衛(wèi)星的軌跡進(jìn)行觀測和記錄[3]．通過實地調(diào)研讓學(xué)生更深入地了解橢圓，并將理論知識與實際問題聯(lián)系起來．利用收集到的數(shù)據(jù)，進(jìn)行橢圓性質(zhì)的分析和討論．例如，使用數(shù)學(xué)工具或軟件，進(jìn)行數(shù)據(jù)的處理和圖表的繪制，探索橢圓的性質(zhì)和特點．同時，就研究結(jié)果進(jìn)行分析和討論，從而更好地理解橢圓在實際問題中的應(yīng)用．每個小組需要準(zhǔn)備一個研究報告，包括問題的描述、研究方法、數(shù)據(jù)分析和結(jié)論等．在班級中分享本小組的研究成果，展示報告，并與其他小組交流和討論．這樣的分享活動可以促進(jìn)學(xué)生之間的交流與學(xué)習(xí)，吸取其他小組的思路和觀點．

5 細(xì)化評價元素，鼓勵多元思維表達(dá)方式

將數(shù)學(xué)思維能力分解為不同的評價元素，例如問題解決能力、推理能力、創(chuàng)造能力、溝通能力等．為每個評價元素設(shè)計具體的指標(biāo)，使學(xué)生能夠明確自己在不同能力方面的表現(xiàn)．這樣一來，學(xué)生不僅僅關(guān)注于答案的正確與否，還能理解并努力培養(yǎng)自己在其他方面的數(shù)學(xué)思維能力．鼓勵學(xué)生通過不同的方式展示自身的數(shù)學(xué)思維．評價形式包括書面作業(yè)、口頭報告、展示和討論、實際項目等．通過提供豐富的評價形式，學(xué)生可以根據(jù)自己的優(yōu)勢和興趣，選擇適合自己的方式表達(dá)數(shù)學(xué)思維，如文字、圖表、圖象、表格等．教師可以要求學(xué)生使用不同的方法解決同一個問題，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)和探索多種解決路徑．同時，還可以鼓勵學(xué)生通過自己的思考，設(shè)計新的解決方法，并說明其優(yōu)勢和適用范圍．這樣做可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維和探索精神．

組織學(xué)生進(jìn)行小組討論、合作項目和對等評價等活動，鼓勵學(xué)生共同學(xué)習(xí)、思考和解決問題[4]．通過與他人的學(xué)習(xí)交流，學(xué)生可以獲得不同的思維觀點和解決思路，從而拓展自己的數(shù)學(xué)思維方式．在評價過程中，教師應(yīng)及時給予學(xué)生詳細(xì)和具體的反饋．對于不同的評價元素，教師可以提供針對性的指導(dǎo)和建議，幫助學(xué)生了解自己的優(yōu)勢和改進(jìn)方向．通過細(xì)化的反饋，學(xué)生可以更好地認(rèn)識自己的數(shù)學(xué)思維水平，作進(jìn)一步的完善和發(fā)展．

6 研究結(jié)論

基于深度學(xué)習(xí)理念的教學(xué)模式能夠有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，教師應(yīng)注重激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識和能動性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)和思維訓(xùn)練．此外，教師需要因地制宜地運用多種教學(xué)手段和策略，創(chuàng)設(shè)靈活多樣的教學(xué)情境，培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維．因此，在數(shù)學(xué)教育中應(yīng)落實深度學(xué)習(xí)理念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．

參考文獻(xiàn)

[1]嚴(yán)澤嵩．核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)高效課堂構(gòu)建策略分析[J]．基礎(chǔ)教育論壇，2023（23）：98-99

[2]高婷．核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)課堂如何培養(yǎng)及提高學(xué)生的自學(xué)能力[J]．考試周刊，2023（49）：81-84

[3]于立婷．新高考下高中數(shù)學(xué)一題多變的訓(xùn)練策略分析[J]．?dāng)?shù)理天地（高中版），2023（23）：48-50

[4]黃章灼．“問題導(dǎo)引”開啟學(xué)生“數(shù)學(xué)思維”[J]．讀寫算，2023（33）：62-64

（本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度“協(xié)同創(chuàng)新”專項課題“深度教學(xué)理念下縣域高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)研究”（課題編號：Fjxczx23-059）階段性研究成果）