[2]是人類(lèi)最早發(fā)現(xiàn)的無(wú)理數(shù)之一。公元前500年左右，人們就會(huì)證明[2]是無(wú)理數(shù)。要想證明[2]是無(wú)理數(shù)，一般用反證法。

一般來(lái)說(shuō)，反證法的步驟如下：①假設(shè)原命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出與基本事實(shí)、定理、定義、法則或已知條件等矛盾的結(jié)論；③由矛盾的結(jié)論判定步驟①中的假設(shè)不正確，進(jìn)而肯定原命題的結(jié)論正確。

我們一般從代數(shù)的角度證明[2]是無(wú)理數(shù)，證明如下。

證明1：先假設(shè)[2]是有理數(shù)，那么它可以表示成[qp]，其中p與q是互質(zhì)的兩個(gè)正整數(shù)。于是[qp2]=（[2]）2=2，所以q2=2p2。于是，q2是2的倍數(shù)，所以q也是2的倍數(shù)，可設(shè)q=2m，所以（2m）2=2p2，化簡(jiǎn)得p2=2m2，于是可得p也是2的倍數(shù)。這說(shuō)明p與q有大于1的公因數(shù)2，與假設(shè)中的“p與q是互質(zhì)的兩個(gè)正整數(shù)”矛盾，從而可知“[2]是有理數(shù)”的假設(shè)不成立。所以[2]是無(wú)理數(shù)。

證明2：仍假設(shè)[2]是有理數(shù)。那么[2]=[qp]，其中p與q是互質(zhì)的兩個(gè)正整數(shù)，所以q2=2p2。在十進(jìn)制中，整數(shù)的平方的個(gè)位上的數(shù)是0、1、4、5、6、9之一，平方數(shù)2倍的個(gè)位上的數(shù)是0、2、8之一。左右兩邊相等，也就是說(shuō)q2和2p2的個(gè)位都是0。這說(shuō)明p和q有公因數(shù)5，與“p與q是互質(zhì)的”矛盾。同樣得證。

那么，還有沒(méi)有幾何方法證明[2]是無(wú)理數(shù)呢？

美國(guó)加州州立大學(xué)薩克拉門(mén)托分校的杰伊·卡明斯提出了用幾何證明[2]是無(wú)理數(shù)的方法，其本質(zhì)上還是反證法。

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圖1" " " " " " " " " " " " " " 圖2

證明思路如下：如圖1是一個(gè)等腰直角三角形，其直角邊長(zhǎng)為1，斜邊長(zhǎng)為[2]。假設(shè)[2]是有理數(shù)，則必定存在一個(gè)邊長(zhǎng)全是正整數(shù)的等腰直角三角形。我們假設(shè)圖2就是一個(gè)邊長(zhǎng)全是正整數(shù)的等腰直角三角形，且為這樣的三角形中周長(zhǎng)最小的，其周長(zhǎng)等于2m+h。經(jīng)過(guò)如圖3的作圖過(guò)程，我們又構(gòu)造了一個(gè)邊長(zhǎng)全是正整數(shù)的等腰直角三角形（圖4中的陰影部分），周長(zhǎng)等于h，其周長(zhǎng)比原三角形的更小，這與原三角形的周長(zhǎng)為最小矛盾。從而可知“[2]是有理數(shù)”的假設(shè)不成立。所以[2]是無(wú)理數(shù)。

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圖3

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圖4

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)）