第4章 一元一次方程

領(lǐng) 銜 人：李庾南（正高級教師、江蘇省特級教師）

組稿團(tuán)隊：江蘇省李庾南數(shù)學(xué)教學(xué)研究所

人類對方程的研究有著悠久的歷史。我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有專門的“方程”章，其中以一些實際應(yīng)用問題為例，給出了由幾個一次方程組成的方程組的解法，稱為“方程術(shù)”。19世紀(jì)50年代，清代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯外國數(shù)學(xué)著作時，將equation（指含有未知數(shù)的等式）一詞譯為“方程”并沿用至今。方程是重要的數(shù)學(xué)基本概念，它由實踐需要產(chǎn)生，也在實際生活中有著極其廣泛的應(yīng)用。小學(xué)階段，我們初步接觸到了方程的奇妙世界，并學(xué)會了解決一些基礎(chǔ)的方程問題?！耙辉淮畏匠獭边@一章，為我們揭開了方程的神秘面紗，專注于討論“一元一次方程”的概念、解法以及應(yīng)用。圍繞這三大核心板塊，我們將展開一段精彩的數(shù)學(xué)之旅。

一元一次方程是最簡單的代數(shù)方程，也是所有方程的基礎(chǔ)。在“代數(shù)式”的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)會用字母表示數(shù)、用式子表示問題中有關(guān)的量，在此基礎(chǔ)上，能根據(jù)問題中的等量關(guān)系列出等式。等式中既含有已知數(shù)，又含有未知數(shù)，并且這些未知數(shù)還能像已知數(shù)一樣參與運算，打破了未知數(shù)只有先求出才能使用的限制。方程的出現(xiàn)，就像是數(shù)學(xué)界的一場大革命，讓代數(shù)方法瞬間“升級”，超越了傳統(tǒng)的算術(shù)方法，成了數(shù)學(xué)新寵兒！

本章知識框架如圖1。

本章從等式的性質(zhì)出發(fā)，給出方程相關(guān)概念，并進(jìn)一步聚焦和研究一元一次方程及解法，最后運用一元一次方程解決實際問題。全章前后緊密相連，層層遞進(jìn)，形成了一個有機的整體。

在“等式與方程”一節(jié)中，先給出了等式的兩條基本性質(zhì)：（1）等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或整式，所得結(jié)果仍是等式；（2）等式兩邊都乘（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式。我們可以借助天平，直觀感受這兩條性質(zhì)。在平衡的天平兩邊都加上（或減去）同樣的量，天平依然保持平衡，這一現(xiàn)象可以驗證等式的基本性質(zhì)1。類似的，我們也可以借助天平驗證等式的基本性質(zhì)2。這一節(jié)還介紹了方程、方程的解及解方程等概念。

接著，我們學(xué)習(xí)“一元一次方程及其解法”。本節(jié)的學(xué)習(xí)重點是一元一次方程的解法，一般包含去分母、去括號、移項、合并同類項、把未知數(shù)的系數(shù)化為1等步驟。如果我們進(jìn)一步研究，還可以利用解一元一次方程的知識實現(xiàn)無限循環(huán)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的自由轉(zhuǎn)換。

在“用一元一次方程解決問題”一節(jié)中，同學(xué)們可以進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的實踐。比如，配套問題、行程問題、工程問題、盈虧問題、球賽積分問題、電話計費問題、圖形問題等生活中的常見問題，都可以利用一元一次方程巧妙解決。這些內(nèi)容正體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的價值和魅力——數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，服務(wù)生活。

一元一次方程是最基礎(chǔ)的代數(shù)方程。今后，同學(xué)們還將學(xué)習(xí)方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等，這些內(nèi)容與一元一次方程有著很強的關(guān)聯(lián)性。同時，解方程中蘊含的“轉(zhuǎn)化技巧”“變形能力”以及列方程解應(yīng)用問題中體現(xiàn)的“建模思維”等，都是數(shù)學(xué)中的重要思想。

（作者單位：江蘇省南通中學(xué)附屬實驗學(xué)校）