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        一元一次方程助力“農(nóng)場主”的誕生

        2024-12-23 00:00:00陳宏雯
        初中生世界·七年級 2024年12期

        學(xué)校“尚臻園”準(zhǔn)備了12個(gè)長寬為4m×1.5m的種植箱讓同學(xué)們感受蔬菜從播種到收獲的一生。夏天,飯桌上常以綠色蔬菜和瓜類為主。下表是3月可以開始種植,夏季收獲的常見蔬菜,以及它們的產(chǎn)量、平均成本和平均售價(jià)。

        [蔬菜品種 番茄 空心菜 黃瓜 絲瓜 產(chǎn)量(kg/m2) 10 7 8 6 平均成本(元/m2) 9 6.5 7.5 2.5 平均售價(jià)(元/kg) 5 5 6.5 8 ]

        問題一:整個(gè)收獲季,食堂為全校師生烹飪午餐需要兩種蔬菜,共計(jì)600kg,請同學(xué)們通過合理規(guī)劃種植面積,讓種植箱發(fā)揮最大的功能,收獲更多的蔬菜,實(shí)現(xiàn)“蔬菜自由”。

        <D:\JR工作\初中生\2024\7年級\12\P48思路分析.psd>[思路分析]四種蔬菜選兩種進(jìn)行種植,一共可以產(chǎn)生多少種方案?我們可以通過舉例的方式列出來。每種方案是否可取,我們需要根據(jù)題目給的條件進(jìn)行篩選。同時(shí),為了滿足食堂需求,是需要?jiǎng)偤梅N植出600kg,還是比600kg多,我們要用不同的眼光去看待。

        問題二:為了滿足食堂的蔬菜需求,現(xiàn)每名同學(xué)擁有600元可支配成本,請根據(jù)每種蔬菜平均JDhKL8gAW3lF2KAgozDzUg==成本及售價(jià),設(shè)計(jì)出最優(yōu)方案,實(shí)現(xiàn)600kg蔬菜的經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化。

        <D:\JR工作\初中生\2024\7年級\12\P48思路分析.psd>[思路分析]600kg蔬菜經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化是指在可使用成本600元之內(nèi)的純利潤最大,但在這里并不代表成本要等于600元 ,而是要不超過600元,所以600元只是方案篩選的一種限制條件。

        <D:\JR工作\初中生\2024\7年級\12\P48解法.psd>[解法一:]

        問題一:12×1.5×4=72(m2)。

        ①設(shè)種番茄xm2,空心菜(72-x)m2。10x+7(72-x)=600。解得x=32,72-x=40。

        ②設(shè)種番茄xm2,黃瓜(72-x)m2。10x+8(72-x)=600。解得x=12,72-x=60。

        ③設(shè)種番茄xm2,絲瓜(72-x)m2。10x+6(72-x)=600。解得x=42,72-x=30。

        ④設(shè)種空心菜xm2,黃瓜(72-x)m2。7x+8(72-x)=600。解得x=-24,72-x=96(舍)。

        ⑤設(shè)種空心菜xm2,絲瓜(72-x)m2。7x+6(72-x)=600。解得x=168,72-x=-96(舍)。

        ⑥設(shè)種黃瓜xm2,絲瓜(72-x)m2。8x+6(72-x)=600。解得x=84,72-x=-12(舍)。

        所以可以種植番茄32m2和空心菜40m2,或者種植番茄12m2和黃瓜60m2,或者種植番茄42m2和絲瓜30m2。

        問題二:①32×9+40×6.5=548<600,10×32×5+7×40×5=3000(元),3000-548=2452(元);

        ②12×9+60×7.5=558<600,12×10×5+60×8×6.5=3720(元),3720-558=3162(元);

        ③42×9+30×2.5=453<600,42×10×5+30×6×8=3540(元),3540-453=3087(元)。

        因?yàn)?452<3087<3162,所以選擇種植番茄12m2和黃瓜60m2為最優(yōu)化方案。

        【點(diǎn)評】這名同學(xué)認(rèn)為問題一需要滿足食堂600kg的需求,通過枚舉法將四選二的6種可能結(jié)果全部列舉出來,是標(biāo)準(zhǔn)的解決方案選擇類問題的第一步。該同學(xué)通過考慮實(shí)際問題的限制條件來篩選方案,同時(shí)也關(guān)注到問題二中成本對方案選擇的限制作用。

        <D:\JR工作\初中生\2024\7年級\12\P48解法.psd>[解法二:]

        問題一:12×1.5×4=72(m2)。

        600÷10=60(m2),600÷7=[6007](m2),600÷8=75(m2),600÷6=100(m2)。

        因?yàn)?0<72<75<[6007]<100,所以無法找到合理數(shù)據(jù)選擇空心菜和黃瓜、空心菜和絲瓜、黃瓜和絲瓜的組合,必須選擇番茄和另一種蔬菜的組合。具體可能情況如下表(單位:m2):

        [番茄+空心菜 番茄+黃瓜 番茄+絲瓜 32 40 ②12 60 ③42 30 39 30 20 50 48 20 46 20 28 40 54 10 ④53 10 36 30 60 0 ①60 0 44 20 52 10 60 0 ]

        問題二:①方案獲利2460元,但不存在該方案,因?yàn)橹挥幸环N蔬菜;④方案規(guī)劃合理且獲利2458元;②方案獲利3162元;③方案獲利3087元。

        根據(jù)驗(yàn)算后的數(shù)據(jù),我用12m2種番茄,60m2種黃瓜,支出成本558元,全部售價(jià)3720元,獲得最優(yōu)化利潤3162元。

        【點(diǎn)評】這名同學(xué)通過極限思維思考,將四種蔬菜在600kg極根情況下的單位產(chǎn)量進(jìn)行測算。如果只種一種蔬菜,得到每種蔬菜所需的種植箱面積,發(fā)現(xiàn)空心菜、黃瓜、絲瓜所需要的種植箱面積超出72m2,所以必須種植番茄對這三種蔬菜進(jìn)行補(bǔ)充。該同學(xué)將每種可能出現(xiàn)的整數(shù)解情況通過列表展現(xiàn)出來,不僅得到數(shù)據(jù)的過程復(fù)雜,而且不全面,因?yàn)閷?shí)際問題中會(huì)出現(xiàn)非整數(shù)解情況。針對這兩種不足,這里如果利用一元一次方程可以很好解決。

        同時(shí),這名同學(xué)在問題一中認(rèn)為72m2種植區(qū)域不一定用完,也就是產(chǎn)量可以超過600kg,但是在問題二中又認(rèn)為72m2種植區(qū)域一定要用完,能看出兩種想法的矛盾。這里我們需要對一種想法一以貫之,堅(jiān)持到底。

        <D:\JR工作\初中生\2024\7年級\12\P48解法.psd>[解法三:]

        問題一:12×1.5×4=72(m2)。

        因?yàn)?0>8>7>6,所以相同面積中,番茄和黃瓜的產(chǎn)量較大。

        設(shè)番茄的種植面積為xm2,黃瓜的種植面積為(72-x)m2。

        10x+8(72-x)=600。解得x=12。

        題目并未有其他要求,只需滿足食堂總需求即可,所以總產(chǎn)量越多越好。當(dāng)番茄種植量越來越多時(shí),總產(chǎn)量也會(huì)越來越多。所以當(dāng)x無限接近72時(shí),產(chǎn)量最大,所以12≤x<72。

        問題二:考慮1m2各蔬菜的獲利情況。

        番茄為10×5-9=41(元),空心菜為7×5-6.5=28.5(元),黃瓜為8×6.5-7.5=44.5(元),絲瓜為6×8-2.5=45.5(元)。

        因?yàn)?5.5>44.5>41>28.5,所以相同面積(1m2)中,絲瓜、黃瓜、番茄的獲利較高。

        以等于600kg為臨界位置,總產(chǎn)量越多越好。

        ①設(shè)種黃瓜ym2,絲瓜(72-y)m2。

        8y+6(72-y)=600。解得y=84>72(舍)。

        ②設(shè)種番茄xm2,絲瓜(72-x)m2,總獲利W元。

        10x+6(72-x)=600。解得x=42<72。W=41x+45.5(72-x)=3276-4.5x。

        當(dāng)x越來越大時(shí),利潤W會(huì)越來越小。所以當(dāng)x=42時(shí),W有最大值,為3087元。

        ③設(shè)種番茄xm2,黃瓜(72-x)m2,總獲利W元。

        10x+8(72-x)=600。解得x=12<72。W=41x+44.5(72-x)=3204-3.5x。

        當(dāng)x越來越大時(shí),利潤W會(huì)越來越小。所以當(dāng)x=12時(shí),W有最大值,為3162元。

        所以選擇種植番茄12m2、黃瓜60m2所得經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化。

        【點(diǎn)評】這名同學(xué)關(guān)注到“食堂需求是600kg”并不代表“種植箱”產(chǎn)能只能為600kg,而是代表在滿足學(xué)校食堂需求量的情況下,“種植箱”的最低產(chǎn)能為600kg。因此,他利用一元一次方程將x的取值調(diào)整為一個(gè)范圍,這是非常值得贊賞的。但他忽略的是,在選取蔬菜時(shí),并不能簡單以單位產(chǎn)量最大作為滿足條件的選擇對象,也存在最大產(chǎn)量與中間產(chǎn)量的組合作為滿足條件的選擇對象。例如解法一中,番茄和空心菜、番茄和絲瓜的組合也能夠滿足需求,所以在方案設(shè)計(jì)最初出現(xiàn)了漏解的情況,但在進(jìn)一步優(yōu)化方案時(shí)又體現(xiàn)了可以有三種方案的選擇。

        為什么在三種解法中,大家最終提供的可選取方案中總是要選取番茄呢?

        在四種蔬菜中,產(chǎn)量最高的是番茄,其次是黃瓜。當(dāng)所有面積全部用于種黃瓜時(shí),總計(jì)可獲得576kg黃瓜,沒有達(dá)到食堂需求。因此,在所選取的兩種蔬菜中一定需要單位面積產(chǎn)量最高的番茄作為填補(bǔ)。

        可見,對于方案規(guī)劃類問題,首先,我們要對可能出現(xiàn)的結(jié)果分類,堅(jiān)定以一種想法走到底,抓住問題中的等量關(guān)系,列出對應(yīng)的一元一次方程并解出答案。其次,我們要根據(jù)問題中的條件限制、生活中的常識(shí)等對方案進(jìn)行取舍。當(dāng)然,也可以利用等量關(guān)系將需要求解的內(nèi)容用字母表示出來,通過一般規(guī)律對方案進(jìn)行理性篩選。

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