摘要：精確的快速瞬態(tài)模擬對天線和設(shè)備的設(shè)計(jì)有相當(dāng)大的影響。文章針對不連續(xù)伽遼金時(shí)域（DGTD）方法的混合時(shí)間積分格式，提出了一種有效的域分解策略。該策略繼承了局部隱式和局部時(shí)間步進(jìn)方法的優(yōu)點(diǎn)，使用可調(diào)整的時(shí)間尺度來降低存儲(chǔ)和計(jì)算的復(fù)雜性。數(shù)值結(jié)果表明了該方法的有效性，證實(shí)了該方法可用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)超高壓場線環(huán)境下的5G+通信頻段快速瞬態(tài)模擬。

關(guān)鍵詞：瞬態(tài)模擬；DGTD；本地時(shí)間步進(jìn)；局部隱式

中圖分類號(hào)：TN82""文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0"引言

當(dāng)前，5G+技術(shù)作為新一代通信技術(shù)標(biāo)桿，核心優(yōu)勢是比傳統(tǒng)5G技術(shù)有更高的超高速率、超低時(shí)延和超大連接數(shù)特性，這些特性為各行各業(yè)帶來了前所未有的發(fā)展機(jī)遇與挑戰(zhàn)。在此背景下，針對5G+通信的寬頻帶仿真分析成為對5G技術(shù)性能驗(yàn)證與優(yōu)化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，更是推動(dòng)5G+應(yīng)用落地、促進(jìn)產(chǎn)業(yè)升級(jí)、實(shí)現(xiàn)數(shù)字經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展的重要驅(qū)動(dòng)力。5G+技術(shù)采用了毫米波頻段大規(guī)模多輸入多輸出（MIMO）等先進(jìn)技術(shù)，極大地提升了數(shù)據(jù)傳輸速率和頻譜容量，但同時(shí)也帶來了信號(hào)衰減快、穿透性差、覆蓋難度大等挑戰(zhàn)，尤其在塔基超高壓輸電線路環(huán)境下，5G+設(shè)備的抗干擾性更加重要，使得5G+設(shè)備的設(shè)計(jì)開發(fā)需求更為迫切。通過針對高頻場景的電磁仿真工具對5G+設(shè)備進(jìn)行寬頻帶仿真分析，可以精確模擬5G+不同頻段、不同工作場景下的信號(hào)傳播特性，從而評(píng)估5G網(wǎng)絡(luò)的覆蓋能力、容量限制及抗干擾能力，為網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、設(shè)計(jì)與優(yōu)化提供科學(xué)依據(jù)。這不僅能夠確保5G網(wǎng)絡(luò)在復(fù)雜環(huán)境下的穩(wěn)定可靠運(yùn)行，還能有效提升網(wǎng)絡(luò)資源的利用效率，降低運(yùn)營成本。

與5G頻段（3.4～6 GHz）相比，5G+技術(shù)關(guān)注6 GHz以上頻段。傳統(tǒng)針對該頻段的電磁仿真方法主要包括矩量法（MoM）、有限元法（FEM）、時(shí)域有限差分法（FDTD）、彈跳射線法（SBR）等，但MoM、FEM、SBR的支配方程為頻域方程，在處理寬頻帶問題時(shí)效率較低；FDTD盡管能夠分析時(shí)域Maxwell方程，但精度較差，對5G+相關(guān)設(shè)備的仿真精度不足。不連續(xù)伽遼金時(shí)域（DGTD）方法是一種高精度的瞬態(tài)電磁場數(shù)值方法，廣泛用于分析天線和微波器件的時(shí)域特性。不連續(xù)伽遼金（Discontinuous Galerkin，DG）思想由來已久，最早在20世紀(jì)70年代由Reed等^［1］在求解核裂變中子傳輸?shù)碾p曲方程時(shí)提出，之后被大量應(yīng)用于流體力學(xué)等領(lǐng)域的黏性方程求解中，由馮康院士于1979年引入國內(nèi)^［2］。在計(jì)算電磁學(xué)領(lǐng)域，DG方法于2002年由J. S. Hesthaven引入Maxwell時(shí)域方程的求解^［3］，創(chuàng)新了DGTD方法空間離散形式、數(shù)值通量及其穩(wěn)定性、邊界條件、時(shí)間積分格式以及h-p自適應(yīng)等幾個(gè)關(guān)鍵技術(shù)。當(dāng)使用DGTD方法對多尺度結(jié)構(gòu)的精細(xì)細(xì)節(jié)進(jìn)行建模時(shí)，顯式格式的穩(wěn)定性準(zhǔn)則可能非常嚴(yán)格，需要大量的時(shí)間步。

局部時(shí)間步進(jìn)（LTS）方法和顯隱式混合（IMEX）方法被廣泛用于加速多尺度建模^［3］。LTS方法根據(jù)元素大小將網(wǎng)格劃分為多個(gè)級(jí)別，各個(gè)級(jí)別具有不同的時(shí)間步長^［4］。在實(shí)際應(yīng)用中，級(jí)別的時(shí)間步長總是小于滿足CFL條件的最大時(shí)間步長，因此，全局迭代步長仍然很大。隱式差分格式具有無條件穩(wěn)定性^［5］，IMEX方法將Crank-Nicholson（CN）格式等隱式時(shí)間積分格式應(yīng)用于小尺寸元素以擴(kuò)展全局時(shí)間步長，但當(dāng)精細(xì)元素?cái)?shù)量較大時(shí)，稀疏矩陣的因子分解和反代換需要大量的存儲(chǔ)^［6］。顯然，結(jié)合IMEX和LTS的特性，IMEX在非常小的元素上的應(yīng)用和LTS在尺度變化劇烈的元素上。

針對DGTD方法的LTS和IMEX混合時(shí)間積分方案，本文提出了一種域分解策略。該策略擴(kuò)展了精細(xì)元素的時(shí)間步長，通過系數(shù)p約束隱式格式的自由度，以實(shí)現(xiàn)計(jì)算效率和存儲(chǔ)之間的有效平衡。對諧振腔的仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和有效性，表明該方法可以有效地提高DGTD方法分析多尺度模型的能力。

1"混合時(shí)間積分格式的數(shù)值離散

1.1"DGTD的混合時(shí)間積分方法格式

考慮有界域中基于Maxwell旋度方程的半離散DG方程，通過將多類LTS格式應(yīng)用于半離散DG方程，每個(gè)單元中的全離散DGTD-LTS系統(tǒng)為：

μMHⁿ⁺¹²-H^n-12Δtp=-SEⁿ-fh（Eⁿ，H^n-12）

εMEⁿ⁺¹-EⁿΔtp=SHⁿ⁺¹²+fe（Eⁿ，Hⁿ⁺¹²），（1）

其中：

fh（Eⁿ，H^n-12）=∑4k=1（F_heΓk｛E_Γk｝ⁿ+G_hhΓk｛H_Γk｝^n-12）

fe（Eⁿ，Hⁿ⁺¹²）=∑4p=1（F_ehΓk｛H_Γk｝ⁿ⁺¹²-G_eeΓk｛E_Γk｝ⁿ），（2）

式中，｛E｝_Γ=E⁺Γ-E_Γ；｛H｝_Γ=H⁺Γ-H_Γ；上標(biāo) “+”代表邊界 Γ的相鄰單元。Δtp是LTS第p層的時(shí)間步長， Δtp根據(jù)穩(wěn)定性條件，受到計(jì)算域的最小元素的約束。Δtp表示為：

1εiμiΔtp2α+βmaxεiεi⁺，μiμi⁺lt;4ViPi，i∈Ωp，（3）

式中，α和β是收斂性系數(shù)；Ωp是第p個(gè)LTS層的計(jì)算域；Vi和Pi是Ωp的體積和表面積。

顯然，少量的精細(xì)元素足以導(dǎo)致傳統(tǒng)LTS方案的時(shí)間步長非常小并降低計(jì)算效率。本文提出HTI方案來處理這些精細(xì)元素。

μMHⁿ⁺¹_im-Hⁿ_imΔt=-SEⁿ⁺¹_im+Eⁿ_im2+fh（Eⁿ_ex，Hⁿ⁺¹²_ex）+fh（Eⁿ⁺¹_im，Hⁿ⁺¹_im）+fh（Eⁿ_im，Hⁿ_im）2

εMEⁿ⁺¹_im-Eⁿ_imΔt=SHⁿ⁺¹_im+Hⁿ_im2+fe（Eⁿ_ex，Hⁿ⁺¹²_ex）+fe（Eⁿ⁺¹_im，Hⁿ⁺¹_im）+fe（Eⁿ_im，Hⁿ_im）2 ，（4）

式中，下標(biāo)im和ex分別表示采用隱式方案和顯式LTS方案的單元計(jì)算域；H_ex和H_im相差半個(gè)時(shí)間步。

HTI方案結(jié)合了IMEX方案對線性部分采用隱式處理、非線性部分采用顯式處理的獨(dú)特方式，有效平衡了計(jì)算精度與效率，特別適用于處理含有高頻振蕩或快速變化特性的系統(tǒng)。HTI方案中的LTS格式則通過允許不同區(qū)域或子域根據(jù)其時(shí)間尺度差異，獨(dú)立采用最合適的時(shí)間步長進(jìn)行迭代，極大地提升了整體仿真的靈活性和效率。這一策略不僅有效融合了IMEX時(shí)間積分方案的高效計(jì)算特性與LTS方法在處理多尺度現(xiàn)象時(shí)的卓越能力，還通過精細(xì)的域劃分技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了對復(fù)雜多尺度物理過程的精準(zhǔn)捕捉與高效模擬。

1.2"區(qū)域分解策略

HTI格式的一個(gè)重要的問題是如何確定哪些元素采用隱格式。本文首先通過式（3）計(jì)算域中所有單元的時(shí)間步長，再將這些時(shí)間步長從小到大排序?yàn)橐粋€(gè)集合，針對該集合應(yīng)用如下區(qū)域分解策略準(zhǔn)則：

²（ΔtL）=maxΔti∈T_ex（²（Δti）），（5）

式中，i是單元的排序編號(hào)；L是具有最大²（Δt）值的單元。單元時(shí)間步長小于ΔtL的單元應(yīng)用隱式格式，而其他單元應(yīng)用LTS格式。系數(shù)p表示隱式時(shí)間步長的放大，表達(dá)式如下：

p=L_peakL_min，（6）

式中，L_peak和L_min分別是通過式（4）取得的各采用隱格式單元的最大和最小時(shí)間步長。

除了時(shí)間步長放大率之外，p還能表示LTS方案元素的最小尺寸的放大率。因此，可以使用p來控制LTS方案與隱式方案的元素?cái)?shù)之比，這使得混合時(shí)間方案的性能具有高度的靈活性。該準(zhǔn)則與計(jì)算復(fù)雜度沒有嚴(yán)格關(guān)系，因此，它只能盡可能減少混合時(shí)間積分方案的計(jì)算時(shí)間，而不一定會(huì)導(dǎo)致元素的最優(yōu)分配。

2nbsp;數(shù)值結(jié)果

喇叭天線是面天線的一種，其結(jié)構(gòu)通常是將矩形波導(dǎo)或圓波導(dǎo)的開口面逐漸擴(kuò)展而形成的，這種結(jié)構(gòu)改善了波導(dǎo)與自由空間的匹配度，使得波導(dǎo)中的反射系數(shù)變小，即波導(dǎo)中傳輸?shù)慕^大部分能量由喇叭輻射出去，反射的能量很小，因此，喇叭天線在射頻毫米波應(yīng)用中非常常見，是5G+領(lǐng)域中的重要元器件之一。其中，角錐喇叭天線具有矩形或正方形的終端波導(dǎo)端口，其結(jié)構(gòu)類似于金字塔，這種天線具有良好的輻射特性和增益性能。本文采用角錐喇叭天線進(jìn)行分析，模擬布設(shè)在超高壓輸電線路周圍的角錐喇叭天線的輻射響應(yīng)。角錐喇叭的開口尺寸為60 mm×84 mm，窄開口尺寸為10.16 mm×22.86 mm。通過吸收邊界條件（ABC）終止計(jì)算域，風(fēng)箱尺寸為120 mm×75 mm×100 mm。天線的設(shè)計(jì)工作頻帶為6.5～14 GHz，由同軸波端口饋電。網(wǎng)格生成后獲得63498個(gè)四面體。細(xì)網(wǎng)格集中在同軸線的內(nèi)徑和外徑周圍，影響整個(gè)計(jì)算域的時(shí)間步長。

將DGTD混合與本文所提出的方法、LF格式和全隱式方法相結(jié)合，對所提出的模型進(jìn)行了分析。為了實(shí)驗(yàn)的一致性，采用實(shí)驗(yàn)方法在平面yoz 9.9 GHz中獲得的增益如圖1所示。為了驗(yàn)證本文所提出的方法（HTI-DGTD）的準(zhǔn)確性，本文提供了李岷軒等^［7］的有限元方法（FEM）的結(jié)果。本文所提出方法的時(shí)間步長及其二階梯度最大元素ID為9137，p為57.5，因此，隱式方案的元素?cái)?shù)量為9182，LTS方案的元素?cái)?shù)為54316。

3"結(jié)語

面對5G+技術(shù)所帶來的超高速率、超低時(shí)延、大規(guī)模連接等挑戰(zhàn)以及頻譜資源的高效利用需求，本文針對DGTD方法的混合時(shí)間積分方案提出了一種多尺度域分解策略。該方法結(jié)合了IMEX方案和LTS方案的優(yōu)點(diǎn)，IMEX方案以其對線性部分采用隱式處理、非線性部分采用顯式處理的獨(dú)特方式平衡計(jì)算精度與效率，適用于處理含有高頻振蕩或快速變化特性的系統(tǒng)，LTS方法通過允許不同區(qū)域或子域根據(jù)其時(shí)間步長差異，獨(dú)立采用最合適時(shí)間步長進(jìn)行迭代，極大地提升了整體仿真的靈活性和效率。該方法在5G+喇叭天線超高壓輸電線路環(huán)境下的多尺度仿真中取得了良好的性能，證明了該方法在仿真5G+寬頻帶問題時(shí)的有效性，為5G+相關(guān)技術(shù)開發(fā)提供了仿真技術(shù)路線。

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［7］李岷軒，江樹剛，吳慶愷，等.非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格瞬態(tài)電磁場計(jì)算中的高效通信方法［J］.西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2022（4）：16-23.

（編輯"沈"強(qiáng)）

5G+ communication simulation of ultra-high voltage field-line environment based on multi-scale DGTD algorithm

YANG "Wensheng¹， LI "Naixin¹， XU "Pengfei^1*， LI "Minxuan¹， QIU "Yiwei²

（1.China Institute of Electronic Product Reliability and Environmental Testing， Guangzhou 511300， China;

2.China Southern Power Grid Corporation Limited Ultra High Voltage Transmission Company Nanning Bureau， Nanning 530022， China）

Abstract： Accurate and rapid transient simulation has a significant impact on the design of antennas and equipment. This article proposes an effective domain decomposition strategy for the mixed time integration scheme of discontinuous Galerkin time-domain （DGTD） method. This strategy inherits the advantages of local implicit and local time stepping methods， and uses adjustable time scales to reduce storage and computational complexity. The numerical results demonstrate the effectiveness of the method and confirm that it can be used for fast transient simulation of complex structures in 5G advanced broadband.

Key words： transient simulation; DGTD; local time stepping， locally implicit